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浙江省杭州十四中2012-2013学年高二上学期期中数学文试卷

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杭十四中二〇一二学年第一学期阶段性测试 高二年级数学(文科)学科试卷
考生须知: 1. 考试时间:2012 年 11 月 20 日 10 时 20 分至 11 时 50 分. 2. 试卷分本卷和附加两部分,其中本卷满分 100 分,附加满分 20 分,共 4 页. 3. 所有答案必须写在答题卷上, 在试卷上答题无效. 4. 本试卷不得使用计算器. 5.参考公式: (1)柱体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高

1 3 1 (3)台体的体积公式:V ? h S1 ? S1S2 ? S2 ,其中 S1 , S2 分别表示台体的上底、下底面积, h 表 3
(2)锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高

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示台体的高 (4)球的表面积公式: S ? 4πR 2 ;球的体积公式: V ?

4 3 πR ,其中 R 表示球的半径. 3

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分, 共 30 分,在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的) : 1.( )直线 3x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角为 A.
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6 2? C. 3

B.

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3 5? D. 6
x2 ? y 2 ? 1 的焦点坐标是 3

2. )双曲线 ( A. ? 2,0 C. ? ?2,0?

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B. 0, ? 2 D. ? 0, ?2?

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3. )过点 A(?2, 4) ,且在 x 轴上截距是 y 轴上截距的 2 倍的直线方程为 ( A. x ? 2 y ? 6 ? 0 或 2 x ? y ? 8 ? 0 C. 2 x ? y ? 0 或 x ? 2 y ? 10 ? 0 4. )抛物线 x 2 ? 8 y 的准线方程是 ( A. y ? ?2 C. y ? ?4 B. x ? ?2 D. x ? ?4 B. x ? 2 y ? 6 ? 0 或 2 x ? y ? 0 D. x ? 2 y ? 10 ? 0 或 2 x ? y ? 8 ? 0

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5. )若直线 (m ? 2) x ? my ? 3 ? 0 与 mx ? 4 y ? 1 ? 0 垂直,则实数 m 的值为 ( A. 1 或 2 C.-6 或 2 B. ?2 ? 2 3 或 ?2 ? 2 3 D. 0 或 2

6. )圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 0 关于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 对称的圆的方程是 ( A. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ?
1 2

B. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ?

1 2

C. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

D. ( x ? 3)2 ? ( y ? 2)2 ? 2

7. )已知两个不同的平面 ? 、 ? ,能判定 ? // ? 的条件是 ( A. ? 、 ? 分别平行于直线 a C. ? 、 ? 分别垂直于平面 ? B. ? 、 ? 分别垂直于直线 a D. ? 内有两条直线分别平行于 ?

8. )如图,正四棱锥 P ? ABCD 的所有棱长相等,E 为 PC 的中点,则异面直线 BE ( 与 PA 所成角的余弦值是 A. C.
1 2
2 3 2 2 3 D. 3
P E D A (第 8 题) B C

B.

9. )球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是 ( ? A. ? B.
2

C.

?
3

D.

?
4

10. )由直线 y ? x ? 2 上的一点向圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 引切线,则切线长的最小值为 ( A. 4 C. 2 2 B. 3 D. 1

二、填空题(本大题有 7 小题,每题 4 分,共 28 分.请将答案填写在答题卷中的横线 上) : 11.与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 平行,且经过点 (2, ?3) 的直线方程为 ▲ . ▲ .

12.已知抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m, 4) 到其焦点的距离为 5 ,则 m=

?

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13.已知 F1 (0, ?2) 、 F2 (0, 2) 为椭圆的两个焦点,过 F2 作椭圆的弦 AB ,若 ?AF1B 的周长为 ▲ . 14.若某几何体的三视图(单位:cm)如右图所示,则该几何体 的体积为 ▲ cm2.
16 ,则该椭圆的标准方程为

(第 14 题)

15.过点 P(3, 2) 且与双曲线

x2 y2 ? ? 1 有相同渐近线方程的双曲线 4 2

的标准方程为 ▲ . 16.如图,在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,已知 AB ? 2,D 在棱 BB1 上,且 BD ? 2 ,若 AD 与 平面 AA1C1C 所成的角为 ? ,则 ? 为 ▲ .
C1 A1 B1 D B A (第 16 题)

C

17.给出下列命题: ①如果 a , b 是两条直线,且 a // b ,那么 a 平行于经过 b 的任何平面; ②如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? ; ③若直线 a , b 是异面直线,直线 b , c 是异面直线,则直线 a , c 也是异面直线; ④已知平面 ? ⊥平面 ? ,且 ? ∩ ? = b ,若 a ⊥ b ,则 a ⊥平面 ? ; ⑤已知直线 a ⊥平面 ? ,直线 b 在平面 ? 内, a // b ,则 ? ⊥ ? . 其中正确命题的序号是 ▲ . 三、 解答题 (本大题有 4 小题, 共 42 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) : 18.(本题满分 10 分) 若直线 l 过点(0,3)且与抛物线 y2=2x 只有一个公共点,求该直线方程. 19.(本题满分 10 分) 求圆心在直线 x ? y +1 ? 0 上,且经过圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点 的圆方程.

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20.(本题满分 10 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面为直角梯形, AB // DC ,
?DAB ? 900 , PA ? 底面 ABCD ,且 PA ? AD ? DC ?

1 AB . 2

(Ⅰ)证明: DC ? 平面 PAD ; (Ⅱ)求二面角 P ? BC ? A 的余弦值的大小.
(第 20 题)

21.(本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点 O ,焦点在坐标轴上,直线 y ? 2 x ? 1 与该椭圆相交于 P 和 Q ,且
OP ? OQ , | PQ |?

10 ,求椭圆的方程. 11

四、附加题 22.填空题(本大题有 2 小题,每题 5 分,共 10 分.请将答案填写在答题卷中的横线 上) : (Ⅰ)函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 13 ? x2 ?12x ? 37 的最小值为 (Ⅱ)若点 P 在曲线 C1 : ▲ .

x2 y2 ? ? 1 上,点 Q 在曲线 C2 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上,点 R 在曲线 16 9

C3 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 1 上,则 | PQ | ? | PR | 的最大值是



.

23. (本题满分 10 分.请写出文字说明, 证明过程或演算步骤) :
x2 y 2 1 ? ? 1( a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半 a 2 b2 2 径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切.又设 P(4,0) , A , B 是椭圆 C 上关于 x 轴对称的任意两

已知椭圆 C :

个不同的点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点 Q ,并写出该定点 Q 的坐标.

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数学(文科)评分细则高二
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分, 共 30 分) :
题号 答案 1 C 2 C 3 B 4 A 5 D 6 D 7 B 8 D 9 B 10 A

二、填空题(本大题有 7 小题,每题 4 分,共 28 分) :
11. x+2y+4=0 12.m=± 4 13.

y2 x2 ? ?1 16 12
3 )? 3

14. (2 ? 15. x 2 ?

y2 ?1 1 2

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16. 30 0 17.②⑤

三、解答题(本大题有 4 小题, 共 42 分) :
18.解析:若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=0,满足条件………………………………2 分; 当直线 l 的斜率存在,不妨设 l:y=kx+3,代入 y2 =2x,得:k2x2 +(6k-2)x+9=0…………… 4 分; 有条件知, k=0 时, 直线 y=3 与抛物线有一个交点……………………………………… 当 即: 6 分; 当 k≠0 时,由△=(6k-2)2 -4×9×k2=0,解得:k= 分; 故满足条件的直线方程为: x=0 或 y=3 或 y ? 10 分. 19.解析:设圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 28 ? 0 的交点为 A、B,解方程组:

1 1 ,则直线方程为 y ? x ? 3 …………9 6 6

1 x ? 3 ………………………………………… 6

? x2 ? y 2 ? 6 x ? 4 ? 0 ? x ? ?1 ? x ? ?6 ………………………………………4 分; ?? 或? ? 2 2 ? x ? y ? 6 y ? 28 ? 0 ? y ? 3 ? y ? -2
所以 A(-1,3) 、B(-6,-2) 因此直线 AB 的垂直平分线方程为:x+y+3=0…………….……………………………………6 分;

x ? y +1 ? 0 与 x+y+3=0 联立,解得:x=-2,y=-1,即:所求圆心 C 为(-2,-1)………8
分; 半径 r=AC= 17 .
2 故所求圆 C 的方程为: (x+2)2 + (y+1) =17………………………………………………………

4 分;

? ABCD是直角梯形 ? ? ? AD ? DC ? 0 ?DAB ? 90 ? ? ? PA ? 平面ABCD ? PA ? DC ? ? DC ? 平面PAD ………………………4 分; 20.解析: (I) ? AD ? PA ? DC ? ? ?
( II )

? ? AD ? DC ? 2 AB ? ? ? ? AC ? 2 DC ? ? AD ? DC ? 2 ? BC ? PC ? ? AC ? BC ? ? ? ? BC ? 平面PAC ? ? ? ? ?CAB ? ? BC ? AC ? ? 4 ? ? ? PA ? 平面ABCD ? PA ? BC ?
…………………………………………………………………………………………………………………

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AC 6 ? ………………………10 PC 3

8 分;. 故 ?ACP 为所求二面角的平面角,cos ?ACP ? 分. 21.解析:设所求椭圆的方程为 mx2 ? ny 2 ? 1(m ? 0, n ? 0) ,

依题意,点 P( x1 , y1 ) 、Q( x2 , y2 )的坐标满足方程组 ?

?mx 2 ? ny 2 ? 1 ? y ? 2x ? 1

解之并整理得 (m ? 4n) x2 ? 4nx ? n ? 1 ? 0 ………………………………………………2
分;

所以: x1 ? x2 ? ?
分;

4n n ?1 , x1 x2 ? m ? 4n m ? 4n

①………………………………3

由 OP⊥OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? x1 x2 ? (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1) ? 0 ? 5x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0
n ?1 ?4n ②………………………6 分; ? 5? ? 2? ?1 ? 0 ? m ? n ? 5 m ? 4n m ? 4n 10 100 100 2 ? ( x1 ? x2 )2 ? (2 x1 ? 2 x2 )2 = 又由|PQ|= ? PQ ? ( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 11 121 121 100 20 ? 5 ( 1 ? x2 2) ? 2 01 x2 x x = ? ( x1 ? x2 )2 ? 4x1 x2 = ③………………………………9 121 121
分;

由①②③可得:19n2 ? 98n ? 120 ? 0 ? n ? 2或n ?
分;

35 60 ? m ? 3或m ? ………………11 19 19

故所求椭圆方程为 3x2 ? 2 y 2 ? 1 ,或
12 分.

35 x 2 60 y 2 ? ? 1 ……………………………………… 19 19

四、附加题(本大题有 2 小题, 共 20 分) : 22.(I) 4 2 ; (II)10.
c2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? ,即 a 2 ? b2 , ? ,? e 2 ? 2 ? 2 a a 4 a 2 3 2 2 x y 6 ? ? 1 ………………………3 ? 3 , ? a 2 ? 4, b2 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 又b? 4 3 1?1

23.解析: (I)由题意知 e ?

分; (II)由题意知直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y ? k ? x ? 4?? k ? 0? , 由?
? y ? k ? x ? 4? ,得: 4k 2 ? 3 x2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 3x2 ? 4 y 2 ? 12 ?

?

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① …………………………5

设点 B ? x1 , y2 ? , E? x2 , y2? ,得 x1 ? x2 ?

32k 2 64k 2 ? 12 , x1 x2 ? 2 4k ? 3 4k 2 ? 3

?

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1 , 4

分;
?? ? ? 32k 2 ? ? 4 ? 4k 2 ? 3?? 64k 2 ? 12 ? ? 0 ,即 0 ? k 2 ?
2

……………………………7

分; 又 A? x1 , ? y1 ? ,直线 AE 的方程为 y ? y2 ? 令 y ? 0 ,得 x ? x2 ?
y2 ? x2 ? x1 ? y2 ? y1

y2 ? y1 ? x ? x2 ? , x2 ? x1


2 x1 x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 8

将 y1 ? k ? x1 ? 4? , y2 ? k ? x2 ? 4? 代入整理得 x ? 分.



…………… 9 分;

由①得,代入②整理得 x ? 1 ,所以直线 AE 与轴相交于定点 Q ?1,0? …………………… 10