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山东省日照市2015届高三12月校际联合检测数学(文)试题及答案

日照市 2015 届高三 12 月校际联合检测数学(文)试题
2014.12 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分,共 5 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。考试结束后,将 本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡 和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以 上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设集合 U ? ?1,2,3,4,5? , A ? ?1,2,3?, B ? ?2,3,4? ,则 CU ? A ? B ? A. ?2, 3? B. ?1 , 4, 5? C. ?4, 5? D. ?1 , 5?

2.若角 ? 的终边过点 ? ?1 , 2? ,则 cos 2? 的值为

A.

3 5

B. ?

3 5

C.

5 5

D. ?

5 5

3.设 ? , ? , ? 为平面, m, n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件是 A. ? ? ? , ? ? ? ? n, m ? n C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? B. ? ? ? ? m, ? ? ? , ? ? ? D. m ? ? , n ? ? , n ? ?

4.已知函数 f ? x ? ? sin ? x ? x ? R, ? ? 0? 的最小正周期为 ? ,为了得到函数 g ? x ? ? sin ? ? x ? 图象,只要将 y ? f ? x ? 的图象

? ?

??

?的 4?

? 个单位长度 4 ? C.向左平移 个单位长度 8
A.向左平移

? 个单位长度 8 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

x ?3 ? ? x ? a , ? ?1 ? x ? 0 ? 5.已知函数 f ? x ? ? ? 其中a ? 0, 且a ? 1?,若f ? ?1? ? f ?1? ,则 loga b ? ? ?bx ? 1, ? 0 ? x ? 1? A. ?1 B.0 C.1 D.2 sin x 6.函数 f ? x ? ? 2 的图象大致为 x ?1

7.已知四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示, 则围成四棱锥 P ? ABCD 的五个面中,最大的面积是 A.3 B.6 C.8 D.10 8.在 R 上定义运算*: x ? y ? x ?1 ? y ? .若关于 x 的不等式 则实数 x ? ? x ? a ? ? 0 的解集是集合 ? x ? 1 ? x ? 1? 的子集,

a 的取值范围是
A. ? 0, 2? C. ?0,1? ? ?1, 2? B. ??2, ?1? ? ? ?1,0? D. ? ?2,0?

?x ? 2 ? 9.实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z ? kx ? y 的最大值为 13,则实数 k 的值是 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
A.2 B.

13 2

C.

9 4

D.5

10.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 是奇函数且满足 f ?

?3 ? ? x ? ? f ? x ? , f ? ?2 ? ? ?3 ,数列 ?an ? 满足 ?2 ?

a1 ? ?1,且
A.3

Sn a ? 2 ? n ? 1(其中 Sn 为 ?an ? 的前 n 项和) ,则 f ? a5 ? ? f ? a6 ? ? n n B.2 C. ?3 D. ?2

第 II 卷(共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设向量 e1 , e2 是夹角为 60°的两个单位向量,则 e1 ? 2e2 ? ___________.

12.在 ?ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 且c ? 4 2 , B 4 5?

o

, 面积 S ? 2 , 则 b=___________.

13.已知函数 f ? x ? ? ?x3 ? ax ? 4 ? a ? R ? ,若函数 y ? f ? x ? 的图象在点 P 1, f ?1? 处切线的倾斜角 为

?

?

? ,则 a ? ___________. 4

14.请阅读下列材料: 若两个正实数 a1 , a2 满足 a12 ? a22 ? 1,求证: a1 ? a2 ? 2 .
2 证明:构造函数 f ? x ? ? ? x ? a1 ? ? ? x ? a2 ? ? 2 x ? 2 ? a1 ? a2 ? x ? 1 ,因为对一切实数 x ,恒有 2 2

f ? x ? ? 0 ,所以 ? ? 0 ,从而得 4 ? a1 ? a2 ? ? 8 ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? 2 .
2

根 据 上 述 证 明 方 法 , 若 n 个 正 实 数 满 足 a12 ? a2 2????an 2? 1 时 , 你 能 得 到 的 结 论 是 __________________. 15. 已知 函 数 f ? x ? 满 足 f ? x? ? 2 f ?

?1? ?1 ? 时, f ? x? ? ln x.在 区间 ? ,3? 上 , 函数 ? ? , 当 x ??1, 3 ? x? ?3 ?

g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? a ? 0? 恰有一个零点,则实数 a 的取值范围是__________.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin 2 x ? 2 3 cos 2 x ? 3 ? a . (I)求函数 f ? x ? 的单调递减区间; (II)当 x ? ?0,

? ?? 时,函数 f ? x ? 的最小值是 ?2 ,求 f ? x ? 的最大值. ? 2? ?

17.(本小题满分 12 分)
2 已知函数 g ? x ? ? ax ? 2ax ?1 ? b ? a ? 0? 在区间 ? 2,3? 上有最小值 1 和最大值 4,设 f ? x ? ?

g ? x? . x

(I)求 a、 b 的值;
x x (II)若不等式 f 2 ? k ? 2 ? 0 在区间 ??1,1? 上有解,求实数 k 的取值范围.

? ?

18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中. PD ? 平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点, CB=3CG.. (I)求证: PC ? BC ; (II)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA//平面 MEG? 若存在, 求 AM 的长;若不存在,说明理由.

19.(本小题满分 12 分) 设公比大于零的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1 , S4 ?5S2 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,满 足 b1 ? 1, Tn ? n2bn , n ? N * . (I)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (II)设 cn ? ? Sn ?1?? nbn ? ? ? ,若数列 ?cn ? 是单调递减数列,求实数 ? 的取值范围.

20.(本小题满分 13 分) 某公司为了变废为宝,节约资源,新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目.经测算,该项目月 处理成本 y (元)与月处理量 x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为:

?1 3 x ? 80 x 2 ? 5040 x, x ? ?120,144 ? ? ?3 y?? ,且每处理一吨生活垃圾,可得到能利用的生物柴油价值 ? 1 x 2 ? 200 x ? 80000, x ? ?144,500 ? ? ?2
为 200 元,若该项目不获利,政府将给予补贴. (I)当 x ?? 200,300

? 时,判断该项目能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则政府每

月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损? (II)该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?

21.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

1 ? 2ax ? a ? R ? . x

(I)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的极值; (II)当 a ? 0 时,求 f ? x ? 的单调区间; (III)若对任意 a ? ? ?3, ?2? 及任意 x1 , x2 ??1,3? ,恒有 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? 成立, 求实数 m 的取值范围.

2014 年高三校际联合检测

文科数学参考答案及评分标准
说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正确,准 应参照本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1-5 BBDCD 6-10 ACDCA (1)解析:答案 B. A ? ?1,2,3? , B ? ?2,3,4? , ∴ A

B ? ?2,3? , ∴ ? B? ? ?1,4,5? . U ?A
?1 (?1) ? 2
2 2

(2)解析:答案 B. 因为角 ? 的终边过点 (?1, 2) ,所以 cos ? ? 所以 cos 2? ? 2cos
2

??

5 , 5

5 2 3 ) ?1 ? ? . 5 5 (3)解析:答案 D. 因为 n ? ? , m ? ? ,所以 m / / n ,又因为 n ? ? , 所以 m ? ? . ? ? (4)解析:答案 C.由题意知 ? =2 , g ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin[2( x ? )] ,故选 C. 4 8 2 2 (5)解析:答案 D.由 f (?1) ? f (1) 得 a ? 1 ? b ? 1 ,即 b ? a ,于是 loga b ? loga a2 ? 2 . (6)解析:答案 A. 首先由 f ( x ) 为奇函数,得图象关于原点对称,排除 C、D,又当 0 ? x ? π 时, f ( x) ? 0 知,选 A.

? ? 1 ? 2(?

(7)解析:答案 C.由三视图可知,几何体为四棱锥, 且四棱锥的一个侧面与底面垂直,底面为矩形, 矩形的边长分别为 2,4,底面面积为 8,可以求得四个侧面的面积分别为 2 5,3,3,6 ,于是最大 面积为 8. (8)解析:答案 D.由题意得, x ? ( x ? a) ? x ? [1 ? ( x ? a)] ? x[(a ? 1) ? x] , 所以 x ? ( x ? a) ? 0 ,即 x[ x ? (a ? 1)] ? 0 . 当 a ? ?1 时,不等式的解集为空集,符合题意; 当 a ? ?1 时, 不等式的集解为 (0, a ? 1) , 又解集为 [?1,1] 的子集, 所以 a ? 1 ? 1 , 得 ?1 ? a ? 0 ; 当 a ? ?1 时,不等式的集解为 (a ? 1, 0) ,又解集为 [?1,1] 的子集,所以 a ? 1 ? ?1 , 得 ?2 ? a ? ?1 .综上所述, a 的取值范围是 [?2, 0] . (9)解析:答案 C. 作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z ? kx ? y 得 y ? ?kx ? z ,所以直线的截距最大,对应的 z 也取得最大值, 即平面区域在直线 y ? ?kx ? z 的下方,且 ? k ? 0 (当 ? k ? 0 时,经验证不合 题意).平移直线 y ? ?kx ? z ,由图象可知当直线 y ? ?kx ? z 经过点 A 时, 直线的截距最大, 此时 z 取最大值 13,由 ? 即 A(4, 4) ,此时 4k ? 4 ? 13 ,解得 k ? y B 2 C A

?x ? 2 y ? 4 ? 0 解得 x ? y ? 4 , ?2 x ? y ? 4 ? 0

2

x

9 . 4

(10)解析:答案 A.由函数 f ( x ) 为奇函数得 f (? x) ? ? f ( x) ,又 f ( ? x ) ? f ( x ) ,所以

3 2

3 3 f ( ? x) ? ? f (? x) ,所以 f ( ? x) ? ? f ( x) , 2 2

f ( x ? 3) ? f (( x ? 3 ) ? 3 ) ? ? f ( x ? 3 ) ? f ( x) , 2 2 2 即函数 f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数. 由 Sn ? 2an ? n, Sn?1 ? 2an?1 ? (n ?1),(n ? 2) 两式相减
并整理得, an ? 2an?1 ?1 ,即 an ? 1 ? 2( an?1 ?1) ,所以数列 {an ? 1} 是以 2 为公比的等比数列, 首项为 a1 ? 1 ? ?2 ,故 an ?1 ? ?2 ? 2n?1 ? ?2n , an ? ?2n ?1 ,所以 a5 ? ?31, a6 ? ?63 , 所以 f (a5 ) ? f (a6 ) ? f (?31) ? f (?63) ? f (2) ? f (0) ? f (2) ? ? f (?2) ? 3. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. (11) 7 ; (12)5;(13)4; (14) a1 ? a2 ? …? an ? n ;(15) (11)解析: | e1 ? 2e2 |?

1 ? a ? 6 ln 3 . e

1 (e1 ? 2e2 ) 2 ? | e1 |2 ?4e1 ? e2 ? 4 | e2 |2 ? 1 ? 4 ?1?1? ? 4 ? 7. 2 1 (12)解析:由面积公式 S ? ac sin B ,带入已知条件得 a ? 1 ,再由余弦定理得 b ? 5. 2 ? 1 ) ? 1 ,又 f ?(x) ?? (13) 解析: 由题意, 函数在点 P 处的切线斜率是 k ? tan ? 1 , 即 f ?( 3x 2?a , 4 所以 f ?(1) ? ?3 ? a ? 1 ,即 a ? 4 .
(14)解析:类比给出的材料,构造函数 由对一切实数 x , f ( x) ? ( x ? a1 )2 ? ( x ? a2 )2 ? …? ( x ? an )2 ? nx2 ? 2(a1 ? a2 ? …? an ) x ?1, 恒有 f ( x) ? 0 ,所以 ? ? 0 ,即可得到结论. 1 1 (15)解析:当 x ? [ ,1] 时, ? [1,3] , y A 3 x 1 1 则 f ( x) ? 2 f ( ) ? 2 ln ? ?2 ln x .在坐标系内画出分段函数图象: x x 由题意可知: a ? kOA ? 6ln 3 .当直线与曲线 f ( x) ? ln x 相切时, 解得 k ? 1 O 1 1 3 3 x

1 1 ;所以 a 的取值范围是 ? a ? 6 ln 3 . e e

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2x ? 3(1 ? cos 2x) ? 3 ? a

π ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a, 3 π π 3π 5π 11π ? x ? kπ ? ,k ?Z , 令 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,得 kπ ? 2 3 2 12 12 5π 11π , kπ ? ](k ? Z) . 所以, f ( x) 的单调递减区间是 [kπ ? ……………………6 分 12 12 π π π 2π 3 π ? sin(2 x ? ) ? 1 , (Ⅱ)因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? ,故 ? 2 3 3 3 2 3 所以 f ( x)min ? ? 3 ? a, f ( x)max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2 ,得 a ? 3 ? 2 ,
所以, f ( x)max ? 2 ? 3 ? 2 ? 3.
2

……………………………………12 分

(17)解: (Ⅰ) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上是增函数,

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ………………………………………………………………4 分 ?b ? 0 ? g (3) ? 4 1 1 x x (Ⅱ)由已知可得 f ( x) ? x ? ? 2 ,所以 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 可化为 2 x ? x ? 2 ? k ? 2 x , x 2 1 1 2 1 2 x 因为 2 ? 0 ,所以 k ? ( x ) ? 2 ? x ? 1 . 令 t ? x ,则 k ? t ? 2t ? 1 ,又 x ? [?1 , 1] ,故 2 2 2 ?1 ? t ? ? , 2? . ?2 ? ?1 ? 2 记 h (t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ? , 2? ,故 h(t )max ? h(2) ? 1 , ?2 ? 所以使不等式有解的 k 的取值范围是 ? ??,1? . ………………………………………12 分
故? (18)(Ⅰ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC . 又因为 ABCD 是正方形, 所以 BC ? CD 又 PD CD ? D , 所以 BC ? 平面 PCD . 又因为 PC ? 面 PDC ,所以 PC ? BC ………………………4 分 (Ⅱ) 连结 AC 、 BD 交于 O 点,连结 EO,GO ,延长 GO 交 AD 于点 M , 则 PA //平面 MEG . 证明如下: 因为 E 为 PC 的中点, O 是 AC 的中点, 所以 EO // PA , ……………………………………8 分 又因为 EO ? 平面 MEG, PA ? 平面MEG , 所以 PA //平面 MEG . 又 ?OCG ≌ ?OAM ,所以 AM ? CG ? A D M

P

E C O B G

(19)解: (Ⅰ)当 q ? 1 时,经验证不符合题意; 当 q ? 0 且 q ? 1 时,由 S 4 ? 5S 2 , 又 a1 ? 1 , 所以 an ? 2n ?1 . 又?

2 2 , 所以所求 AM 的长为 . 3 3

………………12 分

1 ? q 4 5(1 ? q 2 ) ,解得 q ? 2 , ? 1? q 1? q
………………………………………………3 分

2 ? ?Tn ? n bn , b n ? 1 ( n ? 2) , 两式相减得 n ? 2 bn ?1 n ? 1 ? ?Tn ?1 ? (n ? 1) bn ?1 (n ? 2), b b b b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 所以 bn ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ? b1 ? , ? ? ? ? ? ?1 ? bn ?1 bn ? 2 bn ?3 b1 n ?1 n n ?1 4 3 n(n ? 1) 2 当 n ? 1 时, b1 ? 1 也满足上式,所以 bn ? . …………………………… 6 n(n ? 1)

分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 Sn ? 列,

1? (1 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1,所以 cn ? 2n ( ? ? ) ,要使数列 ?cn ? 是单调递减数 1? 2 n ?1

4 2 ? ? ? ) ? 0 对 n ? N? 恒成立, n ? 2 n ?1 4 2 4 2 即? ? 恒成立,所以 ? ? ( ? ? ) max , n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1
则 cn ?1 ? cn ? 2n ( 分

………………………10

4 2 2n 2 , ? ? ? n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 2 ? 3 n 4 2 1 1 所以当 n ? 1 或 2 时, ( ? ) max ? , 所以 ? ? . n ? 2 n ?1 3 3
因为 分 (20)解: (Ⅰ)当 x ? ?200 ,300? 时,设该项目获利为 S ,则

…………………………12

1 1 S ? 200 x ? ( x 2 ? 200 x ? 80000 ) ? ? x 2 ? 400 x ? 80000 2 2 1 ? ? ( x ? 400 ) 2 . …………………………………………………4 分 2 所以当 x ? ?200 ,300? 时, S ? 0 .因此,该项目不会获利.
当 x ? 300 时, S 取得最大值 ? 5000 , 所以政府每月至少需要补贴 5000 元才能使该项目不亏损. (Ⅱ)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为: ………………………6 分

?1 2 x ? 80x ? 5040 , x ? ?120,144? y ? ?3 ?? 80000 x ?1 x? ? 200, x ? ?144,500? ? . ……………………………………8 分 x ?2 y 1 1 当 x ?? 120,144?时, ? x 2 ? 80 x ? 5040 ? ( x ? 120 ) 2 ? 240 . x 3 3 y 所以当 x ? 120 时, 取得最小值 240 ; ……………………………………………10 分 x y 1 80000 1 80000 144,500? 时, ? x ? 当 x ?? ? 200 ? 2 x? ? 200 ? 200 . x 2 x 2 x y 1 80000 当且仅当 x ? ,即 x ? 400 时, 取得最小值 200 . x 2 x 200 ? 240 400 因为 ,所以当每月处理量为 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 . ……13
分 (21)解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ?

1 2 1 2x ?1 ( x ? 0) , f ?( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ,即 f ( x ) 在 (0, ) 上递减,在 ( , ??) 上递 2 2 2 2
所以 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2, 无极大值.

增,

1 2

………………………4 分

1 1 2a( x ? )( x ? ) a 2?a 1 2ax ? (2 ? a) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) 2 (Ⅱ) f ?( x) ? , ? 2 ? 2a ? ? ? 2 2 2 x x x x x 1 1 当 ? ? , 即 a ? ?2 时, a 2 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 , 得 0 ? x ? ? 或 x ? .令 f ?( x) ? 0 得 ? ? x ? ; 2 a a 2 1 1 当 ? ? , 即 ?2 ? a ? 0 时, a 2 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 , 得 0 ? x ? 或x ? ? ,令 f ?( x) ? 0 , 得 ? x ? ? ; 2 a 2 a 2 (2 x ? 1) ? 0. 当 a = ? 2 时, f ?( x) ? ? x2 1 1 1 1 综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ? ) 和 ( , ??) ,递增区间为 ( ? , ) ; a 2 a 2 当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 1 1 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ) 和 ( ? , ??) ,递增区间为 ( , ? ) . …………9 2 a 2 a
2

分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递减. 当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值;当 x ? 3 时, f ( x) 取得最小值.

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? (a ? 2) ln 3 . 3 ? ? 3 因为 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,
即 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 又 a ? 0, 所以 m ?

2 2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 ,整理得 ma ? ? 4a , 3 3

2 ? 4 恒成立. 3a 13 2 38 13 ? ? 4 ? ? , 所以 m ? ? . 由 ?3 ? a ? ?2,得 ? 3 3a 9 3


………………………………………14

2014 年高三校际联合检测

文科数学参考答案及评分标准
说明:本标准中的解答题只给出一种解法,考生若用其它方法解答,只要步骤合理,结果正确,准 应参照本标准相应评分。 一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1-5 BBDCD 6-10 ACDCA (1)解析:答案 B. A ? ?1,2,3? , B ? ?2,3,4? , ∴ A

B ? ?2,3? , ∴ ? B? ? ?1,4,5? . U ?A
?1 (?1) ? 2
2 2

(2)解析:答案 B. 因为角 ? 的终边过点 (?1, 2) ,所以 cos ? ?

??

5 , 5

5 2 3 ) ?1 ? ? . 5 5 (3)解析:答案 D. 因为 n ? ? , m ? ? ,所以 m / / n ,又因为 n ? ? , 所以 m ? ? . ? ? (4)解析:答案 C.由题意知 ? =2 , g ( x) ? sin(2 x ? ) ? sin[2( x ? )] ,故选 C. 4 8 2 2 (5)解析:答案 D.由 f (?1) ? f (1) 得 a ? 1 ? b ? 1 ,即 b ? a ,于是 loga b ? loga a2 ? 2 . (6)解析:答案 A. 首先由 f ( x ) 为奇函数,得图象关于原点对称,排除 C、D,又当 0 ? x ? π 时, f ( x) ? 0 知,选 A.
所以 cos 2? ? 2cos
2

? ? 1 ? 2(?

(7)解析:答案 C.由三视图可知,几何体为四棱锥, 且四棱锥的一个侧面与底面垂直,底面为矩形, 矩形的边长分别为 2,4,底面面积为 8,可以求得四个侧面的面积分别为 2 5,3,3,6 ,于是最大 面积为 8. (8)解析:答案 D.由题意得, x ? ( x ? a) ? x ? [1 ? ( x ? a)] ? x[(a ? 1) ? x] , 所以 x ? ( x ? a) ? 0 ,即 x[ x ? (a ? 1)] ? 0 . 当 a ? ?1 时,不等式的解集为空集,符合题意; 当 a ? ?1 时, 不等式的集解为 (0, a ? 1) , 又解集为 [?1,1] 的子集, 所以 a ? 1 ? 1 , 得 ?1 ? a ? 0 ; 当 a ? ?1 时,不等式的集解为 (a ? 1, 0) ,又解集为 [?1,1] 的子集,所以 a ? 1 ? ?1 , 得 ?2 ? a ? ?1 .综上所述, a 的取值范围是 [?2, 0] . (9)解析:答案 C. 作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z ? kx ? y 得 y ? ?kx ? z ,所以直线的截距最大,对应的 z 也取得最大值, 即平面区域在直线 y ? ?kx ? z 的下方,且 ? k ? 0 (当 ? k ? 0 时,经验证不合 题意).平移直线 y ? ?kx ? z ,由图象可知当直线 y ? ?kx ? z 经过点 A 时, 直线的截距最大, 此时 z 取最大值 13,由 ? 即 A(4, 4) ,此时 4k ? 4 ? 13 ,解得 k ? y B 2 C A

?x ? 2 y ? 4 ? 0 解得 x ? y ? 4 , ?2 x ? y ? 4 ? 0

2

x

9 . 4

(10)解析:答案 A.由函数 f ( x ) 为奇函数得 f (? x) ? ? f ( x) ,又 f ( ? x ) ? f ( x ) ,所以

3 2

3 3 f ( ? x) ? ? f (? x) ,所以 f ( ? x) ? ? f ( x) , 2 2 f ( x ? 3) ? f (( x ? 3 ) ? 3 ) ? ? f ( x ? 3 ) ? f ( x) , 2 2 2 即函数 f ( x ) 是以 3 为周期的周期函数. 由 Sn ? 2an ? n, Sn?1 ? 2an?1 ? (n ?1),(n ? 2) 两式相减
并整理得, an ? 2an?1 ?1 ,即 an ? 1 ? 2( an?1 ?1) ,所以数列 {an ? 1} 是以 2 为公比的等比数列,

? ?2n , an ? ?2n ?1 ,所以 a5 ? ?31, a6 ? ?63 , 所以 f (a5 ) ? f (a6 ) ? f (?31) ? f (?63) ? f (2) ? f (0) ? f (2) ? ? f (?2) ? 3.
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

首项为 a1 ? 1 ? ?2 ,故 an ?1 ? ?2 ? 2

n?1

(11) 7 ; (12)5;(13)4; (14) a1 ? a2 ? …? an ? n ;(15) (11)解析: | e1 ? 2e2 |?

1 ? a ? 6 ln 3 . e

1 (e1 ? 2e2 ) 2 ? | e1 |2 ?4e1 ? e2 ? 4 | e2 |2 ? 1 ? 4 ?1?1? ? 4 ? 7. 2 1 (12)解析:由面积公式 S ? ac sin B ,带入已知条件得 a ? 1 ,再由余弦定理得 b ? 5. 2 ? (13) 解析: 由题意, 函数在点 P 处的切线斜率是 k ? tan ? 1 , 即 f ?( 1 ) ? 1 ,又 f ?(x) ?? 3x 2?a , 4 所以 f ?(1) ? ?3 ? a ? 1 ,即 a ? 4 .
(14)解析:类比给出的材料,构造函数 由对一切实数 x , f ( x) ? ( x ? a1 )2 ? ( x ? a2 )2 ? …? ( x ? an )2 ? nx2 ? 2(a1 ? a2 ? …? an ) x ?1, 恒有 f ( x) ? 0 ,所以 ? ? 0 ,即可得到结论. 1 1 (15)解析:当 x ? [ ,1] 时, ? [1,3] , y A 3 x 1 1 则 f ( x) ? 2 f ( ) ? 2 ln ? ?2 ln x .在坐标系内画出分段函数图象: x x 由题意可知: a ? kOA ? 6ln 3 .当直线与曲线 f ( x) ? ln x 相切时, 解得 k ? 1 O 1 1 3 3 x

1 1 ;所以 a 的取值范围是 ? a ? 6 ln 3 . e e

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. (16)解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2x ? 3(1 ? cos 2x) ? 3 ? a

π ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a, 3 π π 3π 5π 11π ? x ? kπ ? ,k ?Z , 令 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ,得 kπ ? 2 3 2 12 12 5π 11π , kπ ? ](k ? Z) . 所以, f ( x) 的单调递减区间是 [kπ ? ……………………6 分 12 12 π π π 2π 3 π ? sin(2 x ? ) ? 1 , (Ⅱ)因为 0 ? x ? ,所以 ? ? 2 x ? ? ,故 ? 2 3 3 3 2 3 所以 f ( x)min ? ? 3 ? a, f ( x)max ? 2 ? a ,令 ? 3 ? a ? ?2 ,得 a ? 3 ? 2 ,
所以, f ( x)max ? 2 ? 3 ? 2 ? 3.
2

……………………………………12 分

(17)解: (Ⅰ) g ( x) ? a( x ? 1) ? 1 ? b ? a ,因为 a ? 0 ,所以 g ( x) 在区间 [ 2 , 3] 上是增函数,

?a ? 1 ? g (2) ? 1 ,解得 ? . ………………………………………………………………4 分 ?b ? 0 ? g (3) ? 4 1 1 x x (Ⅱ)由已知可得 f ( x) ? x ? ? 2 ,所以 f (2 ) ? k ? 2 ? 0 可化为 2 x ? x ? 2 ? k ? 2 x , x 2 1 1 2 1 2 x 因为 2 ? 0 ,所以 k ? ( x ) ? 2 ? x ? 1 . 令 t ? x ,则 k ? t ? 2t ? 1 ,又 x ? [?1 , 1] ,故 2 2 2 ?1 ? t ? ? , 2? . ?2 ?
故?

?1 ? , 2? ,故 h(t )max ? h(2) ? 1 , ?2 ? 所以使不等式有解的 k 的取值范围是 ? ??,1? . ………………………………………12 分 (18)(Ⅰ)证明:因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BC .
2 记 h (t ) ? t ? 2t ? 1 ,因为 t ? ?

又因为 ABCD 是正方形, 所以 BC ? CD 又 PD CD ? D , 所以 BC ? 平面 PCD . 又因为 PC ? 面 PDC ,所以 PC ? BC ………………………4 分 (Ⅱ) 连结 AC 、 BD 交于 O 点,连结 EO,GO ,延长 GO 交 AD 于点 M , 则 PA //平面 MEG . 证明如下: 因为 E 为 PC 的中点, O 是 AC 的中点, 所以 EO // PA , ……………………………………8 分 又因为 EO ? 平面 MEG, PA ? 平面MEG , 所以 PA //平面 MEG . 又 ?OCG ≌ ?OAM ,所以 AM ? CG ? A D M

P

E C O B G

(19)解: (Ⅰ)当 q ? 1 时,经验证不符合题意; 当 q ? 0 且 q ? 1 时,由 S 4 ? 5S 2 , 又 a1 ? 1 , 所以 an ? 2n ?1 . 又?

2 2 , 所以所求 AM 的长为 . 3 3

………………12 分

1 ? q 4 5(1 ? q 2 ) ,解得 q ? 2 , ? 1? q 1? q
………………………………………………3 分

2 ? ?Tn ? n bn , b n ? 1 ( n ? 2) , 两式相减得 n ? 2 bn ?1 n ? 1 ? ?Tn ?1 ? (n ? 1) bn ?1 (n ? 2), b b b b n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 2 所以 bn ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 2 ? b1 ? , ? ? ? ? ? ?1 ? bn ?1 bn ? 2 bn ?3 b1 n ?1 n n ?1 4 3 n(n ? 1) 2 当 n ? 1 时, b1 ? 1 也满足上式,所以 bn ? . …………………………… 6 n(n ? 1)

分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 Sn ? 列,

1? (1 ? 2n ) 2 ? 2n ? 1,所以 cn ? 2n ( ? ? ) ,要使数列 ?cn ? 是单调递减数 1? 2 n ?1

4 2 ? ? ? ) ? 0 对 n ? N? 恒成立, n ? 2 n ?1 4 2 4 2 即? ? 恒成立,所以 ? ? ( ? ? ) max , n ? 2 n ?1 n ? 2 n ?1
则 cn ?1 ? cn ? 2n ( 分 因为

………………………10

4 2 2n 2 ? ? ? , n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2) n ? 2 ? 3 n

所以当 n ? 1 或 2 时, (

4 2 1 1 ? ) max ? , 所以 ? ? . n ? 2 n ?1 3 3

…………………………12

分 (20)解: (Ⅰ)当 x ? ?200 ,300? 时,设该项目获利为 S ,则

1 1 S ? 200 x ? ( x 2 ? 200 x ? 80000 ) ? ? x 2 ? 400 x ? 80000 2 2 1 ? ? ( x ? 400 ) 2 . …………………………………………………4 分 2 所以当 x ? ?200 ,300? 时, S ? 0 .因此,该项目不会获利.
当 x ? 300 时, S 取得最大值 ? 5000 , 所以政府每月至少需要补贴 5000 元才能使该项目不亏损. (Ⅱ)由题意可知,生活垃圾每吨的平均处理成本为: ………………………6 分

?1 2 x ? 80x ? 5040 , x ? ?120,144? y ? ?3 ?? 80000 x ?1 x? ? 200, x ? ?144,500? ? . ……………………………………8 分 x ?2 y 1 1 当 x ?? 120,144?时, ? x 2 ? 80 x ? 5040 ? ( x ? 120 ) 2 ? 240 . x 3 3 y 所以当 x ? 120 时, 取得最小值 240 ; ……………………………………………10 分 x y 1 80000 1 80000 当 x ?? ? 200 ? 2 x? ? 200 ? 200 . 144,500? 时, ? x ? x 2 x 2 x y 1 80000 当且仅当 x ? ,即 x ? 400 时, 取得最小值 200 . x 2 x 因为 200 ? 240 ,所以当每月处理量为 400 吨时,才能使每吨的平均处理成本最低 . ……13
分 (21)解: (Ⅰ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ?

1 2 1 2x ?1 ( x ? 0) , f ?( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ,即 f ( x ) 在 (0, ) 上递减,在 ( , ??) 上递 2 2 2 2
所以 f ( x) 的极小值为 f ( ) ? 2 ? 2 ln 2, 无极大值.

增,

1 2

………………………4 分

2?a 1 2ax 2 ? (2 ? a) x ? 1 (2 x ? 1)(ax ? 1) (Ⅱ) f ?( x) ? ? 2 ? 2a ? ? ? x x x2 x2 1 1 当 ? ? , 即 a ? ?2 时, a 2 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 , 得 0 ? x ? ? 或 x ? .令 f ?( x) ? 0 得 ? ? x ? ; 2 a a 2

1 1 2a( x ? )( x ? ) a 2 , 2 x

1 1 ? , 即 ?2 ? a ? 0 时, a 2 1 1 1 1 令 f ?( x) ? 0 , 得 0 ? x ? 或x ? ? ,令 f ?( x) ? 0 , 得 ? x ? ? ; 2 a 2 a 2 (2 x ? 1) 当 a = ? 2 时, f ?( x) ? ? ? 0. x2 1 1 1 1 综上所述,当 a ? ?2 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ? ) 和 ( , ??) ,递增区间为 ( ? , ) ; a 2 a 2 当 a = ? 2 时, f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减; 1 1 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 的递减区间为 (0, ) 和 ( ? , ??) ,递增区间为 ( , ? ) . …………9 2 a 2 a
当? 分 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 a ? (?3, ?2) 时, f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递减. 当 x ? 1 时, f ( x) 取得最大值;当 x ? 3 时, f ( x) 取得最小值.

1 ? ? 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (1) ? f (3) ? (1 ? 2a) ? ?(2 ? a) ln 3 ? ? 6a ? ? ? 4a ? (a ? 2) ln 3 . 3 ? ? 3 因为 (m ? ln3)a ? 2ln3 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,
即 (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 ? 又 a ? 0, 所以 m ?

2 2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 ,整理得 ma ? ? 4a , 3 3

2 ? 4 恒成立. 3a 13 2 38 13 ? ? 4 ? ? , 所以 m ? ? . 由 ?3 ? a ? ?2,得 ? 3 3a 9 3


………………………………………14


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