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宁夏银川一中2015届高三上学期第三次月考试题 数学(理) Word版含答案


银川一中 2015 届高三年级第三次月考

数 学 试 卷(理)
命题人:曹建军

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.集合 M ? { x | 2 x ? 4}, N ? { x | x(1 ? x ) ? 0} ,则 C M N = A. (??, 0) ? [1, ??] C. (??, 0] ? [1, 2] 2.已知复数 z ? 1 ? i ? i ? i ? ... ? i
2 3

B. (??, 0) ? [1, 2] D. (??,0] ?[1, ??]
2015

,则化简得 z = C.1 D. 1 ? i

A.0

B. ?1

3. S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和, a2 ? a8 ? 6 ,则 S 9 ? A.

27 2

B. 27

C. 54

D. 108 a 的最小值是 x1x2 3

4. 已知关于 x 的不等式 x2-4ax+3a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),则 x1+x2+ 6 A. 3 2 B. 3 3 2 C. 3 6

4 D. 3

5.在 ?ABC 中, C ? 90 ,且 CA ? CB ? 3 ,点 M 满足 BM ? 2MA, 则CM ? CB 等于 A.3 6. 下列说法正确 的是 ..
x x A.命题“ ?x ? R , e ? 0 ”的否定是“ ?x ? R , e ? 0 ”

B.2

C.4

D.6

B.命题 “已知 x, y ? R ,若 x ? y ? 3 ,则 x ? 2 或 y ? 1 ”是真命题
2 C.“ x ? 2 x ? ax 在 x ??1, 2? 上恒成立” ? “ ( x 2 ? 2 x)min ? (ax)max 在 x ??1, 2? 上恒成立”

D.命题“若 a ? ?1 ,则函数 f ? x ? ? ax ? 2x ?1 只有一个零点”的逆命题为真命题
2

7. 能够把圆 O : x ? y ? 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的“和谐函数”,下列函数
2 2

不是 圆 O 的“和谐函数”的是 .. A. f ( x) ? 4x ? x
3

B. f ( x) ? 1n

5? x 5? x

C. f ( x) ? tan

x 2

D. f ( x) ? e ? e
x

?x

8. 已知 sin 2? ? A.

1 2

2 ? 2 ,则 cos (? ? ) ? 3 4 1 1 B. C. 3 6

D.

2 3

第 1 页 共 7 页

9.已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足 a1 ? b1 ? 1, an ?1 ? an ? A.

bn?1 ? 2, n ? N ? , ,则数列 ban 的前 10 项和为 bn
C.

? ?

1 10 4 ?1 3

?

?

B.

4 9 4 ?1 3

?

?

1 9 4 ?1 3

?

?

D.

4 10 4 ?1 3

?

?

10.函数 y ? sin 4 x ? cos4 x 是 A.最小正周期为

? 2 ? ? ,1? 的函数 ,值域为 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ,1? 的函数 ,值域为 ? 4 ? 2 ?

B.最小正周期为

C.最小正周期为 D.最小正周期为

? ?1 ? ,值域为 ? ,1? 的函数 2 ?2 ?
y Dn Cn

? ?1 ? ,值域为 ? ,1? 的函数 4 ?2 ?
1 ( x ? 0) 的图象上.若点 Bn 的坐标 x

11.如图,矩形 An B n C n D n 的一边 An B n 在 x 轴上,另外两个顶点 Cn,Dn 在函数 f ( x ) ? x ?

(n,0)(n ? 2, n ? N ? ) ,记矩形 An B n C n D n 的周长为 an,

则 a2+a3+…+a10= A.208 B.216 C.212 D.220

O An

Bn

x

12.若直角坐标平面内 A、B 两点满足①点 A、B 都在函数 f ( x ) 的图象上;②点 A、B 关于原点对称,则 点(A,B)是函数 f ( x ) 的一个“姊妹点对”。点对(A,B)与(B,A)可看作是同一个“姊妹点对”,已知
? x 2 ? 2 x ( x ? 0) ? 函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f ( x ) 的“姊妹点对”有 ( x ? 0) ? x ?e

A.

2个

B. 1 个

C.

0个

D.

3个

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分. 第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ?x+y-7≤0, 13.设 x,y 满足约束条件?x-3y+1≤0,则 z=2x-y 的最大值为

?

? ?3x-y-5≥0, ? 14.在 ?ABC 中,已知内角 A ? ,边 BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的面积 S 的最大值为 . 3 n ?1 ? 15. 已知 an ? ? (2 x ? 1)dx ,数列 ? ? 的前项和为 Sn ,数列 ?bn ?的通项公式为 bn ? n ? 8 ,则 bn Sn 的 0 ? an ?
最小值为 .
第 2 页 共 7 页

.

16.在技术工程中,经常用到双曲正弦函数 shx ?

e x ? e?x e x ? e?x 和双曲余弦函数 chx ? .其实双曲正弦函 2 2

数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似,比如关于正、余函数有
cos(x ? y ) ? cos x cos y ? sin x sin y 成立,而关于双曲正、余弦函数满足 ch( x ? y ) ? chxchy ? shxshy.请你

类比正弦函数和余弦函数关系式,写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新关系 式 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在等差数列 ?a n ?中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数, b1 ? 1 ,公比为 q , 且 b2 ? S 2 ? 12 , q ? (1)求 a n 与 b n ;

S2 . b2

(2)设数列 ?cn ? 满足 cn ? bn ? a5 ,求 ?c n ?的前 n 项和 T n . 18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ?

3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 , 0 ? ? ?

?
2

) .其图象的最高点与相邻对

称中心的两点间 距离为 1 ? ...

?2
16

,且过点 (

?
3

,1) .

(1)求函数 f ( x) 的周期及其表达式; (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, a ? 5 , CA ? CB ? 10 ,角 C 为锐角且满 足 2a ? 4a sin C ? c sin A ,求 c 的值. 19. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 ? (1)证明:数列 { (2)求数列 {

2an 2 , an ?1 ? , n ? 1, 2,3,...... . 3 an ? 1

1 ? 1} 是等比数列; an

n } 的前 n 项和 Sn . an
2

20. (本小题满分 12 分)

已知函数 f ? x ? ? ln ? x ? a ? ? x ? x 在 x ? 0 处取得极值.

(1)求实数 a 的值; (2)关于 x 的方程 f ? x ? ? ? 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ?

5 x ? b 在区间 ?0, 2? 上有两个不同的实数根,求实数 b 的取值范围; 2

1 3 1 x ? (a ? 2) x 2 , h( x) ? 2a ln x, f ( x) ? g ?( x) ? h( x) 。 6 2 (1)当 a∈R 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性.
(2)是否存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 ,都有
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ?a. x1 ? x 2

若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由.
第 3 页 共 7 页

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题 做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在 .... 答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (2)求证: 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB
2

A E O M B D C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程. 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立坐 ?y ? 3sin?

标系,曲线 C 2 的极坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ? 2x ? 1 ? ax ? 5 (a 是常数,a∈R) (1)当 a=1 时求不等式 f ( x) ? 0 的解集; (2)如果函数 y ? f ( x) 恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围.
2 2 2 2

?
3

)

宁夏银川一中 2015 届高三第三次月考数学(理)参考答案
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 题号 C A B D A B D C 答案 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.8 14. 3 3 15.-4
2 2

9 A

10 C

11 B

12 A

16. sh( x ? y) ? shxchy? chxshy 或sh2x ? 2shchx或ch x ? sh x ? 1 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)

?b2 ? s2 ? 12 ?q ? 6 ? d ? 12 ? ? 解: (1)因为 ? ,所以 ? ,得 q ? 3, q ? ?4(舍),d ? 3 , s2 6?d q ? q ? ? ? b2 q ? ? 6分 an ? 3n , bn ? 3n?1
(2)因为 cn ? bn ? a5 , 所以 cn ? 3
n ?1 n ?1 ? ?15 ? 3 (n ? 3) ? 15 ? ? n ?1 ? ?3 ? 15(n ? 4)

第 4 页 共 7 页

? 3n 1 ? ? 15n ? (n ? 3) ? ? 2 2 得 Tn ? ? n ? 3 ? 15n ? 127 (n ? 4) ? ?2 2
18. (本小题满分 12 分)

12 分

解: (Ⅰ ) f ( x) ? 3 sin(?x ? ? ) ? 1 [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ? ) ? 1 .
2 2 6 2

∵ 最高点与相邻对称中心的距离为

1?

?2
16

, 则

T ? ? 4 4

, 即 T ??

,



2? ?? |? |

,∵

? ? 0 ,∴ ? ? 2 , 又 f ( x ) 过 点

? 2? ? 1 ( ,1) ,∴ sin( ? ? ? ) ? ? 1, 3 3 6 2 ? 1 1 ? ? ? 1 即 sin( ? ? ) ? ,∴ cos ? ? .∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴f ( x) ? sin(2 x ? ) ? . (6 分) 2 2 2 2 3 6 2 5 2 ? (Ⅱ ) 2a ? 4a sin C ? c sin A ,由正弦定理可得 sin C ? , ∵ , cos C ? 0 ? C ? ,∴ 3 3 2 b ? 6 ,由余弦定理得 又 a ? 5 , CA ? CB ? ab cos C ? 10 ,∴
c ? 21 . c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C ? 21 ,∴
19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)∵ an ?1 ? (12 分)

2an a ?1 1 1 1 1 ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1 1 1 1 2 1 1 ? ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列.……… 6 分 2 2 an 1 1 1 1 n n 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an?1 2 2 2 an 2 an 2 1 2 3 n 1 1 2 n ?1 n 设 Tn ? ? 2 ? 3 ? … ? n , ①则 Tn ? 2 ? 3 ? … ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 n 1 1 1 2 2 ? n ? 1? 1 ? n , Tn ? ? 2 ? … ? n ? n ?1 ? 由① ? ②得 1 2 2 2 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n(n ? 1) Tn ? 2 ? n ?1 ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ? . ? 2 2 2 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n 数列 { } 的前 n 项和 Sn ? 2 ? n ? 12 分 2 2 2 2 ……… an ?
1 ? 2 x ? 1, x?a

20. (本小题满分 12 分)
' 解:(1) f ? x ? ?

x ? 0 时, f ? x ? 取得极值, ? f ' ? 0? ? 0,



1 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0, 解得 a ? 1. 经检验 a ? 1 符合题意. 0?a
第 5 页 共 7 页

2 (2)由 a ? 1 知 f ? x ? ? ln ? x ?1? ? x ? x,

ln ? x ? 1? ? x 2 ?

恰有两个不同的实数根等价于 ? ? x ? ? 0 在区间 0, 2 上恰有两个不同的实数根.

3 x ? b ? 0, 2

5 x ? b ,得 2 3 5 2 令 ? ? x ? ? ln ? x ? 1? ? x ? x ? b, 则 f ? x ? ? ? x ? b 在区间 ? 0, 2? 上 2 2
由 f ? x? ? ?

?' ? x? ?

' ? ? ' 当 x ? ?1, 2? 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?1, 2? 上单调递减.

当 x ? 0,1 时, ? ? x ? ? 0 ,于是 ? ? x ? 在 ?0,1? 上单调递增;

1 3 ? ? 4 x ? 5?? x ? 1? ? 2x ? ? , x ?1 2 2 ? x ? 1?

? ?

?? ? 0 ? ? ?b ? 0 ? 3 1 ? 依题意有 ?? ?1? ? ln ?1 ? 1? ? 1 ? ? b ? 0 , 解得, ln 3 ? 1 ? b ? ln 2 ? . 2 2 ? ? ?? ? 2 ? ? ln ?1 ? 2 ? ? 4 ? 3 ? b ? 0 1 2 21.解: (1) f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? 2a ln x, ( x 0) 2 2a ( x ? 2)( x ? a) f ?( x) ? x ? a ? 2 ? ? , ( x 0) , x x ①当 a>0 时,f(x)在(0,2)上是减函数,在在 (2,??) 上是增函数。
②当-2<a≤0 时,f(x)在(0,-a)上是增函数;在(-a,2)是是减函数;在 (2,??) 上是增函数。 ③当 a=-2 时,f(x)在(0,+ ?) 上是增函数。 ④当 a<-2 时,f(x)在(0,2)上是增函数;在(2,-a)上是减函数;在 (?a,??) 上是增函数。 (2) 假设存在实数 a, 对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) , 且 x1 ? x2 , 都有 时,等价于 +ax=

f ( x2 ) ? f ( x1 )

a( x1 ? x2 ) 即 f ( x2 ) ? ax2

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 当 x1 x2 a 恒成立, x1 ? x2 f ( x1 ) ? ax1 恒 成 立 . 令 g ( x ) =f ( x )

1 2 x ? 2a ln x ? 2 x ? 2ax ,只要 g ( x )在( 0, + ?) 上恒为增函数 , 所以 g ?( x) ? 0 恒成立即可 .又 2 2a x 2 ? (2a ? 2) x ? 2a 2 ? g ( x) ? x ? ? 2 ? 2a ? ,只要 x ? (2a ? 2) x ? 2a ? 0 在(0,+ ?) 恒成立即可. x x ?h(0) ? ?2a 0 ?a 0 ? 2 2 2 设 h( x) ? x ? (2a ? 2) x ? 2a , 则 由 ? ? 4(a ?1) ? 8a ? 4a ? 4 0 及 ? 2a ? 2 得? , ? ?0 ?a ? 1 ? ? 2 a ?? 当 x1 x2 时, 等价于 f ( x2 ) ? f ( x1 ) a( x1 ? x2 ) 即 f ( x2 ) ? ax2 f ( x1 ) ? ax1 恒成立. g(x)在(0,+ ?) 上恒为增函数,所以 g ?( x) ? 0 恒成立即可. a ?? f ( x2 ) ? f ( x1 ) a. 综上所述,不存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0, ??) ,且 x1 ? x2 时,都有 x1 ? x2
22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD 所以 ?ODE ? ?ODB 所以 ?OED ? ?OBD ? 90?
第 6 页 共 7 页

所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆 。 。 。 。 。 。5 分 (2)延长 DO 交圆 O 于点 H . 因为 。 。 。 。 。 。7 分 DE2 ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH .。 1 1 2 2 所以 DE ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB ) 所以 2DE ? DM ? AC ? DM ? AB 。 。10 分 2 2 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程选讲.

24.(本小题满 分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

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