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湖北省襄阳四中2014年5月高三冲刺模拟一文科数学试题(word含答案)

湖北省襄阳四中 2014 年 5 月高三冲刺模拟一文科数学试题
命题人:陈琰 审题人:张化勇 周亚莉
) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.设全集 U=R,A={x|2x(x-2)<1},B={x|y=1n(l-x)},则右图中阴影部分表示的集合为( A.{x |1≤x<2} B.{x |x≤1} C.{x|0<x≤1} D. {x |x≥1} 2.已知数列 ?an ? 满足 2an?1 ? an ? 0, a2 ? 1 ,则数列 ?an ? 的前 10 项和 s10 为( A. )

4 10 ? 2 ? 1? 3

B.

4 10 ? 2 ? 1? 3

C.

4 ?10 ? 2 ? 1? 3

D.

4 ?10 ? 2 ? 1? 3
)

3. 已知命题“如果 x⊥y, y∥z, 则 x⊥z”是假命题, 那么字母 x, y, z 在空间所表示的几何图形可能是( A.全是直线 B.全是平面 C.x,z 是直线,y 是平面 D.x,y 是平面,z 是直线 4.向等腰直角三角形 ABC(其中 AC=BC)内任意投一点 M,则 AM 小于 AC 的概率为( ) A.

2 2

B. 1?

2 2

C.

? 8

D. )

? 4
INPUT “n=”; n k=1 p=1 WHILE k<=n p=p*k k=k+1 WEND PRINT p END

5、运行下面的程序,如果输入的 n 是 6,那么输出的 p 是(

A.120 B.720 C.1440 D.5040 6、 已知函数 f ( x) ? s i n ?x ? c o ? s x ,如果存在实数 x1 ,使得对任意的实数 x ,都有

f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x1 ? 2014 ) 成立,则 ? 的最小正值为( ) 1 ? 1 ? A. B. C. D. 2014 2014 4028 4028 2 7. 若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点到焦点和抛物线对称轴的距离分别为 10 和 6 ,则抛物线方程为

2 2

) B. y ? 36 x
2 2 2 2

A. y ? 4 x

C. y ? 4 x 或 y ? 36 x D. y ? 8x 或 y ? 32 x 8. 如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的 中点,则下列说法错误 的是( ) .. A. MN 与 CC1 垂直 B. MN 与 AC 垂直 C. MN 与 BD 平行 D. MN 与 A1B1 平行 9、若直线 l 上不同的三个点 A, B, C 与直线 l 外一点 O ,使得 x? OA ? xOB ? ?BC 成立,则满足条件的实数 ) x 的集合为( ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? , } , } A. {??, ?} B. { C. { D. {??} ? ? ? ? 10、设函数 f ? x ? 的导函数为 f
'

? x ? ,若对任意 x ? R ,都有 f ' ( x) ?
1

f ( x) 成立,则( )

A. f ? ln 2014? ? 2014 f ? 0? C. f ? ln 2014? ? 2014 f ? 0?

B . f ? ln 2014? ? 2014 f ? 0? D. f ? ln 2014? 与2014 f ? 0? 的大小关系不确定

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分. 11.在一次选秀比赛中,五位评委为一位表演者打分,若去掉一个最低分后平 均分为 90 分,去掉一个最 高分后平均分为 86 分.那么最高分比最低分高 ▲ 分.
? 12.在 ?ABC 中,已知 A ? 60 , b ? 4 , c ? 5 ,则 sin B ?



.

13.已知直线 y ? x ? m 与曲线 x ? y ? 4 交于不 同的两点 A, B ,若 | AB |≥ 2 3 ,则实数 m 的取值范围 是 ▲ 14.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天 池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平均降雨量是 __▲__寸;. (注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
2 2

x ? 1, (0 ? x ? 1) ? ? 15. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0, 若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围是 2 ? , ( x ? 1) ? 2 ?
____▲____. 16. 已知正数 x, y 满足 x ? 2 y ? 2 ,则
x ? 8y 的最小值为____▲______. xy

17、设函数 f0(x)=1-x2,f1(x)= f ( )- 0 x

1 1 1 ,fn(x)= f n ? ( )- n ,(n≥1,n≥N),则方程 f1(x)= 有 1 x 3 2 2

___▲___个实数根,方程 fn(x)= ? ? 有___▲___个实数根.

?1? ?3?

n

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ?x sin(?x ?

?

6 11? 9? (I)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的值域; 12 8 ? 1 (II)在锐角 ?ABC 中,若 f ( A ? ) ? , a ? 1, b ? c ? 2, 求 ?ABC 的面积. 8 2

)?

? 3 (? ? 0) ,且其图象的相邻对称轴间的距离为 . 4 4

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC , D 、 E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且
2

1 AB . 4 (Ⅰ)求证: EF // 平面 BDC1 ; AF ?

(Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成的两部分体积之比为 1 : 15,若存在, 指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.

20. (本小题满分 13 分) 正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (

an ? 1 2 ) 。 2

(I)证明数列 {an } 为等差数列并求其通项公式; (II)设 cn ?

1 1 1 ,数列 {cn } 的前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? ; an an ?1 3 2

21.(本小题满分 14 分)

1 2 ax ? bx ? 1 , 2 (1)当 a ? 0 且 b ? 1 时,证明:对 ?x ? 0 , f ? x ? ? g ? x ? ; (2)若 b ? 2 ,且 h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)数列 ?a n ? ,若存在常数 M ? 0 , ?n ? N ? ,都有 a n ? M ,则称数列 ?a n ? 有上界;已知 1 1 bn ? 1 ? ? ? ? ,试判断数列 ?bn ?是否有上界. 2 n
已知函数 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ?

22. (本小题满分 14 分) 已知点 P ( ?1, ) 是椭圆 E:

3 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点, F1 , F2 分别是其左右焦点, O 为坐标原点. a 2 b2

PF1 ? x 轴,
(1) 求椭圆 E 的方程; (2)设 A,B 是椭圆 E 上两个动点, PA ? PB ? ? PO ,( 0 ? ? ? 4, 且? ? 2) ;求证:直线 AB 的斜率等于 椭圆 E 的离心率; (3)在(2)的条件下,当△PAB 的面积取得最大值时,求 ? 的值。

3

襄阳四中 2014 届高三模拟测试(一)
ACDDBBCDDC 2 7 11. 16 12. 7
16. 9 17. 4,2n 13 . ? 2 , 2
+1

?

?

14.

3

15.

?3 ? ,2 ? ? ?4 ?

p p ? p 7.【解析】 ? ? ? x0 ? 10 ,即 ? x0 ? 10 ? ,代入抛物线中, 36 ? 2 p(10 ? ) ,所以 p ? 18 或 p ? 2 . 2 2 ?
? ? ? | y0 |? 6

? ? | y0 |? 6

2

∴ y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 36 x . 8. 【解析】∵平面 D1EF 与平面 ADD1A1 有公共点 D1 且不重合,∴两平面有 1 条过 D1 的交线 l,在平面 ADD1A1 内与 l 平行的任意直线都与平面 D1EF 平行,这样的直线有无数条. x? x 9. 【解析】因为 x? OA ? xOB ? ?BC ,所以 x ? OA ? xOB ? ?(OC ? OB ) ? OA ? ( ??)OB ? OC ,又因为 ? ?
x x x x A, B, C 三点共线, 则 ? ( ??) ??? ? ? ? ? x ? ? 或 x ? ?? ; 当 x=0 时三点重合, 不符合题意, 舍去所以 x=-1, ? ? ? ?
? ?

选 D. 14. [解析] 积水深度为盆深的一半,故此时积水部分的圆台上底面直径为二尺,圆台的高为九寸,故此 1 时积水的体积是 π(102+62+10× 6)× 9=196×3π(立方寸),盆口的面积是 π×142=196π,所以平均降雨量是 3 196×3π =3 寸. 196π 16. 【解析】因为

x ? 8y 1 8 1 8 x ? 2y 1 x 16y 1 ? ? ? ( ? )( ) ? (10 ? ? ) ? (10 ? 2 16) ? 9 ,当且仅当 xy y x y x 2 2 y x 2

x ? 8y x 16 y 4 1 ? , x ? 2 y ? 2 即 x ? , y ? 时取等号,所以 的最小值为 9. xy y x 3 3

17.【解析】f1(x)= 1 -x 2- = x 2- = ,∴x2=
2 3 4

1 2

1 2

1 3

1 5 或 x2= 有 4 个解. 6 6
n

?1? + ∵可推出 n=1,2,3… ,根个数分别为 2 ,2 ,2 , ∴通过类比得出 fn(x)= ? ? 有 2n 1 个实数根. ?3?
18.

3 1 3 sin ?x ? cos?x) ? 2 2 4 3 2 1 3 3 1 3 ? sin ?x ? sin ?x cos?x ? ? (1 ? cos2 x) ? sin 2?x ? 2 2 4 4 4 4 1 ? 1 3 ? sin 2?x ? cos2?x ? sin( 2?x ? ) 4分 2 3 4 4 ? 2? 1 ? 4x ? ) . 由条件知, T ? ,又 T ? ,? ? ? 2 ? f ( x ) ? sin ( 5分 2? 2 2 3 ? 10? 25? 11? 9? ? 1 ? x ?[ , ], ? 4x ? ? [ , ] , sin( 4 x ? ) ? [?1, ] , 12 8 3 3 6 3 2
试题解析: (I) f ( x) ? sin ?x(

? f ( x ) 的值域是 [? , ] .

1 1 7分 2 4 ? ? 1 (II)由 f ( A ? ) ? ,得 A ? , 9分 3 8 2 2 2 2 由 a ? 1, b ? c ? 2 及余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,得 bc ? 1 ,

4

? ? ABC 的面积 S ?
19.

1 3 . bc sin A ? 2 4
AF ?

12 分

(I)证明:取 AB 的中点 M,

1 AB ? F 为 AM 的中点, 4
A1 D

C1 B1

又 E 为 AA1 的中点,? EF // A1 M 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D , M 分别为 A1 B1 , AB 的中点, ? A1 D // BM , A1 D ? BM , ? A1 DBM 为平行四边形,? A1 M // BD ? EF // BD, BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ? EF // 平面 BC1 D (II)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两 部分的体积之比为 1︰15,则 VE ? AFG : VABC ? A B C ? 1:16
1 1 1

E C G A F M B

1 1 ? AF ? AG sin ?GAF ? AE 1 1 1 AG 1 AG VE ? AFG ? ? ? ? ? ? ?3 2 1 3 4 2 AC 24AC VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? sin ?CAB ? A1 A 2 3 1 AG 1 AG 3 ? ? ? ,? ? ,? AG ? AC ? AC 所以符合要求的点 G 不存在. 2 24 AC 16 AC 2

20.

21.解:⑴当 a ? 0 且 b ? 1 时,设 g ( x) ? f ? x ? ? g ? x ? ? ln x ? ( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , ?x ? 0 ,

1 ? 1 ……1 分,解 g / ( x) ? 0 得 x ? 1 。 x 1 1 当 0 ? x ? 1 时, g / ( x) ? ? 1 ? 0 , g ( x) 单调递增;当 x ? 1 时, g / ( x) ? ? 1 ? 0 , g ( x) 单调递减, x x 所以 g ( x) 在 x ? 1 处取最大值, 即 ?x ? 0 , g ( x) ? g (1) ? ln 1 ? 1 ? 1 ? 0 , ln x ? x ? 1 即 f ? x ? ? g ? x ? ……4 分 1 (2)若 b ? 2 , h? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? = ln x - ax 2 - 2 x ? 1 2 g / ( x) ?
5

1 ax 2 ? 2 x ? 1 - ax - 2 ? ? x x 因为函数 h? x ? 存在单调递减区间,所以 h ?? x ? ? 0 在 ?0,?? ? 上有解 所以 ax 2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 ?0,?? ? 上有解
所以 h ?? x ? ?

1 ? 2x 2 ?1? 所以 a ? 在 ?0,?? ? 上有解,即 ?x ? ?0,?? ? 使得 a ? ? ? ? 2 x x ? x? 1 2 令 t ? , x ? 0 ,则 t ? 0 ,研究 y ? t ? 2t , t ? 0 ,当 t ? 1 时, y min ? ?1 x 所以 a ? ?1 …………8 分 (3)数列 ?bn ?无上界 1 1 1 1 1 n ?1 , ?n ? N ? ,设 x ? 1 ? , x ? 1 ? ,由⑴得 ln(1 ? ) ? , ? ln n n n n n n 1 1 2 3 n ?1 ? ln(n ? 1) , 所以 bn ? 1 ? ? ? ? ? ln ? ln ? ? ? ln 2 n 1 2 n ?M ? 0 ,取 n 为任意一个不小于 e M 的自然数,则 bn ? ln(n ? 1) ? ln e M ? M ,数列 ?bn ? 无上界。…14
分 22.

2

6


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