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2013年解析几何解答题分析研究


2013 年解析几何解答题解析
福建文史(20 小题满分 12 分) 如图, 在抛物线 E : y ? 4 x 的焦点为 F , 准线 l 与 x 轴的交点为 A . 点 C 在抛物线 E 上, 以 C 为圆心 OC 为
2

半径作圆,设圆 C 与准线 l 的交于不同的两点 M , N . ( 1 )若点 C 的纵坐标为 2 ,求 MN ; ( 2 )若

AF ? AM ? AN ,求圆 C 的半径.
【点评】本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知 识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想. 解: (Ⅰ)抛物线 y 2 ? 4 x 的准线 l 的方程为 x ? ?1 ,由点 C 的纵坐标为 2 ,得点 C 的坐标为 (1, 2) 所以点 C 到准线 l 的距离 d ? 2 ,又 | CO |? 5 .所以 | MN |? 2 | CO |2 ?d 2 ? 2 5 ? 4 ? 2 .
2 y0 y2 y4 2 , , y0 ) ,则圆 C 的方程为 ( x ? 0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? 0 ? y0 4 4 16 y2 y2 即 x 2 ? 0 x ? y 2 ? 2 y0 y ? 0 . 由 x ? ?1 ,得 y 2 ? 2 y0 y ? 1 ? 0 ? 0 2 2

2

(Ⅱ)设 C (

2 ? y0 2 2 ? ? 4 y ? 4(1 ? ) ? 2 y0 ?4?0 ? 0 ? 2 设 M (?1, y1 ) , N (?1, y2 ) ,则: ? 2 ? y y ? y0 ? 1 1 2 ? 2 ?

由 | AF |2 ?| AM | ? | AN | ,得 | y1 y2 |? 4 。所以

2 y0 ? 1 ? 4 ,解得 y0 ? ? 6 ,此时 ? ? 0 2

3 3 33 33 33 所以圆心 C 的坐标为 ( , 6) 或 ( , ? 6) 从而 | CO |2 ? , | CO |? ,即圆 C 的半径为 2 2 4 2 2 ,
广东理工\文史(20 小题满分 14 分)

已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F ? 0, c ?? c ? 0 ? 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的 2

点,过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA, PB ,其中 A, B 为切点。(Ⅰ) 求抛物线 C 的方程;(Ⅱ) 当点 P ? x0 , y0 ? 为 直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程;(Ⅲ) 当点 P 在直线 l 上移动时,求 AF ? BF 的最小值. 【点评】理解抽象的直线系方程;最值问题研究,考察设而不求的思想方法。注意方程根的存在性。 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线 C 的方程为 x ? 4cy ,由
2

0?c?2 2

?

3 2 结合 c ? 0 ,解得 c ? 1 . 2

所以抛

物线 C 的方程为 x ? 4 y .
2

(Ⅱ) 抛物线 C 的方程为 x 2 ? 4 y ,即 y ? 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? (其中 y1 ?

1 2 1 x ,求导得 y? ? x 。 4 2

x12 x2 1 1 , y2 ? 2 ),则切线 PA, PB 的斜率分别为 x1 , x2 , 4 4 2 2

x1 x12 x1 所以切线 PA 的方程为 y ? y1 ? ? x ? x1 ? ,即 y ? x? ? y1 ,即 x1 x ? 2 y ? 2 y1 ? 0 2 2 2 同理可得切线 PB 的方程为 x2 x ? 2 y ? 2 y2 ? 0
因为切线 PA, PB 均过点 P ? x0 , y0 ? ,所以 x1 x0 ? 2 y0 ? 2 y1 ? 0 , x2 x0 ? 2 y0 ? 2 y2 ? 0 所以 ? x1 , y1 ? , ? x2 , y2 ? 为方程 x0 x ? 2 y0 ? 2 y ? 0 的两组解. 所以直线 AB 的方程为 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 . (Ⅲ) 由抛物线定义可知 AF ? y1 ? 1 , BF ? y2 ? 1 , 所以 AF ? BF ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 联立方程 ?

? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0 ?x ? 4 y
2

,消去 x 整理得 y 2 ? 2 y0 ? x0 2 y ? y0 2 ? 0

?

?



因为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与抛物线是想离的关系,所以过点 P 做与抛物线相切的切线总是会存在,从而可得 方程(1)一定会存在两个不等的实根。 由一元二次方程根与系数的关系可得 y1 ? y2 ? x0 2 ? 2 y0 , y1 y2 ? y0 2 所以 AF ? BF ? y1 y2 ? ? y1 ? y2 ? ? 1 ? y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ,又点 P ? x0 , y0 ? 在直线 l 上,所以 x0 ? y0 ? 2 ,
2 2

1? 9 ? 所以 y0 ? x0 ? 2 y0 ? 1 ? 2 y0 ? 2 y0 ? 5 ? 2 ? y0 ? ? ? , 2? 2 ? 1 9 所以当 y0 ? ? 时, AF ? BF 取得最小值,且最小值为 . 2 2
2 2 2

2

(湖南文史 20 小题满分 13 分)

已知 F1 , F2 分别是椭圆 E :

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点, F1 , F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的一 5

条直径的两个端点。 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a ,

b 。当 ab 最大时,求直线 l 的方程。
【点评】考查解析几何的基本公式对称点求法,点到直线的距离公式,圆的弦长求法,椭圆的焦半径\焦点 弦长公式等,并考察基本的运算能力。注意直线的设法对解题会有影响! 【解析】 (Ⅰ) 先求圆 C 关于直线 x + y – 2 = 0 对称的圆 D,由题知圆 D 的直径为 F1 F2 ,

所以圆D的圆心D (0,0),半径r ? c ? a 2 -b 2 ? 2,圆心D (0,0)与圆心C关于 直线 x ? y ? 2 ? 0 对称

? C (2,2) ? 圆C的方程为 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 .
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知 F2 (2,0), ,据题可设直线 l 方程为: x = my +2,m∈R. 这时直线 l 可被圆和椭圆截得 2 条弦, 符

2 2 合题意.圆 C: ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 的圆心C到直线 l 的距离 d =

| 2m ? 2 - 2 | 1? m
2

?

| 2m | 1? m2



? 在圆中,由勾股定理得:b 2 ? 4(4 ?

4m 2 42 . ) ? 1? m2 1? m2

设直线与椭圆相交于点E ( x1 , y1 ), F ( x 2 , y 2 ), 联立直线和椭圆方程,整理得:
(m 2 ? 5)y 2 ? 4my ? 1 ? 0 ? x1 ? x 2 ? m( y1 ? y 2 ) ? 4 ? m
由椭圆的焦半径公式得: a ? 2 5 ?

? 4m 20 ?4? 2 2 m ?5 m ?5

2 5

( x1 ? x 2 ) ?

10 ? 2( x1 ? x 2 ) 5

?2 5?

m2 ? 1 m2 ? 5

m2 ? 1 4 m2 ?1 ? ab ? 2 5 ? 2 ? ?8 5? 2 .(也可有均值不等式求得去最值得条件! ) m ? 5 1? m2 m ?5
令f ( x) ? x ?1 , x ? 0 ? y ? f ( x)在[0,3]上单调递增,在[3,??)上单调递减. x?5

令f ( x) ? f .(3) ? 当m 2 ? 3时,ab取最大值.这时直线方程为x ? ? 3 y ? 2.
所以当 ab取最大值时,直线方程为x ? ? 3 y ? 2 。 (江西文史 20 小题满分 13 分)

椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) =1 的离心率 e ? , a ?b ? 3。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,A,B,D 分 2 2 a b

别是椭圆 C 的左、右、上顶点,P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点,直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD 交 BP 于点 M,设 BP 的斜率为 k,MN 的斜率为 m,证明 2m ? k 为定值。 【解析】 (1)因为e=

3 c c2 a 2 ? b2 b2 3 ? 故 2 ? ? 1 ? ? 2 a a a2 a2 4

,所以 a ? 2b 再由 a+b=3 得 a=2,b=1,

x2 ? 椭圆C的方程为: ? y 2 ? 1 。 4
1 (2)因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则BP方程为y=k(x-2)(k ? 0且k ? ? ) 2
将①代入 ①

x2 8k 2 ? 2 4k 1 ? y 2 ? 1 ,解得 P( 2 , ? 2 ) ,又直线 AD 的方程为 y ? x ? 1 4 4k ? 1 4k ? 1 2



8k 2 ? 2 4k 4k ? 2 4k , ? 2 ), N ( x, 0) 三 点 共 线 可 角 得 ① 与 ② 联 立 解 得 M( , ) , 由 D(0,1), P( 2 4k ? 1 4k ? 1 2k ? 1 2k ? 1
N( 4k ? 2 2k ? 1 2k ? 1 1 ,则 2m ? k ? 。 , 0) ,所以 MN 的分斜率为 m= ? k ? (定值) 2k ? 1 4 2 2

【点评】定值问题。解题思路:通过直线 BP 的斜率 k,表达出直线 BP,求出点 M,P 的坐标,再由 D,P,N 三 点共线,求出点 N 的坐标。利用坐标求出相关的斜率,就可得证。

(辽宁理文 20 小题满分 12 分)如图,抛物线 C1 : x ? 4 y, C2 : x ? ?2 py ? p ? 0 ? . 点M ? x0 , y0 ? 在抛物线
2 2

C2上, 切线MA的斜 过M 作C1 的切线,切点为A, B ? M 为原点O时,A, B重合于O ? .当x0 ? 1 ? 2时,
率为 ?

1 。(I) 求P的值 ;(II)当M 在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程 (AB 重合于 O 时, 2

中点看成 O) 。 【解析】 (Ⅰ) (1)切线的斜率可通过求导求解。 (2)用点斜式建立切线方程(3)用方程的思想解决求值问 题。 (Ⅱ)列 MA 和 MB 两个切线方程,利用解方程的方法求得 M 坐标再代入 C2 最后可得所求的轨迹方程。

x2 y2 1. (安徽理工 18 小题满分 12 分)设椭圆 E : 2 ? ? 1 的焦点在 x 轴上。 a 1 ? a2
(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的 左、右焦点, P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴与点 Q ,并且 F1 P ? F1Q ,证明:当 a 变 化时,点 P 在某定直线上。 【点评】动点共线问题实则是寻求动点的纵横坐标的关系式问题。本题直接由已知条件建立关系式,采用交 轨消参法得出结论,注意算法技巧。

【解析】 (Ⅰ)? a ? 1 ? a ,2c ? 1, a ? 1 ? a ? c ? a ?
2 2 2 2 2 2

5 8x 2 8x 2 ,椭圆方程为: ? ? 1. 8 5 3
????

(Ⅱ) 设F1 (?c,0), F2 (c,0), P( x, y ), Q (0, m), 则F2 P ? (x ? c, y ), QF2 ? (c,?m) , F1 P ? ( x ? c, y ),

???? F1Q ? (c, m). 而且由已知得到: 1 ? a 2 ? 0 ? a ? (0,1) ? x ? (0,1), y ? (0,1) .

???? ? ???? ? ???? ???? ?m(c ? x) ? yc ? ( x ? c)( x ? c) ? y 2 ? x 2 ? y 2 ? c 2 . 由F2 P // QF2 , F1 P ? F1Q得: ? c ( x ? c ) ? my ? 0 ?
? x2 y2 ?1 ? 2 ? a 1 ? a2 ? ? 2 联立 ? x ? y 2 ? c 2 解得 ?a 2 ? 1 ? a 2 ? c 2 ? ? ?

2x2 2 y2 ? 2 ? ? 1 ? x 2 ? ( y ? 1) 2 . 2 2 2 x ? y ?1 1? x ? y

? x ? (0,1), y ? (0,1) ? x ? 1 ? y 。所以动点 P 过定直线 x ? y ? 1 ? 0 .
2.北京理工(19 小题共 14 分)已知 A、B、C 是椭圆 W:

x2 ? y 2 ? 1 上的三个点,O 是坐标原点. 4

(I)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积. (II)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边 形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 【答案】 (1) SOABC ?

3, (2)不可能。

【点评】根据菱形的边长相等,联想以 O 为圆心的圆和椭圆相交,进而求出交点 A、C,再做分析就很容易 得到结论。 【解析】 (2)四边形OABC如果是菱形,则OA=OC,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。不妨设OA=OC=r, 则A、C为圆 x ? y ? r 与椭圆W:
2 2 2

x2 3x 2 ? y 2 ? 1 的交点。联立方程组解得: ? r 2 ? 1 ,后略。 4 4

3.北京文史(19 小题共 14 分)直线 y ? kx ? m ( m ? 0 ) W :

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A , C 两点, O 是坐标 4

原点。 (1)当点 B 的坐标为 (0,1) ,且四边形 OABC 为菱形时,求 AC 的长。 (2)当点 B 在 W 上且不是 W 的 顶点时,证明四边形 OABC 不可能为菱形。 【解析】思路一:通过设而不求的思想求出 AC 的中点 M,利用菱形的对角线所在的直线相互垂直,则它们 的斜率之积进行验证。思路二:由已知分别根据直线 AC、OB 和椭圆产生的交点,得到对角线 AC、OB 的中点 重合(实际上不可能)可以的证。解答过程省略! 9. (江苏卷 17 小题满分 14 分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A ? 0 , 3? ,直线 l:y ? 2 x ? 4 .设 圆的半径为 1,圆心在 l 上。(1) 若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程;

(2) 若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

13、 (全国统一)已知抛物线 C 的顶点为 O(0,0) ,焦点 F(0,1) 。 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 过 F 作直线交抛物线于 A、B 两点.若直线 OA、OB 分别交直线 l:y=x-2 于 M、N 两点, 求|MN|的最小值. 【解析】 (1) x ? 4 y ; (2)利用直线与抛物线相交,引入斜率 k,求出相关交点(用 k 表达) ,线段 MN 的
2

长度就可表示成 k 的函数,再求出其最小值。

14、 (全国统一 21 题满分 15 分)如图,椭圆 C : 为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a 2 b2

1 ,其左焦点到点P(2,1)的距离为 10 ,不过原点 O的直线l与C相交于 .... 2

A,B两点,且线段AB被直线OP平分。 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求△APB 面积取最大值时直线 l 的方程。 【解析】 (1) C :

x2 y 2 ? ?1; 4 3

x2 y 2 15、 (全国统一大纲卷理文 21 小题满分 12 分)已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左、 右焦点 分别 a b
为 F1,F2, 离心率为 3, 直线 y ? 2与C的两个交点间的距离为 6. (I)求 a, b; ;(II) 设过F2的直线

AB 、 BF2 成等比数列。 l与C的左、 右两支分别相交于A、B两点,且 AF1 ? BF1 , 证明: AF2 、
【解答】 (1) C : x 2 ?

2 5 y2 ,再根据焦半径、焦点 ? 1 ;(2)根据 AF1 ? BF1 , 可定直线 AB 的斜率为 ? 5 8

弦公式进行下去就可的证。

16、(全国统一新课标理工 20 题满分 12 分\全国统一文史 21 题满分 12 分)已知圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1 ,圆
2 2

N : ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 9 ,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C 。 (Ⅰ)求 C 的方程;
(Ⅱ) l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B 两点,当圆 P 的半径最长是,求 | AB | 。 【命题意图】 【解析】由已知得圆 M 的圆心为 M (-1,0),半径 r1 =1,圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r1 ) ? (r2 ? R ) = r1 ? r2 =4, 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外),其方

程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2

当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 90 时,由 r1 ≠R知 l 不平行 x 轴,设 l 与 x 轴的交点为Q,则
0

0

| QP | R = ,可求得Q(-4,0), | QM | r1

∴设 l : y ? k ( x ? 4) ,由 l 于圆M相切得

| 3k | 1? k
2

? 1 ,解得 k ? ?

2 . 4

当k =

x2 y 2 2 2 ?4 ? 6 2 ? ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 ,解得 x1,2 = 时,将 y ? 代入 , x? 2 4 3 4 4 7

∴|AB|= 1 ? k 2 | x1 ? x2 | =

18 . 7

当 k =-

2 18 时,由图形的对称性可知|AB|= , 4 7
18 或|AB|= 2 3 . 7
( Ⅰ) 求

综上,|AB|=

17、 (全国文史 20 题满分 13 分)已知动点 M(x,y)到直线 l:x = 4 的距离是它到点 N(1,0)的距离的 2 倍. 动点 M 的轨迹 C 的方程; 的斜率. 【答案】 (Ⅰ).

(Ⅱ) 过点 P(0,3)的直线 m 与轨迹 C 交于 A, B 两点. 若 A 是 PB 的中点, 求直线 m

x2 y2 ? ? 1. 4 3

( Ⅱ) ?

3 2

【解析】 (Ⅰ) 点 M(x,y)到直线 x=4 的距离,是到点 N(1,0)的距离的 2 倍,则

| x ? 4 |? 2 ( x ? 1) 2 ? y 2 ?

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 . 所以,动点 M 的轨迹为 椭圆,方程为 ? ?1 4 3 4 3

2 x1 ? 0 ? x 2, 2 y1 ? 3 ? y 2 (Ⅱ) P(0, 3), 设 A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ),由题知:
椭圆 的上下顶点坐标分别是(0, 3 )和(0,- 3 ), 经检验直线 m 不经过这 2 点,即直线 m 斜率 k 存在。

设直线m方程为 : y ? kx ? 3 .联立椭圆和直线方程,整理得:
(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24kx ? 24 ? 0 ? x1 ? x 2 ? ? 24k 24 , x1 ? x 2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

x1 x 2 1 ( x ? x 2 ) 2 ? 2 x1 ? x 2 5 (?24k ) 2 9 3 ? ? ?2? 1 ? ? ? ?k?? 2 x 2 x1 2 x1 ? x 2 2 2 (3 ? 4k ) ? 24 2
所以,直线 m 的斜率 k ? ?

3 。 2

18、 (全国统一新课标 2 理工 20 小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)右 a 2 b2

焦点的直线 x+y-

=0 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为

1 。(Ι )求 M 的方程; (Ⅱ)C,D 为 2

M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值。

19、 (全国统一新课标 2 文史 20 题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 P 在 x 轴上截得线段长为

2 2 ,在 y 轴上截得线段长为 2 3 。 (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y ? x 的距离为
求圆 P 的方程。 【解析】 (1) y 2 ? x 2 ? 1 ; (2)

2 , 2

x2 y 2 3 20、 (山东理工 22 题满分 13 分) 椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的左、 右焦点分别是 F1、 F2,离心率为 , a b 2
过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除 长轴端点外的任一点, 连接 PF1、 PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M (m, 0) , 求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明

1 1 为定值,并求出这个定值. ? kk1 kk2

解答: (1)由已知得,

c 3 2b 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 1 , , ? a a 2

所以椭圆方程为:

x2 ? y 2 ? 1。 4

???? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ???? ? ???? ? ???? ? PF1 ? PM PF2 ? PM PF1 ? PM PF2 ? PM 2 ? = ???? ? ???? ? , ???? = ???? ? ,设 P( x0 , y0 ) 其中 x0 (2)由题意可知: ???? ???? ? 4 ,将向量坐标 | PF1 || PM | | PF2 || PM | | PF1 | | PF2 |
2 3 2 代入并化简得:m( 4 x0 ? 16) ? 3 x0 ? 12 x0 ,因为 x0 ? 4,

所以 m ?

3 3 3 x0 ,而 x0 ? (?2, 2) ,所以 m ? (? , ) 4 2 2

(3)由题意可知,l 为椭圆的在 p 点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

x0 x y0 y0 x 1 1 ? y0 y ? 1 ,所以 k ? ? 0 ,而 k1 ? , k2 ? ,代入 中得: ? 4 4 y0 kk1 kk2 x? 3 x? 3
x ? 3 x0 ? 3 1 1 ? ? ?4( 0 ? ) ? ?8 为定值. kk1 kk2 x0 x0
21、 (山东文史 22 题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C 的中心在原点 O,焦点在 x 轴上,短

轴长为 2,离心率为

2 6 。(I)求椭圆 C 的方程; (II)A,B 为椭圆 C 上满足 ?AOB 的面积为 的任意两点, 2 4
??? ? ??? ?

E 为线段 AB 的中点,射线 OE 交椭圆 C 与点 P,设 OP ? tOE ,求实数 t 的值。

x2 【解析】 (1) (2) ? y 2 ? 1; 2

24、 (四川理工 20 题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) , a 2 b2

且椭圆 C 经过点 P ( , ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两 点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

4 1 3 3

2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

x2 2 ; (2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ), Q ( x, y ) ,并且设过点 A 且与椭圆 C 相交 ? y2 ? 1 ? e ? 2 2 于两点 M 、 N 直线 L 的方程为: x ? k ( y ? 2) 。联立方程组得到一元二次方程,再由韦达定理和条件:
【解析】 (1)

2 1 1 进行计算,最后消掉参数 k 就可得到点 Q 的轨迹方程(注意变量的范围) 。 ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2 4( y ? 2) 2 2 x 2 。 ? ? 1 (含在椭圆 C 内的部分,两端点实心) 9 9
25、 (四川文史 20 题满分 13 分) 已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 ,点 O 是坐标原点。直线 l : y ? kx 与
2 2

圆 C 交 于 M,N 两 点 。 (Ⅰ)求 k 的取值范围; ( Ⅱ ) 设 Q (m, n) 是 线 段 MN 上 的 点 , 且

2 1 1 。请将 n 表示为 m 的函数。 ? ? 2 2 | OQ | | OM | | ON |2
【答案】 (1) k ?

3; (2)联立方程组得到一元二次方程,利用韦达定理进行运算,注意 k,m 的范围。
x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, 离心率为 , 过点 F 且与 x a 2 b2 3

26、 (天津理工文史 18 题满分 13 分)设椭圆 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为

4 3 . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设 A, B 分别为椭圆的左右顶点, 过点 F 且 3 ???? ??? ? ???? ??? ? 斜率为 k 的直线与椭圆交于 C, D 两点. 若 AC· DB ? AD· CB ? 8 , 求 k 的值.

27、 (浙江理工 21 题满分 15 分)如图,点 P(0,?1)是椭圆 C1:

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的一个顶点,C1 的长 a 2 b2

轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭 圆 C1 于另一点 D. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求△ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.
?b=1, 【解析】 (Ⅰ)由题意得? ?a=2.

x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y2 ? 1. 4

(Ⅱ)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k,则直线 l1 的方 1 4k2+3 程为 y=kx?1.又圆 C2:x2+y2=4,故点 O 到直线 l1 的距离 d= 2 , 所以|AB|=2 4?d2=2 k2+1 . k +1 又 l1?l2,故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0. +k=0, ? ?x+ky 8k 2 由? x 2 消去 y,整理得(4+k2)x2+8kx=0 故 x0=? 4+k2. ? 4 +y =1. ? 8 k2+1 所以|PD|= 4+k2 . 1 8 4k2+3 设△ABD 的面积为 S,则 S=2|AB|?|PD|= 4+k2 , 32 32 16 13 10 所以 S= ? = ,当且仅当 k = ± 13 13 2 时取等号. 13 2 2 4k +3+ 2 4k +3 ? 4k2+3 4k2+3

10 所以所求直线 l1 的方程为 y=± 2 x?1。 【命题意图】本题考查椭圆的几何性质,直线与圆的位置关系,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查 解析几何的基本思想方法和综合解题能力 28、 (重庆理工 21)如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 。 (1)求该椭圆的标准方程; (2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的 圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外。若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程。

2 ,过左焦点 F1 作 x 2

29、 (重庆文史 21 小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ)小问 8 分)如题(21)图,椭圆的中心为原点 O , 长轴在 x 轴上,离心率 e ?

2 ,过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A 、 A? 两点, AA? ? 4 . 2

(Ⅰ)求该椭圆的标准方程; (Ⅱ)取平行于 y 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 P 、 P? ,过 P 、 P? 作圆心 为 Q 的圆,使椭圆上的其余点均在圆 Q 外.求 ?PP?Q 的面积 S 的最大值,并写出对应的圆 Q 的标准方程.

x2 y 2 3 1 10. (江西理工 20 小题满分 13 分) 如图,椭圆 C: 2 + 2 =1(a >b >0) 经过点 P (1, ), 离心率 e= ,直线 l a b 2 2
的方程为 x =4 .(1)求椭圆 C 的方程; (2) AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P ) ,设直线 AB 与直 线 l 相交于点 M ,记 PA, PB, PM 的斜率分别为 k1 ,k2 ,k3 . 问:是否存在常数 ? ,使得 k1 +k2 =? k3 . ?若存在求

? 的值;若不存在,说明理由。
【解答】 (1)由条件很易求得椭圆 C 的方程为 C: +

x2 4

y2 =1 。 3

7. (湖南理工 21 小题满分 13 分)过抛物线 E : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k2 的两条不同的
2

直线 l1 , l2 ,且 k1 ? k2 ? 2 ,l1与E 相交于点 A,B,l2与E 相交于点 C,D。以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,

N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l 。 (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM ?FN ? 2 P ; (II)若点 M 到直线 l
2

???? ? ????

的距离的最小值为

7 5 ,求抛物线 E 的方程。 5

【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系,抛物线的焦点弦公式等知识点,圆的公共弦,点到直线的距离 公式。设而不求的思想方法以及其算法技巧。 【解析】 (Ⅰ) F (0,

p ).设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C ( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ), M ( x12 , y12 ), N ( x34 , y34 ), 2 p 直线l1方程:y ? k1 x ? , 与抛物线E方程联立,化简整理得: ? x 2 ? 2 pk1 x ? p 2 ? 0 2 x ?x p 2 2 ? x1 ? x2 ? 2k1 p, x1 ? x2 ? ? p 2 ? 0 ? x12 ? 1 2 ? k1 p, y12 ? k1 p ? ? FM ? (k1 p,?k1 p) 2 2 x ?x p 2 2 同理, ? x34 ? 1 2 ? k2 p, y34 ? k2 p ? ? FN ? (k2 p,?k2 p ) . 2 2

? FM ? FN ? k1k 2 p 2 ? k1 k 2 p 2 ? p 2 k1k 2 (k1k 2 ? 1)
? k1 ? 0, k2 ? 0, k1 ? k2 ,2 ? k1 ? k2 ? 2 k1k2 ? k1k2 ? 1,? FM ? FN ? p 2 k1k2 (k1k2 ? 1) ? p 2 ?1 ? (1 ? 1) ? 2 p 2
所以, FM ? FN ? 2 p 2 成立. (证毕) (Ⅱ) 设圆M、N的半径分别为r1 , r2 ? r1 ?

2

2

1 p p 1 p 2 2 [( ? y1 ) ? ( ? y2 )] ? [ p ? 2(k1 p ? )] ? k1 p ? p, 2 2 2 2 2

? r1 ? k1 p ? p,同理2r1 ? k2 p ? p,

2

2

设圆M、N的半径分别为r1 , r2 . 则 M、N的方程分别为( x ? x12 ) 2 ? ( y ? y12 ) 2 ? r12 ,

( x ? x34 ) 2 ? ( y ? y34 ) 2 ? r2 ,直线l的方程为: 2( x34 ? x12 ) x ? 2( y34 ? y12 ) y ? x12 ? x34 ? y12 ? y34 - r1 ? r2 ? 0 . ? 2 p (k2 ? k1 ) x ? 2 p (k2 ? k1 ) y ? ( x12 ? x34 )( x12 ? x34 ) ? ( y12 ? y34 )( y12 ? y34 ) ? (r2 - r1 )(r2 ? r1 ) ? 0
? 2 p (k2 ? k1 ) x ? 2 p (k2 ? k1 ) y ? 2 p 2 (k1 ? k2 ) ? p 2 (k1 ? k2 )(k1 ? k2 ? 1) ? p 2 (k2 ? k1 )(k1 ? k2 ? 2) ? 0
? x ? 2 y ? p ? p (k1 ? k 2 ? 1) ? p (k1 ? k 2 ? 2) ? 0 ? x ? 2 y ? 0
x ? 2 y12 2k ? k1 ? 1 点M ( x12 , y12 )到直线l的距离d ?| 12 |? p? | 1 |? p ? 5 5
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 1 2( ? ) 2 ? ( ? ) ? 1 7p 7 4 4 ? ? 5 5 8 5

5

? p ? 8 ? 抛物线的方程为x 2 ? 16 y .(完)
6.湖北理工 (21) 如图, 已知椭圆 C1 与 C2 的中心在坐标原点 O , 长轴均为 MN 且在 x 轴上, 短轴长分别为 2m ,

2n ? m ? n ? ,过原点且不与 x 轴重合的直线 l 与 C1 , C2 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 A , B , C ,

D 。记 ? ?

m , ?BDM 和 ?ABN 的面积分别为 S1 和 S2 。 n

(I)当直线 l 与 y 轴重合时,若 S1 ? ? S2 ,求 ? 的值; (II)当 ? 变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线 l ,使得 S1 ? ? S2 ?并说明理由。 【解析与答案】 (I) S1 ? ? S2 ? m ? n ? ? ? m ? n ? ,

y
A B

m ?1 ? ?1 ?? ? n ? ,解得: ? ? 2 ? 1 (舍去小于 1 的根) m ? ? 1 ?1 n
(II)设椭圆 C1 :

M
C

O

N x

D
第 21 题图

x2 y2 x2 y2 , ? ? 1 a ? m C : ? ? 1 ,直线 l : ky ? x ? ? 2 a 2 m2 a2 n2
am a 2 ? m 2k 2
,同理可得, y B ?

? ky ? x a 2 ? m 2k 2 2 ? 2 2 ? y ? 1 ? yA ? ?x y 2 2 a m ? ? 1 ? ? a 2 m2
又? ?BDM 和 ?ABN 的的高相等?

an a 2 ? n 2k 2

S1 BD y B ? y D y B ? y A ? ? ? S2 AB y A ? y B y A ? y B

如果存在非零实数 k 使得 S1 ? ? S2 ,则有 ? ? ? 1? y A ? ? ? ? 1? y B ,
2 2 a 2 ? ? 2 ? 2? ? 1?? ? 2 ? 1? ? 2 ? ? ? 1? ? ? 1? ? 2 即: 2 ,解得 k ? ? 4n 2? 3 a ? ? 2n 2k 2 a 2 ? n 2k 2

? 当 ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,存在这样的直线 l ;
当 1 ? ? ? 1 ? 2 时, k 2 ? 0 ,不存在这样的直线 l 。 【点评】考查解决探索性问题的能力。直线与椭圆相交的问题(计算异常复杂) ,关键是要找到面积比与 A、 B 的纵坐标或横坐标之间的关系式。

x2 22、 (上海理工 22=3 分+5 分+8 分)如图,已知曲线 C1 : ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1 ,P 是平面上一 2
点,若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 都有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点” . (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程 (不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点” ; (3)求证:圆 x 2 ? y 2 ?

1 内的点都不是“C1—C2 型点” . 2

【解答】 ( 1 ) C1 的左焦点为 F (? 3, 0) , 过 F 的直线 x ? ? 3 与 C1 交于 (? 3, ? ,且直线可以为 x ? ? 3 ; (? 3, ? ( 3 ? 1)) ,故 C1 的左焦点为“C1-C2 型点” 也可以求出更为一般的结论: y ? k ( x ? 3) ,其中 k ?

2 ) , 与 C2 交 于 2

3 。 3

(2)直线 y ? kx 与 C2 有交点,则 ?

? y ? kx ? (| k | ?1) | x |? 1 ,若方程组有解,则必须 | k |? 1 ; ?| y |?| x | ?1

直线 y ? kx 与 C2 有交点,则 ?

?
2

y ? kx
2

?x ? 2 y ? 2

? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 2 ,若方程组有解,则必须 k 2 ?

1 2

故直线 y ? kx 至多与曲线 C1 和 C2 中的一条有交点,即原点不是“C1-C2 型点” 。 (3)显然过圆 x 2 ? y 2 ?

1 内一点的直线 l 若与曲线 C1 有交点,则斜率必存在; 2

根据对称性,不妨设直线 l 斜率存在且与曲线 C2 交于点 (t , t ? 1)(t ? 0) ,则

l : y ? (t ? 1) ? k ( x ? t ) ? kx ? y ? (1 ? t ? kt ) ? 0
直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ?

|1 ? t ? kt | 2 1 内部有交点,故 ? 2 2 2 k ?1
1 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。① (k ? 1) 。 2

化简得, (1 ? t ? tk ) 2 ?

? y ? kx ? kt ? t ? 1 1 ? 若直线 l 与曲线 C1 有交点,则 ? x 2 ? (k 2 ? ) x 2 ? 2k (1 ? t ? kt ) x ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 1 ? 0 2 2 ? y ?1 ? ? 2
1 ? ? 4k 2 (1 ? t ? kt ) 2 ? 4(k 2 ? )[(1 ? t ? kt ) 2 ? 1] ? 0 ? (1 ? t ? kt ) 2 ? 2(k 2 ? 1) 2
化简得, (1 ? t ? kt ) ? 2(k ? 1) 。 。 。 。 。②
2 2

1 2 (k ? 1) ? k 2 ? 1 2 1 但此时,因为 t ? 0,[1 ? t (1 ? k )]2 ? 1, (k 2 ? 1) ? 1 ,即①式不成立; 2 1 当 k 2 ? 时,①式也不成立 2 1 综上,直线 l 若与圆 x 2 ? y 2 ? 内有交点,则不可能同时与曲线 C1 和 C2 有交点, 2 1 即圆 x 2 ? y 2 ? 内的点都不是“C1-C2 型点” . 2
由①②得, 2(k 2 ? 1) ? (1 ? t ? tk ) 2 ?


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