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第2讲 椭圆、双曲线、抛物线(学生)


第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线

圆锥曲线的定义与标准方程 一、基础知识要记牢 圆锥曲线的定义: (1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|); (3)抛物线:|PF|=|PM|,点 F 不在直线 l 上,PM⊥l 于 M. 二、经典例题领悟好 [例 1] (1)已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线交 C 于 A,B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( x2 A. +y2=1 2 x2 y2 C. + =1 4 3 ) x2 y2 B. + =1 3 2 x2 y2 D. + =1 5 4

(2)已知点 A(2,0),抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M,与 其准线相交于点 N,则|FM|∶|MN|=( A.2∶ 5 C.1∶ 5 ) B.1∶2 D.1∶3

求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,就是指确定类型, 也就是确定椭圆、双曲线、抛物线的焦点所在的坐标轴的位置,从而设出相应的标准方程的 形式;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的 a2,b2,p 的值,最后代入写出 椭圆、双曲线、抛物线的标准方程. 三、预测押题不能少 1.(1)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( A.2 2 C.4 ) B.2 3 D.2 5

(2)已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M,N 与圆 C 相 切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( )

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y2 A.x2- =1(x>1) 8 y2 C.x2- =1(x>0) 8

y2 B.x2- =1(x>0) 10 y2 D.x2- =1(x>1) 10 圆锥曲线的几何性质

一、基础知识要记牢 (1)椭圆、双曲线中,a,b,c 之间的关系 c ①在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为 e= ; a c ②在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为 e= . a x2 y2 b (2)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x. a b a 二、经典例题领悟好 [例 2] (1)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y2=16x 的准线交 于 A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 C.4
2

) B.2 2 D.8

x (2)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 4 在第二、四象限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( )

A. 2 3 C. 2

B. 3 D. 6 2

?1?椭圆的方程、双曲线的方程、渐近线的方程以及抛物线的方程、准线都是高考的热 点.在解题时,要充分利用条件,构造方程,运用待定系数法求解. ?2?求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定 a、b、c 的等量关系,然后把 b b?2 c 用 a、c 代换,求 的值;在双曲线中由于 e2=1+? ?a? ,故双曲线的渐近线与离心率密切相 a 关. 三、预测押题不能少

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x2 y2 2.(1)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆 C:x2+y2-6x=0 所截得的弦 a b 长等于 2 5,则该双曲线的离心率等于( A. 5 C. 6 2 ) 3 5 B. 5 D. 3

(2)如图,椭圆的中心在坐标原点 O,顶点分别是 A1,A2,B1,B2, 焦点分别为 F1,F2,延长 B1F2 与 A2B2 交于 P 点,若∠B1PA2 为钝角, 则此椭圆的离心率的取值范围为( A.?0, C.?0, ) B.?

? ?

5+1? ? 4 ? 5-1? ? 2 ?

? 5+1 ? ? ? 4 ,1? ? 5-1 ? ? ? 2 ,1?

? ?

D.?

(3)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 m,水 面宽 4 m.水位下降 1 m 后,水面宽________m. 直线与圆锥曲线 一、经典例题领悟好 x2 y2 3 [例 3] 设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与 x 轴垂直的 a b 3 直线被椭圆截得的线段长为 (1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 分别为椭圆的左、 右顶点, 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 4 3 . 3

DB + AD · AC · CB =8,求 k 的值.

在涉及直线与圆锥曲线的两个交点坐标时, 一般不是求出这两个点的坐标, 而是设出这 两个点的坐标, 根据直线方程和曲线方程联立后所得方程根的情况, 使用根与系数的关系进 行整体代入,这种设而不求的思想是解析几何中处理直线和圆锥曲线相交问题的最基本方 法. 二、预测押题不能少

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x2 y2 2 2 3.已知椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构 a b 3 成的三角形的周长为 6+4 2. (1)求椭圆 M 的方程; (2)设直线 l 与椭圆 M 交于 A, B 两点, 且以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 C, 求△ABC 面积的最大值.

圆锥曲线与解三角形的交汇

圆锥曲线与方程是解析几何的核心组成部分, 是高考重点考查的内容, 且所占分值较大, 高考中有时与平面向量、 解三角形、 不等式等知识交汇命题, 考查学生解决综合问题的能力.

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一、经典例题领悟好 x2 y2 [例] 设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是 C 上一点.若|PF1| a b +|PF2|=6a,且△PF1F2 的最小内角为 30° ,则 C 的离心率为________. ?1?本题求离心率的方法,利用余弦定理建立关于参数 a,c 的方程,通过解方程求出离 心率的值.求出 e 的值要注意验证是否符合条件. ?2?在与圆锥曲线有关问题中应用方程思想的常见题目类型: ①求 a,b,c,e 的值经常利用方程的思想,解方程即可求得; ②求圆锥曲线方程常常转化为求相关系数的值. 二、预测押题不能少 x2 y2 a2 设 F1,F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在直线 x= 上存在点 P,使 a b c 线段 PF1 的中垂线过点 F2,则此椭圆离心率的取值范围是________.

y2 x2 1.与椭圆 C: + =1 共焦点且过点(1, 3)的双曲线的标准方程为( 16 12 y2 A.x2- =1 3 y2 x2 C. - =1 2 2 B.y2-2x2=1 y2 D. -x2=1 3 )

)

y2 2.双曲线 x2- =1 的离心率大于 2的充分必要条件是( m 1 A.m> 2 C.m>1
2 2

B. m≥1 D. m>2

x y 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别 a b 交于 A, B 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3, 则 p=( A.1 C.2 3 B. 2 D.3 )

4.设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆 过点(0,2),则 C 的方程为( A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x ) B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

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x2 y2 1 5.若椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax2+2bx+c=0 的两 a b 2 个实数根分别是 x1 和 x2,则点 P(x1,x2)到原点的距离为( A. 2 C.2 B. 7 2 )

7 D. 4

|PF| 6. 抛物线 y2=4x 的焦点为 F, 点 P(x, y)为该抛物线上的动点, 又点 A(-1,0), 则 的 |PA| 最小值是( 1 A. 2 C. 3 2 ) B. 2 2

2 3 D. 3

x2 y2 7.已知抛物线 y2=4x 的焦点 F 恰好是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右顶点,且双曲线 a b 的渐近线方程为 y=± 3x,则双曲线方程为________. 8.在平面直角坐标系 xOy 中,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上 一点,PA⊥l,A 为垂足.如果直线 AF 的倾斜角为 120° ,那么|PF|=________. 9.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 2 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为__________. 2

x2 y2 3 10.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5 (1)求 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5

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11.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线 C 与直线 l1:y=-x 的一个交点 的横坐标为 8. (1)求抛物线 C 的方程; (2)不过原点的直线 l2 与 l1 垂直,且与抛物线交于不同的两点 A,B,若线段 AB 的中点 为 P,且|OP|=|PB|,求△FAB 的面积.

x2 y2 12.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,点 A 在椭圆 C 上, a b | F1 A |=-5 AF2 · AF1 · F1 F2 =0,3| AF2 |· F1 A ,| F1 F2 |=2,过点 F2 且与坐标轴不垂直的 直线交椭圆于 P,Q 两点. (1)求椭圆 C 的方程;

MP = PQ · (2)线段 OF2(O 为坐标原点)上是否存在点 M(m,0), 使得 QP · MQ ?若存在,
求出实数 m 的取值范围;若不存在,说明理由.

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