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山东省济南第一中学2015届高三数学6月模拟测试试题 理


普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学模拟测试
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非 选择题)两部分,共 4 页。满分 150 分,考试时间 120 分钟。考试结束后,将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考 证号、考试科目填涂在试卷和答题纸规定的地方。 第Ⅰ卷(共 50 分) 注意事项: 每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后, 再选择其他答案标号。不能直接写在本试卷上 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1. 若复数满足 (3 ? 4i) ? z ?| 4 ? 3i | , i 是虚数单位,则 z 的虚部为( ) A. ?4 B.

4 5

C. 4

D. ?

4 5


2. 设集合 P ? {x || x ? 1|? 3} , Q ? { y | y ? ( ) x , x ? ( ?2,1)} ,则 P ? Q ? ( A. (?4, )

1 3

1 9

B. ( , 2]

1 9

C. ( , 2]

1 3

D. ( , 2)

1 3

3.某防疫站对学生进行身体健康调查,欲采用分层抽样的办法抽取样本.某中学共有学生 2000 名, 抽取了一个容量为 200 的样本,样本中男生 103 人,则该中学共有女生( A. 1030 人 4. 函数 f ( x) ? A. ( , ??) B. 97 人 C. 950 人 ) C. [ , 2) ? (2, ??) ) D. 970 人 )

1 3

1 ? log 3 x 的定义域为( 2x ? 4 1 B. ( , 2) ? (2, ??) 3

1 3

D. [ , ??)

1 3

5. “ a ? 1 ”是“对任意的正数 x , x ? A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ? a 恒成立”的( x

B.必要 不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?2 x ? y ? 0 ? ? 6. 已知变量 x, y 满足: ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则z ? ? ? ?x ? 0

? 2?

2 x? y

的最大值为(



-1-

A.

2

B. 2 2

C.2

D.4

? x? 7. 已知 f ( x) ? cos(

?
3

), ? ( ? 0) 的图象与 y ? 1 的图象的两相邻交点间的距离为 ? ,要得到


y ? f ( x) 的图象,只须把 y ? sin ? x 的图象(
5 ? 个单位 12 11 C. 向左平移 ? 个单位 12
A. 向左平移 8. 已知 ? x ? A.

5 ? 个单位 12 11 D. 向右平移 ? 个单位 12
B. 向右平移

? ?

1 ? 2 a ? 展开式的常数项是 540 ,则由曲线 y ? x 和 y ? x 围成的封闭图形的面积为( ) ax ?
B.

6

5 12
160 3

5 3

C. 1

D.

13 12


9. 已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( A. B. 160 D. 88 ? 8 2

C. 64 ? 32 2 10.过双曲线 C : x 2 ?

y2 ? 1(b ? 1) 的左顶点 P 作斜率为 1 的直线 l , b2

若直线 l 与双曲线的两条渐近线分别相交于点 Q, R , 且O P ? O R A. 5 B. 10 C.

??? ? ??? ?

??? ? , 则双曲线的离心率为 ( O ? Q 2
D.



5 2

10 3

第Ⅱ卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。
2 11. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N 0, ? ,

?

?

若 P ?? ? 2? ? 0.023 ,则 P ? ?2 ? ? ? 2? ?

.

12.执行如右图所示的程序框图, 若 m ? 4 ,则输出的结果为

P ? P ? 2k
.

z ? log 2 P

-2-

13.在 ?ABC 中,已知 A, B, C 分别为边 a, b, c 所对的角,已知 CA ? CB ? 2 , a ? b ? ab , 其面积 S ? 3 ,则边 c ? .

??? ? ??? ?

2 14.在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧棱 AA1 ? 平面 AB1C1 , AA 1 ? 1 ,底面△ ABC 是边长为 的
正三角形,则此三棱柱的体积为 .

15. 符号 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [? ] ? 3 , [?1.08] ? ?2 ,定义函数 f ( x) ? x ? [ x] . 给出下列五个命题: ① 函数 f ( x ) 的定义域是 R ,值域 为 [0,1] ; ③ 函数 f ( x ) 是周期函数; ⑤ 函数 F ( x) ? f ( x) ? 其中正确命题的序号有 ② 方程 f ( x) ?

1 有无数个解; 2

④ 函数 f ( x ) 是增函数.

1 x ? 1 有 3 个零点 2


三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos 2 ? x ?

? ?

1 π? ? , g ( x) ? 1 ? 2 sin 2 x . 12 ?

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙两名篮球运动员,各自的投篮命中率分别为 0.5 与 0.8 ,如果每人投篮两次. (I)求甲比乙少投进一次的概率. (II)若投进一个球得 2 分,未投进得 0 分,求两人得分之和 ? 的分布列及数学期望 E? .

-3-

18. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, AD ∥ BC , ?ADC ? 90? , 平面 PAD ⊥底面 ABCD , Q 为 AD 的中点, M 是棱 PC 上的点, PA ? PD ? 2 ,
BC ? 1 AD ? 1 , CD ? 3 . 2

(I)求证:平面 MQB ⊥平面 PAD . (II)若二面角 M ? BQ ? C 大小为 60
?

,求 QM 的长.

19.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n 2 ? 2n , 正项等比数列 {bn } 满足:b1 ? a1 ? 1 ,且 b4 ? 2b2 ? b3 . (I)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式. (II)若数列 {cn } 满足: cn ? 20. (本小题满分 13 分) 设 f ( x) ? px ?

an 3 ,其前 n 项和为 Tn ,证明: ? Tn ? 5 . 2 bn

q p ? 2 ln x ,且 f (e) ? qe ? ? 2 ( e 为自然对数的底数) x e

(I) 求 p 与 q 的关系. (II)若 f ( x ) 在其定义域内为单调函数,求 p 的取值范围. (III)设 g ( x ) ?

2e ,若在 [1, e] 上至少存在一点 xo ,使得 f ( xo ) ? g ( xo ) 成立, x

求实数 p 的取值范围. 21. (本题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴 A1 A2 ,短轴 B1 B2 , 2 2 a b

四边形 A1 B1 A2 B2 的面积为 4 3 . (I) 求椭圆的标准方程. (II) 过椭圆的右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 P、Q ,直线 A1 P与A2Q交于M , A1Q与A2 P交于N . (i) 证明: MN ? x轴 ,并求直线 MN 的方程. (ii)证明:以 MN 为直径的圆过右焦点 F .

-4-

理科数学参考答案 一.选择题 题号 答案 1 B 2 C 3 D 4 C 5 A 6 D 7 A 8 A 9 C 10 B

二.填空题 11 0.954 12 8 13 2 14

2

15

②③⑤

二.解答题 16.解: (I)由题设知 f ( x) ?

1 π [1 ? cos(2 x ? )] . 2 6 π ? kπ , 6

(1 分)

因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ?

π (k ?Z ) . 6 1 1 π 所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin( kπ ? ) . 2 2 6
即 2 x0 ? kπ ? 当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ?

(3 分)

1 1 3 ? π? sin ? ? ? ? 1 ? ? , 2 ? 6? 4 4
1 π 1 5 sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4

(5 分)

(6 分)

(II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

1? π ?? 1 ? 1 ? cos ? 2 x ? ?? ? 1 ? sin 2 x ? 2? 6 ?? 2 ?

?

? 3 1 1? ? π? ? 3 1? 3 1 π? 3 ? cos ? 2 x ? ? ? sin 2 x ? ? ? ? cos2x ? sin 2 x ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? .(8 分) ? ? ? 2? ? 6? 2 3? 2 ? 2 2? 2 ? 2 2 ?
π π π 5π π ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12
(10 分)

当 2kπ ?

函数 h( x) ?

1 ? π? 3 sin ? 2 x ? ? ? 是增函数, 2 ? 3? 2 ? ? 5π π? . ,kπ ? ? ( k ? Z ) 12 12 ?
(12 分)

故函数 h( x) 的单增区间是 ? kπ ?

-5-

17. 解: (I)设“甲比乙少投进一次”为事件 A,依题意可知它包含以下两个基本事件: ① 甲投进 0 次,乙投进 1 次,记为事件 B,则有:

P(B) ? 0.52 ? C21 ? 0.8 ? (1 ? 0.8) ? 0.08 ;?(2 分)
② 甲投进 1 次,乙投进 2 次,记为事件 C,则有:

P(C) ? C21 ? 0.52 ? 0.82 ? 0.32 ;?(4 分)
? P( A) ? P( B) ? P(C) ? 0.08 ? 0.32 ? 0.40 ?(5 分)
答:甲比乙少投进一次的概率为 0.40.?(6 分) (II)甲乙两人得分的分布列为: 概率分开写步骤

?
P

0 0.01

2 0.10

4 0.33

6 0.40

8 0.16

? E? ? 0 ? 0.01 ? 2 ? 0.10 ? 4 ? 0.33 ? 6 ? 0.40 ? 8 ? 0.16 ? 5.2 ?(11 分)
答:两人得分之和 ? 的期望 E? 为 5.2.?(12 分) 18. 解 答: (Ⅰ)∵AD // BC,BC= ∴四边形 BCDQ 为平行四边形, ∵∠ADC=90°

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
(2 分)

∴CD // BQ .

∴∠AQB=90° 即 QB⊥AD.

又∵平面 PAD⊥平面 ABCD 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴BQ⊥平面 PAD.∵BQ ? 平面 MQB, ∴平面 MQB⊥平面 PAD. (Ⅱ)∵PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 且平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PQ⊥ 平面 ABCD. (5 分) (4 分)

如图,以 Q 为原点建立空间直角坐标系. 则 Q (0, 0, 0) , A(1,0,0) , P (0, 0, 3) , B (0, 3, 0) , C (?1, 3, 0)
-6-

???? ? ??? ? 由 PM ? ? PC ? ? (?1, 3, ? 3) ,且 0 ? ? ? 1 ,得 M (?? , 3? , 3 ? 3? ) ???? ? 所以 QM ? (?? , 3? , 3(1 ? ? ))
又 QB ? (0, 3, 0) ,

??? ?

∴ 平面 MBQ 法向量为 m ? ( 3, 0,

??

1? ?

?

).

(8 分) (9 分) ∴

由题意知平面 BQC 的法向量为 n ? (0, 0,1)

?

? ?? n?m 1 ∵二面角 M-BQ-C 为 60°, ∴ cos 60 ?| ? ?? |? , n m 2
?

1 ?? . 2

(10 分)

∴ | QM |?

7 2
2

(12 分)

19.解: (Ⅰ)∵ S n ? n 2 ? 2n ,当 n ? 2, S n ?1 ? (n ? 1) ? 2(n ? 1) 则 an ? S n ? S n ?1 ? 2n ? 1 ,当 n ? 1 时, a1 ? 3 ,适合上式,所以 an ? 2n ? 1 设正项等比数列 {bn } 的公比为 q(q ? 0) ∵ b4 ? 2b2 ? b3 ,所以 b2 q ? 2b2 ? b2 q , q ? q ? 2 ? 0 ,所以 q ? 2, q ? ?1 (舍去)
2

(2 分)

2

b1 ? a1 ? 1 ? 3 ? 1 ? 2
(Ⅱ)∵ cn ?

所以 bn ? 2 ? 2

n ?1

? 2n

(4 分)

an 2n ? 1 ? n bn 2

1 1 1 1 Tn ? 3 ? ? 5 ? 2 ? 7 ? 3 ? …… ? (2n ? 1) ? n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 3 ? 2 ? 5 ? 3 ? …… ? (2n ? 1) ? n ? (2n ? 1) ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 2n ? 5 ? 5? 两式相减得 Tn ? 5 ? n ?1 ? n 2 2 2n 2n ? 5 2n ? 5 ? 0 ,∴ Tn ? 5 ? n ? 5 ∵ n 2 2 2n ? 7 2n ? 5 2n ? 3 ? n ?1 ? 0 ,∴ Tn?1 ? Tn 又∵ Tn ?1 ? Tn ? 5 ? n ?1 ? 5 ? 2 2n 2 3 3 ∴ Tn 是一个增函数,所以 Tn ? T1 ? 综上 ? Tn ? 5 2 2
20. 解:(I) 由题意得 f (e) = pe- -2ln e = qe- -2 ? (p-q) (e +

(8 分) (9 分)

(12 分) 1 ) = 0

q e

p e

e

-7-

而 e + (II)

1

e

≠0∴

p = q

???? 2 分

由 (I) 知 f (x) = px -

p - 2ln x x

f’(x) = p +

p 2 px 2-2x + p = 2 - x x x2

???? 3 分 2 令 h(x) = px -2x + p,要使 f (x) 在其定义域 (0,+?) 内为单调函数, 只需 h(x) 在 (0,+?) 内满足:h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ????4 分 ① 当 p = 0 时, h(x) = -2x,∵ x > 0,∴ h(x) < 0,∴ f’(x) = - ∴ f (x) 在 (0,+?) 内为单调递减,故 p = 0 适合题 意.
2

2x < 0, x2 1

???? 5 分

② 当 p > 0 时,h(x) = px -2x + p,其图象为开口向上的抛物线,对称轴为 x = 1 ∴h(x)min = p-

p

∈(0,+?),

p

只需 p-

1

p

≥1,即 p≥1 时 h(x)≥0,f’(x)≥0 ∴ f (x) 在 (0,+?) 内

为单调递增, 故 p≥1 适合题意.

???? 6 分
2

③ 当 p < 0 时,h(x) = px -2x + p,其图象为开口向下的抛物线,对称轴为 x =

1

p

? (0,+?)

只需 h(0)≤0,即 p≤0 时 h(x)≤0 在 (0,+?) 恒成立.故 p < 0 适合题意. ???? 7 分 综上可得,p≥1 或 p≤0 ???? 8 分 另解:(II) 由 (I) 知 f (x) = px- -2ln x

p x

f’(x) = p +

p 2 1 2 = p (1 + 2 )- ??? 2 - x x x x

4分 要使 f (x) 在其定义域 (0,+?) 内为单调函数, 只需 f’(x) 在 (0,+?) 内满足:f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立. 由 f’(x)≥0 ? p (1 + 1

x2

2 2 )- ≥0 ? p≥ x 1 x +

? p≥(

2 1

)max,x > 0

x

x +
2 1

x
)max = 1 ∴



2

x +
6分

1

≤ 2

2

x



1

= 1,且 x = 1 时等号成立,故 (

p≥1

???

x
1 2 )- ≤0 ? p≤ 2x x + 1
2

x +

x
2x )min,x > 0 x + 1
2

由 f’(x)≤0 ? p (1 + 而

x

2

x

? p≤(

2x 2x > 0 且 x → 0 时, 2 → 0,故 p≤0 x2 + 1 x + 1 ???? 8 分 2e

???? 7 分

综上可得,p≥1 或 p≤0 (III) ∵ g(x) =

x

在 [1,e] 上是减函数∴ x = e 时,g(x)min = 2,x = 1 时,g(x)max = 2e

即 g(x) ? [2,2e]

???? 9 分
-8-

① p ≤ 0 时 ,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 ? f (x)max = f (1) = 0 < 2 ,不合题 意。 ?? 10 分 1 1 1 ② 0 < p < 1 时,由 x ? [1,e] ? x- ≥0∴ f (x) = p (x- )-2ln x≤x- -2ln x

x

x

x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式,故在 [1,e] 递增 ∴

f (x)≤x- -2ln x≤e- -2ln e = e- -2 < 2,不合题意。 x e e

1

1

1

???? 11 分

③ p≥1 时,由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增,f (1) = 0 < 2,又 g(x) 在 [1,e] 上是减函 数 ∴ 本命题 ? f (x)m ax > g(x)min = 2,x ? [1,e] 1 ? f (x)max = f (e) = p (e- )-2ln e > 2

e

? p >

4e e 2-1

???? 12 分

综上,p 的取值范围是 ( 20、解(1)? e ?

4e , +?) e 2-1

???? 13 分

1 b2 3 b 3 ,? 2 ? 即 ? 2 a 4 a 2

S A1B1 A2 B2 ? 4 3 ? ab ? 2 3 ------------------------------------2 分
a ? 2, b ? 3 ,椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ---------------------4 分 4 3

-9-

同理可得: xN ? 4 , MN ? x轴 ,直线 MN 的方程为 x ? 4 ??????10 分 (ii) M ? 4,

? ?

6 y1 ? ? 6 y2 ? ? , N ? 4, ? x1 ? 2 ? ? x2 ? 2 ?

???? ? ???? FM ? FN ? 9 ?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 9? ? x1 ? 2 ?? x2 ? 2 ? ? my1 ? 3?? my2 ? 3?

?9 36 ? 2 36 y1 y2 3m ? 4 ?9? 2 ?9? 2 ?9m ?6m m y1 y2 ? 3m ? y1 ? y2 ? ? 9 ? 3m 2 ?9 2 3m ? 4 3m ? 4 36 ? 9 ??????13 分 ?9? ?0 2 ?9m ? 18m 2 ? 27 m 2 ? 36

FM ? FN ,以 MN 为直径的圆过定点 F . ????????14 分

- 10 -


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