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2011届高三数学一轮复习单元质量检测(解析几何)


2011 届高三数学一轮复习单元质量检测八
平面解析几何
(时间 120 分钟,满分 150 分)

第Ⅰ卷
一项是符合题目要求的)

(选择题,共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有

1.抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是 |a| A. 4 |a| B. 2 C.|a|

( a D.- 2 ( D.不确定

)

2. 过点 A(4, a)与 B(5, b)的直线与直线 y=x+m 平行, 则|AB|= A.6
2 2

)

B. 2

C.2

x y 3.已知双曲线 - =1 的离心率为 e,抛物线 x=2py2 的焦点为(e,0),则 p 的值为( 4 12 A.2 B.1 1 C. 4 1 D. 16

)

1 2 4. 若直线 ax+2by-2=0(a>0, b>0)始终平分圆 x2+y2-4x-2y-8=0 的周长, + 的 则 a b 最小值为 A.1 B.5 C.4 2 ( D.3+2 2 )

5.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨 迹 (
2

方 ) x2 y2 B. - =1 16 9 x2 y2 D. - =1(x>4) 16 9





x y2 A. - =1 9 16 x2 y2 C. - =1(x>3) 9 16

x2 y2 5e 6. 双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为 y= x(e 为双曲线离心率), 则有( a b 5 A.b=2a
2

)

B.b= 5a

C.a=2b

D.a= 5b ( )

7.抛物线 y=-4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 17 A. 16 15 B. 16 15 C.- 16 17 D.- 16

x2 y2 8.(2009· 全国卷Ⅱ)双曲线 - =1 的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则 r=( 6 3 A. 3 B.2 C.3 D.6

)

x2 y2 9.(2009· 四川高考)已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方 2 b
P 程为 y=x,点 P( 3,y0)在该双曲线上,则 P F 1 · F 2 = ???? ????

(

)

A.-12

B.-2

C.0

D.4

10.(2009· 天津高考)设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( 3,0)的直线与抛物线相交于 A、 S△BCF B 两点,与抛物线的准线相交于点 C,|BF|=2,则△BCF 与△ACF 的面积之比 = S△ACF ( 4 A. 5 2 B. 3 C. 4 7 1 D. 2 )

第Ⅱ卷

(非选择题,共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上) x2 11.若双曲线 2-y2=1 的一个焦点为(2,0),则它的离心率为________. a 12.已知点(x0,y0)在直线 ax+by=0(a,b 为常数)上,则 (x0-a)2+(y0-b)2的最小值为 ________. 13.(2009· 福建高考)过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45° 的直线交抛物线于 A、 B 两点,若线段 AB 的长为 8,则 p=________. 14.直线 l 的方程为 y=x+3,在 l 上任取一点 P,若过点 P 且以双曲线 12x2-4y2=3 的焦 点为椭圆的焦点作椭圆,那么具有最短长轴的椭圆方程为______________. 15.过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线在第一象限的交点为 A, 与抛物线准
B 线的交点为 B,点 A 在抛物线准线上的射影为 C,若 A F = F B , B A · C =48,则
???? ??? ? ??? ???? ?

抛物线的方程为______________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16.(本小题满分 12 分)已知:圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切; (2)当直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点,且 AB=2 2时,求直线 l 的方程.

17.(本小题满分 12 分)过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

18. (本小题满分 12 分)(2010· 南通模拟)已知动圆过定点 F(0,2), 且与定直线 L: y=-2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过 F(0,2),分别以 A、B 为切点作轨迹 C 的切线,设 两切线交点为 Q,证明:AQ⊥BQ.

20 19. (本小题满分 12 分)已知圆(x-2)2+(y-1)2= , 椭圆 b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的离心率 3 为 2 ,若圆与椭圆相交于 A、B,且线段 AB 是圆的直径,求椭圆的方程. 2

20.(本小题满分 13 分)已知 A、B、D 三点不在一条直线上,且 A(-2,0),B(2,0),| A D |

????

???? ???? 1 ???? =2, A E = ( A B + A D ). 2

(1)求 E 点的轨迹方程; (2)过 A 作直线交以 A、B 为焦点的椭圆于 M,N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 4 ,且直线 MN 与 E 点的轨迹相切,求椭圆的方程. 5

21. (本小题满分 14 分)设椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B 两点,点 C 是 AB 的中点,若|AB|=2 2,OC 的斜率为 2 ,求椭圆的方程. 2

参考答案

一、选择题 1-5:BBDDC 6-10:CCACA

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把正确答案填在题中横线上) 2 3 11. 3 12. 13. 2 14. x2 y2 + =1 5 4 a2+b2

15. y2=4x 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤) 16. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则此圆的 圆心为(0,4),半径为 2. (1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 3 解得 a=- . 4 (2)过圆心 C 作 CD⊥AB,则根据题意和圆的性质, |4+2a| =2. a2+1

? a +1, 得?CD +DA =AC =2 , ?DA=1AB= 2. 2
CD=
2

|4+2a|
2 2

2

2

解得 a=-7,或 a=-1. 故所求直线方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0. 17. 解:设 M 的坐标为(x,y),则 A、B 两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y), 连结 PM, ∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|. 而|PM|= ( x ? 2 ) ? ( y ? 4 ) ,
2 2

|AB|= ( 2 x ) ? ( 2 y ) ,
2 2

∴2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 4 ) ?
2 2

4x ? 4y .
2 2

化简,得 x+2y-5=0 即为所求的轨迹方程.

18.解:(1)依题意,圆心的轨迹是以 F(0,2)为焦点,L:y=-2 为准线的抛物线. 因为抛物线焦点到准线距离等于 4, 所以圆心的轨迹是 x2=8y. (2)证明:因为直线 AB 与 x 轴不垂直, 设 AB:y=kx+2. A(x1,y1),B(x2,y2).

?y=kx+2, ? 由? 1 2 ?y=8x , ?
可得 x2-8kx-16=0,x1+x2=8k,x1x2=-16. 1 1 抛物线方程为 y= x2,求导得 y′= x. 8 4 1 1 1 1 1 所以过抛物线上 A、B 两点的切线斜率分别是 k1= x1,k2= x2,k1k2= x1·x2= x1·2 x 4 4 4 4 16 =-1. 所以 AQ⊥BQ. c 19. 解:∵e= = a a2-b2 2 = ,∴a2=2b2. a2 2

因此,所求椭圆的方程为 x2+2y2=2b2, 又∵AB 为直径,(2,1)为圆心,即(2,1)是线段 AB 的中点, 设 A(2-m,1-n),B(2+m,1+n),则

?(2+m) +2(1+n) =2b , ? ? ?|AB|=2 20 ? 3
2 2 2 2 2 2

(2-m)2+2(1-n)2=2b2,

?8m+8n=0, ? ?? ?2 m +n =2 ?
2 2

8+2m2+4+4n2=4b2, 20 3

?2b =6+m +2n , ? ?? 2 得 2b2=16. 10 m =n2= , ? 3 ?
故所求椭圆的方程为 x2+2y2=16.
???? ???? 1 ???? 20. 解:(1)设 E(x,y),由 A E = ( A B + A D ),可知 E 为线段 BD 的中点, 2

又因为坐标原点 O 为线段 AB 的中点, 所以 OE 是△ABD 的中位线,
??? ? 1 ???? 所以| O E |= | A D |=1, 2

所以 E 点在以 O 为圆心,1 为半径的圆上, 又因为 A,B,D 三点不在一条直线上,

所以 E 点不能在 x 轴上, 所以 E 点的轨迹方程是 x2+y2=1(y≠0). x2 y2 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),中点为(x0,y0),椭圆的方程为 2+ 2 =1,直线 MN 的 a a -4 方程为 y=k(x+2)(当直线斜率不存在时不成立), 由于直线 MN 与圆 x2+y2=1(y≠0)相切, 所以 |2k| 3 =1,解得 k=± , 2 3 k +1

3 所以直线 MN 的方程为 y=± (x+2), 3 3 x2 y2 将直线 y=± (x+2)代入方程 2+ 2 =1, 3 a a -4 整理可得:4(a2-3)x2+4a2x+16a2-3a4=0, x1+x2 a2 所以 x0= =- 2 . 2 2(a -3) 4 又线段 MN 的中点到 y 轴的距离为 , 5 a2 4 即 x0=- 2 =- ,解得 a=2 2. 5 2(a -3) x2 y2 故所求的椭圆方程为 + =1. 8 4
?ax2+by2=1, ? 21. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),那么 A、B 的坐标是方程组? 的解. ? ?x+y-1=0

由 ax2+by2=1,ax2+by2=1,两式相减,得 1 1 2 2 a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0, y1-y2 因为 =-1, x1-x2 y1+y2 a 所以 = , x1+x2 b 即 2yC a yC a 2 = , = = ,所以 b= 2a. 2xC b xC b 2 ①

再由方程组消去 y 得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 由|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2= 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2-4x1x2]=2 2, b-1 2b 2 得(x1+x2)2-4x1x2=4,即( ) -4· =4. a+b a+b 1 2 由①②解得 a= ,b= , 3 3 ②

x2 2y2 故所求的椭圆的方程为 + =1. 3 3


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