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2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用学案

2.1.2 第 2 课时 椭圆方程及性质的应用

1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用,解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点)

[基础·初探] 教材整理 1 点与椭圆的位置关系 设点 P(x0,y0),椭圆 2+ 2=1(a>b>0). (1)点 P 在椭圆上? 2+ 2=1; (2)点 P 在椭圆内? 2+ 2<1;

x2 y2 a b

x2 y2 0 0 a b x2 y2 0 0 a b

x2 y2 0 0 (3)点 P 在椭圆外? 2+ 2>1. a b

已知点(2,3)在椭圆 2+ 2=1 上,则下列说法正确的是________ ①点(-2,3)在椭圆外 ③点(-2,-3)在椭圆内 ②点(3,2)在椭圆上 ④点(2,-3)在椭圆上

x2 y2 m n

【解析】 由椭圆的对称性知点(2,-3)也在椭圆上. 【答案】 ④ 教材整理 2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定

y=kx+m, ? ? 2 2 x2 y2 直线 y=kx+m 与椭圆 2+ 2=1(a>b>0)联立?x y a b 2+ 2=1, ? ?a b
方程. 位置关系 相交 解的个数 两解 Δ 的取值 Δ >0

消去 y 得一个一元二次

1

相切 相离 2.弦长公式

一解 无解

Δ =0 Δ <0

设直线 y=kx+b 与椭圆的交点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|= 1+k |x1 -x2|= 1 1+ 2·|y1-y2|.

2

k

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)点 P(2,1)在椭圆 + =1 的内部.( 4 9

x2 y2

) ) )

(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( (3)过点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x + =1 相交.( 2 (4)长轴是椭圆中最长的弦.( 【答案】 (1)× )
2

y2

(2)√ (3)√ (4)√

[小组合作型] 直线与椭圆的位置关系 (1)若直线 mx+ny=4 和⊙O:x +y =4 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭 圆 + =1 的交点个数为( 9 4 A.2 个 C.1 个
2 2 2 2

x2 y2

) B.至多一个 D.0 个

(2)已知椭圆 4x +y =1 及直线 y=x+m,问 m 为何值时,直线与椭圆相切、相交? 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭圆的位置关系. 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点,则 d= ∴m +n <4,即 个交点. 【答案】 A (2)将 y=x+m 代入 4x +y =1,
2
2 2 2 2

4

m +n2

2

>2,

m2+n2
4

<1.∴ + <1,∴点(m,n)在椭圆的内部,故直线与椭圆有 2 9 4

m2 n2

消去 y 整理得 5x +2mx+m -1=0. Δ =4m -20(m -1)=20-16m . 当 Δ =0 时,得 m=± 当 Δ >0 时,得- 5 ,直线与椭圆相切. 2
2 2 2

2

2

5 5 <m< ,直线与椭圆相交. 2 2

1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的,Δ 的符号决定了交点的个数,从而确 定了其位置关系. 2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题, 一是判断位置关系, 二是依据位置关系确 定参数的范围,两类问题在解决方法上是一致的,都要将直线与椭圆方程联立,利用判别式 及根与系数的关系进行求解.

[再练一题] 1.已知椭圆的方程为 x +2y =2. (1)判断直线 y=x+ 3与椭圆的位置关系; (2)判断直线 y=x+2 与椭圆的位置关系; (3)在椭圆上找一点 P,使 P 到直线 y=x+2 的距离最小,并求出这个最小距离. 【解】 (1)由?
2 2 2

?y=x+ 3, ?x2+2y2=2,

得 3x +4 3x+4=0,

2

∵Δ =(4 3) -4×3×4=0, ∴直线 y=x+ 3与椭圆相切. (2)由?
?y=x+2, ? ?x +2y =2, ?
2 2

得 3x +8x+6=0.

2

∵Δ =64-4×3×6=-8<0, ∴直线 y=x+2 与椭圆相离.

(3) 由 (1) 、 (2) 知直线 y = x + 3 与椭圆的切点 P 满足条件,由 (1) 得 P 的坐标为 3? ? 2 3 ?- , ?, 3? ? 3

3

|2- 3| 6 最小距离 d= = 2- . 2 2 直线与椭圆的相交弦问题 已知椭圆 + =1 和点 P(4,2),直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点. 36 9 1 (1)当直线 l 的斜率为 时,求线段 AB 的长度; 2 (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时,求 l 的方程. 【导学号:97792018】 【精彩点拨】 (1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解; (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用. 1 【自主解答】 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y-2= (x-4), 2 1 即 y= x. 2 1 y= x, ? ? 2 由? x y ? ?36+ 9 =1,
2 2

x2

y2

可得 x -18=0,若设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 x1+x2=0,x1x2=-18. 于是|AB|= ?x1-x2? +?y1-y2? = = 1 2 2 ?x1-x2? + ?x1-x2? 4 5 5 2 ?x1+x2? -4x1x2= ×6 2=3 10. 2 2
2 2

2

所以线段 AB 的长度为 3 10. (2)法一:设 l 的斜率为 k, 则其方程为 y-2=k(x-4).

x y ? ? + =1, 联立?36 9 ? ?y-2=k?x-4?,
消去 y 得(1+4k )x -(32k -16k)x+(64k -64k-20)=0. 32k -16k 若设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= 2 , 1+4k 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2), 所以
2 2 2 2 2

2

2

x1+x2 16k2-8k = 2 =4, 2 1+4k
4

1 解得 k=- ,且满足 Δ >0. 2 1 这时直线的方程为 y-2=- (x-4), 2 1 即 y=- x+4. 2 法二:设 A(x1,y1),B(x2,y2),

? ? 则有? x y ? ?36+ 9 =1,
+ =1, 36 9
2 2 2 2

x2 1

2 y1

两式相减得

2 2 x2 y2 2-x1 2-y1

36



9

=0,

整理得 kAB=

y2-y1 9?x2+x1? =- , x2-x1 36?y2+y1?

由于 P(4,2)是 AB 的中点, ∴x1+x2=8,y1+y2=4, 9×8 1 于是 kAB=- =- , 36×4 2 1 于是直线 AB 的方程为 y-2=- (x-4), 2 1 即 y=- x+4. 2

1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题, 一般思路是将直线方程与椭圆方程联立, 得到 关于 x(或 y)的一元二次方程, 然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要 熟记公式的形式并能准确运算. 2.解决椭圆中点弦问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用 一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后

x2 y2 作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下:已知 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2= a b
1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x0,y0)是线段 AB 的中点,

5

x y ? ?a +b =1, 则? x y ? ?a +b =1,
2 2 2 2 2 2

2 1 2

2 1 2

① ②
2 2

1 2 2 1 2 2 y1-y2 b x1+x2 b x0 由①-②,得 2(x1-x2)+ 2(y1-y2)=0,变形得 =- 2· =- 2· ,即 kAB a b x1-x2 a y1+y2 a y0 =-

b2x0 . a2y0

[再练一题] 2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 |PQ|= 10,求椭圆的方程. 【解】 ∵e= 3 1 2 2 ,∴b = a . 2 4
2 2 2

x2 y2 a b

3 ,且椭圆与直线 x+2y+8=0 相交于 P,Q,且 2

∴椭圆方程为 x +4y =a . 与 x+2y+8=0 联立消去 y,得 2x +16x+64-a =0, 5 2 2 由 Δ >0 得 a >32,由弦长公式得 10= ×[64-2(64-a )]. 4 ∴a =36,b =9. ∴椭圆的方程为 + =1. 36 9 [探究共研型] 椭圆中的最值(或范围)问题 探究 在椭圆的有关问题中,常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题,这类问题 一般思路是什么? 【提示】 (1)解决与椭圆有关的最值问题,一般先根据条件列出所求目标函数的关系 式,然后根据函数关系式的特征选用配方法,应用不等式的性质,以及三角函数的最值求法 求出它的最大值或最小值及范围.
2 2 2 2

x2

y2

x2 y 2 (2)解决椭圆 2+ 2=1(a>b>0)中的范围问题常用的关系有 a b
①-a≤x≤a,-b≤y≤b; ②离心率 0<e<1; ③一元二次方程有解,则判别式 Δ ≥0. 已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率;
6
2 2

(2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度 的最小值. → → 【精彩点拨】 (2)中,设 A,B 坐标→OA·OB=0→|AB|化为关于 x0 的函数→求最值. 【自主解答】 (1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1, 4 2 所以 a =4,b =2,从而 c =a -b =2. 因此 a=2,c= 2. 故椭圆 C 的离心率 e= =
2 2 2 2 2

x2 y2

c a

2 . 2

→ → (2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0.因为 OA⊥OB,所以OA·OB=0, 即 tx0+2y0=0,解得 t=- 又 x0+2y0=4, 所以|AB| =(x0-t) +(y0-2) 2y0?2 ? 2 =?x0+ ? +(y0-2)
2 2 2 2 2

2y0 .

x0

?

x0 ?

4y0 2 2 =x0+y0+ 2 +4

2

x0
2

4-x0 2?4-x0? =x + + +4 2 x2 0
2 0

2

x0 8 2 = + 2+4(0<x0≤4). 2 x0 x0 8 2 2 因为 + 2≥4(0<x0≤4),且当 x0=4 时等号成立, 2 x0
所以|AB| ≥8. 故线段 AB 长度的最小值为 2 2.
2 2

2

解析几何中的综合性问题很多,而且可与很多知识联系在一起出题,例如不等式、三角 函数、平面向量以及函数的最值问题等,解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方 程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系 式,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.

[再练一题] 3.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为

x2 y2 a b

6 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为 3, 3
7

直线 l:y=kx+m 交椭圆于不同的两点 A,B. (1)求椭圆的方程; (2)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 3 ,求△AOB 面积的最大值. 2 【导学号:97792019】 【解】 (1)由 =

c a

6 ,a= 3, 3

所以 c= 2,b=1, 所以椭圆的方程为 +y =1. 3 (2)由已知 |m| 1+k = 3 , 2

x2

2

2

3 2 2 所以 m = (1+k ), 4 联立 l:y=kx+m 和 +y =1, 3 消去 y,整理可得: (1+3k )x +6kmx+3m -3=0, -6km 3m - 3 所以 x1+x2= 2,x1x2= 2, 1+3k 1+3k 所以|AB| =(1+k )(x1-x2)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2

2

= =

12?1+k ??3k +1-m ? 2 2 ?1+3k ? 3?k +1??9k +1? 12k =3+ 4 2 2 2 ?1+3k ? 9k +6k +1 12 ≤4(k≠0), 1 2 9k + 2+6
2 2 2

=3+

k

当且仅当 k=± 验证知 k=±

3 时取等号, 3

3 满足题意, 3
2

显然 k=0 时,|AB| =3<4.

8

1 3 3 所以(S△AOB)max= ×2× = . 2 2 2

1.已知椭圆 2+ 2=1 有两个顶点在直线 x+2y=2 上,则该椭圆的焦点坐标是( A.(± 3,0) C.(± 5,0) B.(0,± 3) D.(0,± 5)

x2 y2 a b

)

【解析】 ∵直线 x+2y=2 过(2,0)和(0,1)点, ∴a=2,b=1, ∴c= 3. 椭圆焦点坐标为(± 3,0). 【答案】 A 2.若直线 y=kx+2 与椭圆 + =1 相切,则斜率 k 的值是( 3 2 A. 6 3 6 3 B.- 6 3 3 3
2 2

x2 y2

)

C.±

D.±

【解析】 把 y=kx+2 代入 + =1 得(2+3k )x +12kx+6=0, 3 2 2 6 2 由于 Δ =0,∴k = ,∴k=± . 3 3 【答案】 C 3.直线 y=x+2 与椭圆 + =1 有两个公共点,则 m 的取值范围是( m 3 A.m>1 C.m>3 B.m>1 且 m≠3 D.m>0 且 m≠3

x2 y2

x2 y2

)

y=x+2, ? ? 2 2 【解析】 由?x y + =1, ? ?m 3
得(m+3)x +4mx+m=0. 由 Δ >0 且 m≠3,得 m<0 或 m>1 且 m≠3, 又∵m>0,∴m>1 且 m≠3. 【答案】 B
9
2

4. 若 过椭 圆 ________.

+ = 1 内一点 (2,1) 的弦 被该 点平 分, 则 该弦 所在 直线 的方程 是 16 4

x2

y2

【解析】 设弦两端点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 + =1, + =1,两式相减并把 16 4 16 4

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

y1-y2 1 1 x1+x2=4,y1+y2=2 代入得 =- ,∴所求直线方程为 y-1=- (x-2),即 x+2y x1-x2 2 2
-4=0. 【答案】 x+2y-4=0 5.如图 2?1?4,已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆 + =1 的下焦点,交椭圆于 A,B 两点, 8 4 求弦 AB 的长. 【导学号:97792020】

y2 x2

图 2?1?4 【解】 令点 A,B 的坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2). 由椭圆方程知 a =8,b =4,∴c= a -b =2, ∴椭圆的下焦点 F 的坐标为 F(0,-2), ∵直线过点 B(2,0)和点 F(0,-2), ∴直线 l 的方程为 y=x-2. 将其代入 + =1, 8 4 化简整理得 3x -4x-4=0, 4 4 ∴x1+x2= ,x1x2=- , 3 3 ∴|AB|= ?x2-x1? +?y2-y1? = 2?x2-x1? = 2 ?x1+x2? -4x1x2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2 x2

= 2

?4?2-4×?-4?=8 2. ?3? ? 3? 3 ? ? ? ?

10


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