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广东省揭阳市云路中学2012届高三第一次测试(数学理)

揭阳市云路中学 2012 届高三数学(理科)第一次测试试题 2011.09.17

班级:

姓名:

命题人:江创树
座位:

评分:

第一部分 选择题(共 40 分)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

1、设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3}, N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的( )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2、 若向量a ? (2,1), b ? (3, x), 若(2a ? b) ? b, 则x的值为

()

A. 3

B. ?1或3

C. -1

D. ?3 或 1

3、一质点受到平面上的三个力 F1, F2 , F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1, F2 成 600 角,且 F1, F2

的大小分别为2和4,则 F3 的大小为

()

A.6

B.2

C. 2 5

D. 2 7

4、设函数 f ? x? 和 g ? x? 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( )

A. f ? x? ? g ? x? 是偶函数

B. f ? x? ? g ? x? 是奇函数

C. f ? x? ? g ? x? 是偶函数

D. f ? x? ? g ? x? 是奇函数

5、已知命题 p :所有有理数都是实数,命题 q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是( )

A. (?p) ? q

B. p ? q

C. (?p) ? (?q) D. (?p) ? (?q)

6、右图给出的是计算 1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? 1 的值的一个程序框图,其中判断框内

246

20

应填入的条件是( )

A.i>10 B.i<10 C.i>20 D.i<20

7、函数 y ? log 2 x ? log x (2x) 的值域是

()

A. (??,?1] B.[3,??) C.[?1,3] D. (??,?1] ? [3,??)

8 、 若 函 数 y ? ( 1 )|1?x| ? m 的 图 象 与 x 轴 有 公 共 点 , 则 m 的 取 值 范 围 是 2





A.m≤-1 B.m≥1 C.-1≤m<0

D.0<m≤1

第6题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,共 30 分,把答案填写在答题卡相应位置上)

? ? 9、若 a x2dx ? 9 ,则 a ? _____ ; 2 4 ? x2 dx ? ____________ .

0

?2

?x ? 2

10、若

? ?

y

?

2

,则目标函数 z ? x ? 3y 的取值范围是

??x ? y ? 6

11、若不等式|x-2|+|x+3|< a 的解集为 ?,则 a 的取值范围为_____________.

12、已知 f (x) ? 1? (x ? a)(x ? b)(a ? b),m, n 是 f (x) 的零点,且 m ? n ,则实数 a、b、m、n 的大小关系是

___________



13 、 观 察 下 列 的 图 形 中 小 正 方 形 的 个 数 , 则 第 6 个 图 中 有 _______ 个 小 正 方 形 , 第 n 个 图 中 有

________________个小正方形.

14、已知 tan? ? 2 ,则 sin? ? cos? ?

.

sin? ? cos?

三、解答题(有 6 大道题,共 80 分,要求写出推理和运算的过程)

15、(本题满分 12 分)已知向量 a ? (sin? , ?2)与b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中? ? (0, ? ) . 2

(1)求 sin?和cos? 的值;

(2)若 sin(? ??) ? 10 , 0 ? ? ? ? ,求 cos? 的值.

10

2

16、(本小题满分 12 分) 已知 p :|1 ? x ?1 |? 2,q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ;? p 是? q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围.
3
17、(本小题满分 14 分)
甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 2 和 3 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响; 34
每次射击是否击中目标,相互之间没有影响. (Ⅰ)求甲射击 4 次,至少 1 次未.击中目标的概率; (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (Ⅲ)假设某人连续 2 次未.击.中.目标,则停止射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射击的概率是多少?

18、(本小题满分 14 分)如图 5,在锥体 P ? ABCD 中, ABCD 是边长为 1 的菱形,且 ?DAB ? 60 ,错误! P

不能通过编辑域代码创建对象。,PB ? 2 ,E 、F 分别是 BC, PC

的F中点.

(1)证明:AD ? 平面 DEF ;(2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值.

D
A 图5

C E B

19、(本小题满分 14 分)已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c 的图象为曲线 E.
(Ⅰ) 若曲线 E 上存在点 P,使曲线 E 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a,b 的关系; (Ⅱ) 说明函数 f (x) 可以在 x ? ?1和 x ? 3 时取得极值,并求此时 a,b 的值; (Ⅲ) 在满足(2)的条件下, f (x) ? 2c 在 x?[?2 , 6] 恒成立,求 c 的取值范围.
20、(本小题满分 14 分)
设函数 f (x) 的定义域为 R,若 f (x) ? x 对一切实数 x 均成立,则称函数 f (x) 为 ? 函数。 求证:若 a ?1,则函数 f (x) ? ln( x2 ? a) ? ln a 是 ? 函数。

揭阳市云路中学 2012 届高三数学(理科)第一次测试参考答案

一、选择题

第Ⅰ卷

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

B

D

A

C

A

D

C

二、填空题

第Ⅱ卷

9、3 , 2? ; 10、[8,14] ; 11、 (??,5] ; 12、 m ? a ? b ? n

三、解答题 15、(本小题满分 12 分)

13、28 , (n ? 1)(n ? 2) 2

14、 1 3

解:(1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? s in? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin? ? 2cos? ,代入 sin2 ? ? c os2 ? ? 1得

sin? ? ? 2 5 , cos? ? ? 5 ,又? ?(0, ? ) ,∴ sin? ? 2 5 , cos? ? 5 .

5

5

2

5

5

( 2 ) ∵ 0 ? ? ? ? , 0 ? ? ? ? , ∴ ? ? ? ? ? ? ? ? , 则 cos(? ? ?) ? 1 ? sin 2 (? ? ?) ? 3 10 , ∴

2

2

2

2

10

c o s? ? cos[? ? (? ? ?)] ? c o s? c o s?( ? ?) ? s in? s in?( ? ?) ?

2
.

2

16、(本小题满分 12 分)

解:由 x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,得1 ? m ? x ?1 ? m(m ? 0) ,

∴? q 即 A={x | x ? 1? m,或x ? 1? m(m ? 0)} ;

由 |1 ? x ?1 |? 2,得 ? 2 ? x ?10,∴? p 即 B={x | x ? ?2,或x ?10} , 3

?1? m ? ?2,

∵?

p 是? q 的必要不充分条件,且

m>0。∴A

??

B,故

??1? m ? 10,且不等式组中的第一、二两个不等式不能 ??m ? 0,

同时取等号,解得 m≥9 为所求 。

17、(本小题满分 14 分)

解:(1)设“甲射击 4 次,至少 1 次未击中目标”为事件 A,则其对立事件 A 为“4 次均击中目标”,则

? ? P? A? ?1? P

A

?

1

?

? ??

2 3

4
? ? ?

?

65 81

(2)设“甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次”为事件 B,则

P

?

B?

?

C42

?

? ??

2 3

?2 ??

?

? ??

1 3

?2 ??

? C43

?

? ??

3 4

?3 ??

?

1 4

?

1 8

(3)设“乙恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件 C,由于乙恰好射击 5 次后被中止射击,故必然是最后两次未 击中目标,第三次击中目标,第一次及第二次至多有一次未击中目标。



P

?C?

?

?? ?????

3 4

?2 ??

?

C21

?

3 4

?

1

? ?

?

4 ??

3 4

?

? ??

1 4

?2 ??

?

45 1024

18、(本小题满分 14 分)

(1)证明:取 AD 的中点 H ,连接 PH, BH, BD

∵ PA ? PD ,∴ AD ? PH

∵在边长为 1 的菱形 ABCD中, ?DAB ? 60 ∴△ ABD是等边三角形 ∴ AD ? HB , PH HB ? H ∴ AD ? 平面 PHB ∴ AD ? PB ∵ E, F 分别是 BC , PC 的中点 ∴ EF ∥ PB , HB ∥ DE ∴ AD ? DE , AD ? EF , DE EF ? E ∴ AD ? 平面 DEF (2)解:由(1)知 PH ? AD, HB ? AD ∴ ?PHB是二面角 P ? AD ? B 的平面角

PH ? 7 , BH ? 3

易求得

2

2

∴错误!不能通过编辑域代码创建对象。

? 21 ∴二面角 P ? AD ? B 的余弦值为 7

19(本小题满分 14 分)
解 : (1) f ?(x) ? 3x2 ? 2a x ? b , 设 切 点 为 P(x0 , y0 ) , 则 曲 线 y ? f (x) 在 点 P 的 切 线 的 斜 率
k ? f ?(x0 ) ? 3x02 ? 2ax0 ? b ,由题意知 f ?(x0 ) ? 3x02 ? 2ax0 ? b ? 0有解,
∴ ? ? 4a2 ?13b ? 0 即 a 2 ? 3b . (2)若函数 f (x) 可以在 x ? ?1和 x ? 3 时取得极值, 则 f ?(x) ? 3x 2 ? 2a x ? b ? 0 有两个解 x ? ?1和 x ? 3 ,且满足 a 2 ? 3b . 易得 a ? 3 , b ? ?9 .

(3)由(2),得 f (x) ? x3 ? 3x 2 ? 9x ? c . 根据题意, c ? x3 ? 3x2 ? 9x ( x?[?2 , 6] )恒成立. ∵函数 g(x) ? x3 ? 3x 2 ? 9x ( x?[?2 , 6] )在 x ? ?1时有极大值 5 (用求导的方法), 且在端点 x ? 6 处的值为 54 . ∴函数 g(x) ? x3 ? 3x 2 ? 9x ( x?[?2 , 6] )的最大值为 54 . 所以 c ? 54 . 20、(本小题满分 14 分)
证明:由题意可知 f (x) 的定义域为 R,

2

2

x

f (x) ? ln(x ? a) ? ln a ? ln( ?1), a ? 1,

a

2
x ? ?1 ? 1, f (x) ? 0, f (x) ? f (x).
a

令 g(x) ? f (x) ? x ? f (x) ? x

?当 x ? 0 时, g(x) ? f (x) ? x, g?(x) ? f ?(x) ?1 ?

2x
2

?1 ?

2x

?
2

2
x

?

a

?

(x

?1)2
2

?1?

a

?

0.

x ?a

x ?a

x ?a

? g(x) 在?0, ??? 上为减函数;

当 x ? 0 时, g(x) ? f (x) ? x, g?(x) ? f ?(x) ?1 ?

2x
2

2
2x ? x ? a

(x ?1)2 ?1? a

?1? 2

?

2

? 0.

x ?a

x ?a

x ?a

? g(x) 在 ???,0?为增函数。

? g(x) 在 x =0 处取得极大值,同时也为最大值。

? g(x) ? g(0) ? ln a ? ln a ? 0 。

即 f (x) ? x ? 0 在 x ? R 恒成立,即 f (x) ? x 在 x ? R 恒成立。
?函数 f (x) ? ln( x2 ? a) ? ln a 是 ? 函数。

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