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高二数学人教A版必修五3.4《基本不等式》word教案5


3.4.1 基本不等式 一、教材分析 “基本不等式” 是必修 5 的重点内容,它是在系统学习了不等关系和不等式性质,掌握了不 等式性质的基础上对不等式的进一步研究,同时也是为了以后学习选修教材中关于不等式及其证明 方法等内容作铺垫,起着承上启下的作用。利用基本不等式求最值在实际问题中应用广泛。同时本 节知识又渗透了数形结合、化归等重要数学思想,有利 于培养学生良好的思维品质。 二、学情分析 学生们通过本章前两节的学习对不等式有了初步了解,学会运用不等式。但接触的不等式较为 单一,灵活度不够,学生在练习时运用困难,而基本不等式对学生更为灵活,但也为学生掌握设置 了障碍,特别是在基本不等式的几何意义理解上会存在困难。 三、教学目标 1、知识与技能: (1)学会推导基本不等式; (2)理解基本不等式的几何意义; ( 3)掌握基本不等式成立、取等条件。 2、过程与方法: (1)探索了解基本不等式的证明过程。 (2)体会基本不等式的证明方法。 3、情感态度价值观: (1)通过探索基本不等式的证明过程,培养学生的探索、研究精神。 (2)通过对基本不等式成立条件的分析,培养学生严谨求实的科学态度,体会数与形的和谐统 一,激发学生的学习兴趣和 勇于探索的精神。 四、教学重难点 教学重点:从不同 角度证明基本不等式; 教学难点:从数形结合的思想理解不等式的含义,挖掘基本不等式的内涵及几何意义。 五、教学过程 (一)认识基本不等式 师:在前面我们已经对不等式进行了多方面的学习,昨天 老师交给了部分同学一些任务,让他们从 这几个图中找出其中存在的不等关系,下面我们来请他们上来汇报一下探究成果。 学生 1: 如图是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标,会标颜色的明暗使它看上去像一个 风车。 实际上,它是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计而成的。大家可以对比欣赏一下。 那么,这个会标与我们今 天所要学习的基本不等式有何关系呢? 首先把这个会标抽象成一个数学图形,观察这个图形, :这四个直角三角形的面积相等,为全等三角形; 大正方的面积大于四个直角三角形面积之和。 设直角三角形两条直角边长为 a , b ,那么正方形的 边长为 a 2 ? b 2 . [来源:学科网 ZXXK] 4 个直角三角形的面积之和 S1 ? 2ab , 正方形的面积 S 2 ? a 2 ? b 2 . 由图可知 S 2 ? S1 ,即 a 2 ? b 2 ? 2ab . 当小正方形缩成了一个点时,大正方形的面积正好等于这四个直角三角形面积之和。实际上这个过 程也就是这四个直角三角形变成了等腰直角三角形,也就是 a 等于 b。所以也可以说,当 a=b 时, 等号成立。 师:结合以上分析我们可以得到 a ? b ? 2ab (再次强调,等号何时成立). 此时 a,b 的取值范围是怎样的呢 ?—— a ? 0, b ? 0 2 2 学生 2: 如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 是 AB 上一点, AC ? a , BC ? b .过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE ,连接 AD, BD . D 根据射影定理可得: CD ? AC ? BC ? ab 由于 Rt ?COD 中直角边 CD ? 斜边 OD , 于是有 ab ? A O C E B a?b 2 当且仅当点 C 与圆心 O 重合时,即 a ? b 时等号成立. 故而再次证明: 当 a ? 0, b ? 0 时, ab ? 学生 3: a?b (当且仅当 a ? b 时,等号成立) 2 1

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