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2013天津市南开区高三数学(理)第一次模拟考试


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2013 年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试 数 学(理工类)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试用时 120 分 钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

(选择题

共 40 分)

注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡。 2. 每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上的无效。 3.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 (1)若(2+i)(b+i)是实数(i 是虚数单位,b 是实数),则 b= (A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2 (2)已知 S n 为等差数列{ an }的前 n 项和,S7=28,S11=66,则 S9 的 值为 (A)38 (B)45 (C)47 (D)54 (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的 c 值为 (A)55 (B)56 (C)66 (D)89 (4)下列关于函数 f ( x ) ? x 2 与函数 g( x ) ? 2 x 的描述,正确的是 (A) ?X ? R ,当 x>X 时,总有 f(x)<g(x); (B) ?x ? R, f(x)<g(x); (C) ?x ? 0, f(x)≠g(x) (D)方程 f(x)=g(x)在(0,+∞)内有且只有一个实数解 (5)已知 ( x ? 1 )5 ( 2 x ? 1 )3 ? a8 x8 ? a7 x 7 ? ... ? a1 x ? a0 ,则 a7 的值为 (A)-2 (C)43 (B)28 (D)52

(6)已知直线 l 为抛物线 y 2 ? 2 px (p>0)的准线,F 为其焦点,直线 AB 经过 F 且与抛物线 交于 A,B 两点。过点 A,B 做直线 l 的垂线,垂足分别为 C,D,线段 CD 的中点为 M,
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O 为坐标原点,则下列命题中错误的是 ??? ???? ? ???? ??? ? (A) CF ?DF ? 0 (B) MF ?AB ? 0
??? ? ???? (C)存在实数 ? 使得 OA ? ? OD

(D)三角形 AMB 为等腰三角形

(7)已知 A ? {( x, y )| x( x ? 1 ) ? y( 1 ? y )} , B ? {(x,y)| x 2 + y 2 ? a } 若 A ? B,则实数 a 的取值 范围是 (A)(0, 2 ) (C)[2,+∞) (B)[ (D) [
1 ,+∞) 2
2 ,+∞) 2

(8)如图,l1,l2,l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 距离是 1,l2 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分 l2,l2,l3 上,则△ABC 的边长是 (A)3 (C)3 6 (B)6 3 (D)
2 21 3

间的 别在

2013 年普通高等学校招生天津市南开区模拟考试(一) 数学(理工类) 第Ⅱ卷 (非选择题 共 110 分)
注意事项: 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 2.用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上. 3.本卷共 12 小题,共 110 分. 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. (9)某校为了解高三男生的身体状况, 检测了全部 480 名高三男生的体重(单位:kg),所得数据都在区间 [50,75]中, 其频率分布直方图如图所示. 若图中从左 到右的前 3 个小组的频率之比为 1:2:3,则体重小于 60kg 的高三男生人数为 .

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(10)一个几何体的三视图如右图所示(单位:cm),则这个几何体的体积为 厘米.

立方

(11) 已 知 在 极 坐 标 系 下 , 圆 C 的 方 程 为 ? ? 4cos ? , 直 线 l 的 方 程 为
3? cos ? ? 4? sin? ?1 ? 0 ,则直线 l 截圆 C 所得的弦长

为 . (12)如图,A,B 是两圆的交点.AC 是小圆的直径,D E 分别是 CA 和 CB 的延长线与大圆的交点,已知 AC=4,BE=10.且 BC=AD,则 DE= .
? ?2 x ? 1 ? x 2 ,x ? 0 , ? (13) 已 知 f ( x ) ? ? , 则 f(x)>-1 的 解 集 ? 1 ,x ? 0 , ? x ?



为 . (14)如图,在△ABC 中,AD,BE 分别为边 BC,CA 上的 ???? ??? ? ???? ??? ? 中线,且 AD 与 BE 的夹角为 l20o , | AD |? 1,| BE |? 2 ,则
??? ???? ? AB?AC 的值为

.

三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)(本小题满分 l3 分) 已知函数 f ( x ) ? sin( 2 x ? (I)求 f (

?

) 的值; 12 (Ⅱ)求 f(x)的最大值及相应 x 的值.

?

6

) ? cos( 2 x ?

?

3

) ? 2 cos 2 x .

(16)(本小题满分 l 3 分)
1 袋子 A 和 B 中装有若干个均匀的红球和白球, A 中摸出一个红球的概率是 , 从 从 3 2 B 中摸出一个红球的概率是 .现从两个袋子中有放回的摸球· 3 (I)从 A 中摸球,每次摸出一个,共摸 5 次.求: (i)恰好有 3 次摸到红球的概率; (ii)设摸得红球的次数为随机变量 X,求 X 的期望; (Ⅱ)从 A 中摸出一个球,若是白球则继续在袋子 A 中摸球,若是红球则在袋子 B 中摸 球,若从袋子 B 中摸出的是白球则继续在袋子 B 中摸球,若是红球则在袋子 A 中摸球,
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如此反复摸球 3 次,计摸出的红球的次数为 Y,求 Y 的分布列以及随机变量 Y 的期望.

(17)(本小题满分 l3 分) 如图, 四边形 ABCD 是矩形, AD=2, DC=l, 平面 ABCD⊥平面 BCE, BE⊥EC, EC=1. 点 F 在线段 BE 上,且 DE//平面 ACF ( I )求证:平面 AEC⊥平面 ABE; BF (Ⅱ)求 的值; BE (Ⅲ)求二面角 A-FC-B 的余弦值.

(18)(本小题满分 l 3 分)
3 3 2 已 知 数 列 { an } 满 足 对 一 切 n ? N * 有 an >0 , 且 a13 ? a2 ? ... ? an ? Sn , 其 中

Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an .
2 ( I )求证:对一切 n ? N * 有 an?1 ? an ?1 ? 2Sn ;

(II)求数列{ an }通项公式; (Ⅲ)设数列{ bn }满足 bn ? 2n ?an ,Tn 为数列{ bn }的前 n 项和,求 Tn 的表达式. (19)(本小题满分 l4 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x2=4y 的焦 点,离心率等于
2 5 . 5

( I )求椭圆 C 的方程; (II)过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于 M 点,若 ???? ??? ???? ? ??? ? MA ? ?1 AF , MB ? ?2 BF ,求证 ?1 ? ?2 为定值. (20)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? b ln x ? c (a,b,c 为常数且 a,b,c ? Q)在 x=e 处的切线方程为
(e ? 1) x ? ey ? e ? 0 .
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( I )求常数 a,b,c 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? x 2 ? mf ( x)(m ? R) 在区间(1,3)内不是单调函数,求实数 m 的取值范 围; (Ⅲ)求函数 h( x)f ( x)-1 的单调递减区间,并证明: =
ln 2 ln 3 ln 4 n ln × × ×... ? 2 3 4 n n 1

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