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重庆市荣昌中学高一数学下期第一次月考试题(含答案)

荣昌中学高 2015 级高一(下)数学第一次月考试题
满分 150 分,考试时间为 120 分钟 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1.数列 1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为 ( C ) A. a n ? 2n ? 1 B. an ? (?1) n (2n ?1) C. an ? (?1)n?1 (2n ?1) D. an ? (?1) n (2n ? 1)

2.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A. ?

1 ,则公比 q =( B ) 4
C.2 A ) D. 56 D. ? 2

1 2

B.

1 2

3. 已知等差数列{an}满足 a5 ? a6 =28,则其前 10 项之和为 ( A. 140 B. 280 C. 168

4.在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( D ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形 D.不能确定

5.在△ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A 与 B 的大小关系为( A ) A. A ? B B. A ? B C. A ≥ B 6. 设 an ? ?n 2 ? 10n ? 11,则数列 {an } 从首项到第几项的和最大( C ) A.第 10 项 B.第 11 项 C.第 10 项或 11 项

D.第 12 项

7.在△ABC 中,已知 A= 30 , a =8, A. 32 3
2

b = 8 3 ,则△ABC 的面积为 ( D )
C. 32 3 或 16 D. 32 3 或 16 3

B.16

8. 方程 x ? sin A ? 2 x ? sin B ? sin C ? 0 有两等根,则 ?ABC 的三边 a , b, c 满足关系( A ) A. b ? ac
2

B. a ? b ? c

C. c ? ab
2

D. 4b ? ac
2

9.等差数列 ?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn ,且 A.

a Sn 2n ,则 5 =( B ) ? b5 Tn 3n ? 1
20 31
D.

2 3

B.

9 14

C.

7 9

10.在等差数列 {an } 中, a8 ? 0, a9 ? 0, 且 a9 ?| a8 | ,前 n 项和为 Sn ,则( D ) A. S1 , S2 … S8 都小于 0, S9 , S10 …都大于 0; B. S1 , S2 … S16 都小于 0, S17 , S18 …都大于 0; C. S1 , S2 , S3 , S4 都小于 0, S5 , S6 …都大于 0; D. S1 , S2 … S15 都小于 0, S16 , S17 …都大于 0。

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将答案填在答题卡中的相应位置。 11.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

1 1 an ,则 an ? an ? n ?1 ; 2 2
5 ;

12. 若 ?an ? 是等比数列, an > 0 ,且 a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 ,那么 a3 ? a5 的 值为 13. 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可 以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测 点 C 与 D .测得 ?BCD ? 150,?BDC ? 30 ,
0

CD ? 30 米,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 0 , 则塔高 AB= 15 6 米.

14.在 ?ABC 中,如果 sin A ∶ sin B ∶ sin C =5∶6∶8,则此三角形最大角的余弦值是 ?

1 ; 20

4 x ,利用倒序相加法(课本中推导等差数列前 n 项和的方法) 4x ? 2 2014 1 2 3 ) 的值为 1007 ; )? f ( )? f ( )?… f ( 可求得 f ( 2015 2015 2015 2015
15.设 f ( x) ? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上 的指定区域内。 16. (本小题满分 13 分)已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)求 {an } 的前 n 项和。 解: (1)? d ?

a6 ? a3 ?2 6?3

…………………………(2 分) …………………………(4 分) …………………………(7 分) …………………………(10 分) …………………………(13 分)

? an ? a3 ? (n ? 3)d
? 2n ? 12
(2) S n ?

(a1 ? an )n 2

? n2 ?11n

17.(本小题满分 13 分)已知等比数列 {an } ,若 a1 ? a2 ? a3 ? 7, a1a2 a3 ? 8 ,求 an 。
2 解:在等比数列 {an } 中: a1a3 ? a2
3 ? a2 ? 8 ,? a3 ? 2

…………………………(2 分) …………………………(4 分) …………………………(8 分)

?a1 ? a3 ? 5 ?a1 ? 1 ?a1 ? 4 ?? ?? 或? ?a3 ? 4 ?a3 ? 1 ?a1a3 ? 4

? q ? 2或q ?

1 2 n?1 ?an ? 2 或an ? 23?n

…………………………(10 分) …………………………(13 分)

18.(本小题满分 13 分)设三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,且 a ? 2b sin A . (1)求 B 的大小; (2)当 B 锐角时,求 cos A ? sin C 的取值范围. 解: (1)由正弦定理得: sin A ? 2 sin B ? sin A

…………………………(2 分)

? 在?ABC 中, sin A ? 0, ? sin B ?
?B ?
(2)

?
6

或B ?

5? 6

1 2
…………………………(6 分) …………………………(7 分)

cos A ? sin C ? cos A ? sin[? ? ( A ? B)]

? cos A ? sin( ? A) 6 3 3 ? sin A ? cos A 2 2 ? 3 sin( A ? ) 3
? A ? (0, 5? ? ? 7? ),? A ? ? ( , ) 6 3 3 6 ? 1 ? sin( A ? ) ? (? ,1] 3 2

?

?

…………………………(10 分) …………………………(11 分) …………………………(12 分)

? cos A ? sin C 的取值范围为: (?

3 , 3] 2

…………………………(13 分)

19.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? ?n2 ? 9n, n ? N ? . (1)求 ?an ? 的通项; (2)设 Tn ?| a1 | ? | a2 | ? … | an | ,求 Tn . 解: (1)①当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 8 ②当 n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 …………………………(2 分)

? ?n 2 ? 9n ? [?(n ? 1) 2 ? 9(n ? 1)] ? ?2n ? 10 检验: a1 适合 an ? ?2n ? 10
综合①②得: an ? ?2n ? 10 (2)①当 n ? 5时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ? … | an | …………………………(5 分) …………………………(6 分)

? a1 ? a2 ? a3 ? … ? an ? ?n 2 ? 9n …………………………(8 分) ②当 n ? 6时, Tn ?| a1 | ? | a2 | ? … | an | ? (a1 ? a2 ? … ? a5 ) ? (a6 ? a7 ? … ? an ) ? 2(a1 ? a2 ? … ? a5 ) ? (a1 ? a2 ? … ? an )

…………………………(11 分) 2 ? ? n ? 9(n ? 5) 综合①②得: Tn ? ? …………………………(12 分) ? 2 ? n ? 9 n ? 40 ( n ? 6 ) ? 20. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c , 已知 c ? 2 , C ?

? n 2 ? 9n ? 40

? . 3

(1)若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积. 解: (1)? S ?ABC ?

1 ab sin C ? 3 ,? ab ? 4 2 ? c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC

…………………………(2 分)

? 4 ? (a ? b) 2 ? 3ab ?a ? b ? 4 …………………………(4 分) ?a ? b ? 2 …………………………(6 分) (2)据题意得: sin[? ? ( A ? B)] ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ? sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ? 2sin B cos A ? 4sin A cos A …………………………(8 分) ①当 cos A ? 0 时: △ ABC 为直角三角形, ? 3 2 3 c ? 2 , C ? ,? b ? c? 3 3 3 1 2 3 …………………………(10 分) ? S ?ABC ? bc ? 2 3 ②当 cos A ? 0 时: sin B ? 2sin A,?由正弦定理得:b ? 2a ? c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC 1 ? 4 ? a 2 ? 4a 2 ? 2a ? 2a ? 2 2 3 4 3 ?a ? ,b ? 3 3 1 2 3 …………………………(12 分) ? S ?ABC ? absin C ? 2 3

21 . (本小题 12 分)已知正项数列 {an }的前 n 项和为 Sn ,且 an 和 Sn 满足:

4Sn ? (an ? 1)2 (n ? N ? ) , (1)求 {an }的通项公式; 1 (2)设 bn ? ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn ; an ? an ?1
(3)在(2)的条件下,对任意 n ? N , Tn ?
2 解: (1)? 4Sn ? an ? 2an ? 1
2 ?4Sn?1 ? an (n ? 2) ?1 ? 2an?1 ? 1
2 2 ? 4 an ? an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1
?

m 都成立,求整数 m 的取值范围。 23

? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) ? 2(an ? an ?1 ) ? 0 ? an ? 0,? an ? an ?1 ? 2(n ? 2)
2 又? 4a1 ? a1 ? 2a1 ? 1,?(a1 ?1)2 ? 0,?a1 ? 1

…………………………(2 分)

…………………………(3 分) ?{an } 是以 a1 ? 1 为首项,2 为公差的等差数列。 …………………………(4 分) ?an ? 1 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 1 1 1 1 1 (2)? bn ? ? ? ( ? ) …………………………(6 分) an ? an?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn 1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 ? (1 ? ) 2 2n ? 1 n …………………………(8 分) ? 2n ? 1 1 1 ) 可知:数列 {Tn } 对任意 n ? N ? 是单调递增数列, (3)由 Tn ? (1 ? 2 2n ? 1

1 ? n ? 1时, (Tn ) min ? . 3 m 1 ? ? 23 3
?m ? 23 3

…………………………(10 分)

…………………………(12 分)