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2017步步高大一轮复习讲义数学3.2


1.函数的单调性 在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0, 那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x) 在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数 f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有 f′(x)>0.( × ) (2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′(x)=0,则 f(x)在此区间内没有单调性.( √ ) (3)函数的极大值不一定比极小值大.( √ ) (4)对可导函数 f(x),f′(x0)=0 是 x0 点为极值点的充要条件.( × ) )

(5)函数的最大值不一定是极大值,函数的最小值也不一定是极小值.( √

1.函数 f(x)=x2-2lnx 的单调递减区间是( A.(0,1) C.(-∞,1) 答案 A 2 2?x+1??x-1? 解析 ∵f′(x)=2x- = (x>0). x x B.(1,+∞) D.(-1,1)

)

∴当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 2 .已知定义在实数集 R 上的函数 f(x) 满足 f(1) = 3 ,且 f(x) 的导数 f′(x) 在 R 上恒有 f′(x)<2(x∈R),则不等式 f(x)<2x+1 的解集为( A.(1,+∞) C.(-1,1) 答案 A 解析 令 g(x)=f(x)-2x-1,∴g′(x)=f′(x)-2<0, ∴g(x)在 R 上为减函数,且 g(1)=f(1)-2-1=0. 由 g(x)<0=g(1),得 x>1,故选 A. 3.已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 答案 C 解析 当 k=1 时,f′(x)=ex· x-1,f′(1)≠0, ∴x=1 不是 f(x)的极值点. 当 k=2 时,f′(x)=(x-1)(xex+ex-2), 显然 f′(1)=0,且在 x=1 附近的左侧,f′(x)<0, 当 x>1 时,f′(x)>0, ∴f(x)在 x=1 处取到极小值.故选 C. 4.(教材改编)如图是 f(x)的导函数 f′(x)的图象,则 f(x)的极小值点的个数为________. ) B.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) )

答案 1 解析 由题意知在 x=-1 处 f′(-1)=0,且其左右两侧导数符号为左负右正. lnx lnx lnx2 5.设 1<x<2,则 ,( )2, 2 的大小关系是__________________.(用“<”连接) x x x lnx lnx lnx2 答案 ( )2< < 2 x x x 解析 令 f(x)=x-lnx(1<x<2), 1 x-1 则 f′(x)=1- = >0, x x

∴函数 y=f(x)(1<x<2)为增函数, lnx ∴f(x)>f(1)=1>0,∴x>lnx>0?0< <1, x lnx lnx ∴( )2< . x x 又 lnx2 lnx 2lnx-xlnx ?2-x?lnx - = = >0, x2 x x2 x2

lnx lnx lnx2 ∴( )2< < 2 . x x x


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