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四校2013-2014学年高一下学期期中联考数学试题及答案

东莞市四校联考 2013—2014 学年度第二学期期中考试 高一年级数学学科试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 1.圆 ( x ?1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 2 的圆心和半径分别为 A. (?1,3),2 B. (1,?3), 2 C. (1,?3),2 ( C. 13 ( ) D. 2 3 ) D. ( ) D. (?1,3), 2

2.设 A(2,1,3) , B(0,1,0) 则点 A 到点 B 距离为 A. 13 B. 12

3.一个扇形的弧长与面积都是 5 ,则这个扇形圆心角的弧度数为 A. 2 rad B.

3 rad 2

C. 1rad

5 rad 2

4.已知 a 是第二象限角, sin a ?

5 , 则cosa ? 13 5 13
C.

(

)

A. ?

12 13

B. ?

5 13


D.

12 13

5.圆 O1 : ( x ?1) 2 ? y 2 ? 1 和圆 O1 : x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 的位置关系是 A.相交 B.相切 C.外离 (

) D.内含 )

6.已知函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
2

) ,下面结论错误的是

A.函数 f ( x) 的最小正周期为 2? C.函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? 0 对称

B.函数 f ( x) 在区间 [0, D.函数 f ( x) 为奇函数

? ] 上是增函数 2

7.函数 y ? sin 2 x 的图像可由函数 y ? sin(2 x ? ) 的图像

? 3

得到

(

)

A.向左平移

? 个单位 3 ? 个单位 6

B.向右平移

? 个单位 3 ? 个单位 6

C.向左平移

D.向右平移

8.已知 cos ? ?

1 ? 7 , cos ? ? ,且 ? , ? ? (0, ) ,则 cos(? ? ? ) ? 3 2 9
B.





A. ?

1 2

23 27

C.

1 2

D. ?

23 27

9.函数 y ? Asin(?x ? ?)(A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) 在一个周期内的图像如图所示,则此函数的 解析式为( )

A. y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

B. y ? 2 sin(

x ? ? ) 2 3

C. y ? 2 sin( 2 x ?

?
3

)

D. y ? 2 sin( 2 x ?

2? ) 3

10.设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 且 f (? x) ? f ( x) ,则 A. f ( x ) 在 ? 0, ( )

?
2

) 的最小正周期为 ? ,

? ?? ? 单调递减 ? 2? ? ?? ? 单调递增 ? 2?

B. f ( x ) 在 ?

? ? 3? ? , ? 单调递减 ?4 4 ? ? ? 3? , ?4 4 ? ? 单调递增 ?

C. f ( x ) 在 ? 0,

D. f ( x ) 在 ?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 11.已知 sin ? ? cos ? ?

2 ,则 sin 2? 的值为 3




12.已知 tan ? ?

1 cos ? ? sin ? ? ,则 2 2 cos ? ? sin ?
2 2

13.经过点 M (2,1) ,并且与圆 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 24 ? 0 相切的直线方程是 14.函数 f ( x ) ? 3sin(2 x ? ) 的图像为 C ,下列命题:



? 3

①图像 C 关于直线 x ? 内是增函数; ③将 y ? sin( 2 x ? 像C ;

11 ? 对称; 12

②函数 f ( x ) 在区间 ( ?

? 5? , ) 12 12

? ) 的图像上的点横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 3 倍即可得到图 3
? 3

④图像 C 关于点 ( ,0) 对称. 其中,正确命题的编号是 . (写出所有正确命题的编号)

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证 明过程和演算步骤。 15.(本小题满分 12 分)如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是单位圆上的 两点, O 是坐标原点, ?AOP ? (I)求 P 点坐标; (II)若 Q ( , ) ,求 cos? ? ?

? , ?AOQ ? ? , ? ? ?0, ? ?, 6

3 4 5 5

? ?

??

? 的值. 6?

0 ?? ?? ) 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ?(其中 x ? R , .
(I)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (II)若点 ?

?? 1? , ? 在函数 y ? ? 6 2?

?? ? f ? 2 x ? ? 的图像上,求 ? 的 6? ?

17.(本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? A sin ? ? x ? 为 2,周期为 ? . (I)求 f ? x ? 的解析式; (II)求 f ? x ? 的单调增区间.

? ?

??

? (其中 A ? 0 , ? ? 0 )的振幅 3?

18.(本小题满分 14 分)已知圆 C 与直线 l1 : x ? 6 y ? 10 ? 0 相切于点 P ( 4,?1) ,且圆心 C 在

直线 l 2 : 5x ? 3 y ? 0 上,求圆 C 的方程.

19.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?

) ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ), x ? R 3 4 4

?

?

(I)将 f ( x ) 化为 f ( x) ? Asin(?x ? ? ) ? b, ( A ? 0, ? ? 0, ? ? ? ) ; (II)若对任意 x ? [ ?

? ? , ] ,都有 f ( x) ? a 成立,求 a 的取值范围; 12 2

(III)若将 y ? f ( x) 的图像先纵坐标不变,横坐标变为原来的 2 倍,后向左平移

? 个单 6

位得到函数 y ? g ( x) 的图像,求函数 y ? g ( x ) ?

1 在区间 [ ?2? ,4? ] 内所有零点之和. 3

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xoy 中, 设二次函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? b ( x ? R )
2

的图像与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C .求: (I)求实数 b 的取值范围; (II)求圆 C 的一般方程; (III)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论.

2013----2014 年高一四校联考数学评分标准
一.选择题 BCDAA 二.填空题 11. ? DCBDA

5 9

12.

1 3

13. x ? 2或4 x ? 3 y ? 5 ? 0

14.①②③

三.解答题 15.解:(I)设 P ? x, y ? 则 x ? cos

?
6

?

3 ? 1 , y ? sin ? , 2 6 2

所以 P ?

? 3 1? ? 2 ,2? ? ………………………………………………………………4 分 ? ?

(II)因为 Q ( , ) ,所以

3 4 5 5

4 3 sin ? ? , cos ? ? ……………………………………………………8 分 5 5
所以 cos( ? ?

?
6

) ? cos ? sin

?
6

? sin ? cos

?
6

…………………10 分

3 3 4 1 3 3?4 ? ? ? ? ? ………………………………………………………12 分 5 2 5 2 10
16.解:(I)∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? , ………………………………………………2 分 ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .………………………………………4分 (II)∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,………………………6分 6? 6 ? ?
?? ? f ? 2 x ? ? 的图像上, 6? ?

又点 ?

?? 1? , ? 在函数 y ? ? 6 2? ? ?

∴ sin ? 2 ?

?
6

?

?

? 1 ? ? ? ? .……………………………………………8分 6 ? 2

即 cos ? ?

1 .…………………………………………………………………10分 2

∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ?

? .…………………………………………12分 3
?
3 ) (其中 A ? 0, ? ? 0 )的振幅为 2 ,周期为 ? .

17.解:(I)∵函数 f ( x ) ? A sin(?x ?

∴ A ? 2, ? ?

2?

?

解得 ? ? 2 .…………………………………………4 分

∴ f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) .…………………………………………6 分

(II)由 ?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ,…………………………………………8 分

解得 ?

5? ? ? k? ? x ? ? k? …………………………………………12 分 12 12

∴ f ( x ) 的单调增区间为 [ ? 18.解:∵ x ? 6 y ? 10 ? 0 ∴y?

5? ? ? k? , ? k? ], k ? Z ……………………………14 分 12 12

1 5 x ? …………………………………………………………2分 6 3

∴与直线 x ? 6 y ? 10 ? 0 垂直的直线斜率为 ? 6 …………………………4分 ∴与直线 x ? 6 y ? 10 ? 0 垂直且过点 P(4,?1) 的直线方程为: y ? 1 ? ?6( x ? 4) 即: y ? ?6 x ? 23 ………………………………………………………………………8分

由? ∴

? y ? ?6 x ? 23 ? x ? 3 得? ?y ? 5 ?5 x ? 3 y ? 0

即圆心为 (3,5) …………………………………10分

r 2 ? (3 ? 4)2 ? (5 ? 1) 2 ? 37 …………………………………………………………………12 分
∴ 所 求 圆 的 方 程

为: ( x ? 3) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 37 ………………………………………………………………14 分 19.解:(I) f ( x) ? cos( 2 x ?

?

) ? 2 sin( x ? ) cos( x ? ) 3 4 4

?

?

? cos( 2 x ? ) ? sin( 2 x ? ) ………………………………………………………2 分 3 2

?

?

1 3 ? cos2 x ? sin 2 x ? cos2 x ……………………………………4 分 2 2

?

? 3 1 sin 2 x ? cos2 x ? sin( 2 x ? ) ……………………………………………6 分 6 2 2
, ] ,都有 f ( x) ? a 成立,则只需 f min ( x) ? a 即可 12 2
∴ ?

(II)若对任意 x ? [ ?

? ?

??

?
12

?x?

?
2

?
3

? 2x ?

?
6

?

5? ………………………………………8 分 6

∴当 2 x ?

?
6

??

?
3

即x??

? 时, f ( x) 有最小值即 12

f min ( x) ? f (?

?
12

)??

3 2 3 ………………………………………10 分 2

故求 a 的取值范围为: a ? ?

(III)依题意可得: g ( x) ? sin x 由 g ( x) ?

1 1 ? 0 得 sin x ? 3 3

由图可知,原函数有6个零点: x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 根据对称性有:

x1 ? x2 3? x ? x ? x ? x 5? ?? , 3 4 ? , 5 6 ? 2 2 2 2 2 2
从而,所有零点和为: x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? x6 ? 3? ……………………………14 分

20.解:(I)∵ f ( x ) 与坐标轴有三个交点, ∴必是与 y 轴有一个、与 x 轴有二个. 令 x ? 0 ,得抛物线与 y 轴的交点 (0, b)(b ? 0) .…………………………………2 分 令 f ? x ? ? x2 ? 2x ? b ? 0 ,则它有二个不同的解, ∴ ? ? 4 ? 4b ? 0 ,解得 b ? 1 . …………………………………………4 分 …………………………………5 分

∴ b 的取值范围是 {b | b ? 1 且 b ? 0} .
2

(II)设圆的方程为 x ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 , 令 y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0 ,其解是圆与 x 轴交点的横坐标.
2

∴ x ? Dx ? F ? x ? 2 x ? b ? 0 ,∴ D ? 2, F ? b .……………………7 分
2 2

令 x ? 0 得 y 2 ? Ey ? F ? 0 , ∴ 此方程有一个根为 b ,∴ E ? ?1 ? b .………………………………9 分 ∴ 所求圆的方程是 x2 ? y 2 ? 2x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .……………………………10 分 (III)答:圆 C 必过定点 (0,1) 和 (?2,1) . …………………………………………13 分 圆的方程是 x2 ? y 2 ? 2x ? y ? (1 ? y)b ? 0 当 y ? 1 时, x ? 2 x ? 0 ,解得 x ? 0, x ? ?2
2

∴ 圆 C 过定点 (0,1) 和 (?2,1) .

………………………………………14 分


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