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高中数学选修2-1多媒体教学优质课件 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质


2.2.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质

如何将一个长、宽分别为10cm,8cm的矩形
纸板制作成一个最大的椭圆呢?

长方形

8cm

10cm

1.熟悉椭圆的几何性质(范围,对称性,顶点, 离心率).(重点) 2.理解离心率的大小对椭圆形状的影响.(重点) 3.通过数形结合、观察分析、归纳出椭圆的几何 性质,进一步体会数形结合的思想.(难点)

探究点1 椭圆的简单几何性质 椭圆的标准方程是什么?
A1 x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) F1 2 a b 2 x y2 1.范围: 由 2 ? 1, 2 ? 1,得: b a
2 2

y
B2

b

a
F2

o c
B1

A2

x

-a≤x≤a, -b≤y≤b 故椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中.

2.椭圆的对称性: x 2

x -x y 换成 -y -x, 在方程中,把 x
方程不变,说明: 椭圆关于 y 轴对称; 椭圆关于 x 轴对称; 椭圆关于 (0,0)点对称; 坐标轴是椭圆的对称轴,

y2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 2 a b
y
Q(-x,y) o N(-x,-y) P(x,y) x

M(x,-y)

原点是椭圆的对称中心,又叫做椭圆的中心.

想一想:椭圆的对称轴一定是x轴和y轴吗?对称中 心一定是原点吗?

y

F1

o

F2

x

说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变.

3.顶点与长短轴:
椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为: A1(-a,0),A2(a,0),
A1 (-a, 0)

x y (a >b >0 ) ? 2 =1 2 a b
y
B2(0,b)

2

2

B1(0,-b),B2(0,b).
回顾: 焦点坐标(±c,0)

o
B1(0,-b)

A2 (a, 0)

x

长轴:线段A1A2; 短轴:线段B1B2; 注意

长轴长 短轴长 焦 距

|A1A2|=2a. |B1B2|=2b. |F1F2|=2c.
B2(0,b)

y

①a和b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长;

A1 (-a, 0) F1

b

a

o

c F 2

A2 (a, 0)

x

②a2=b2+c2,|B2F2|=a;
③焦点必在长轴上.

B1(0,-b)

4.离心率: c 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率,用e a c y 表示,即 e ? .
因为a>c>0, 所以0 < e <1.
c 当 e ? ? 1, c ? a , a a ? c ? 0, 椭圆 ? 扁 c 当 e ? ? 0, c ? 0, a
2 2

a

b

b?

O

c



x
a

b?

a 2 ? c 2 ? a , 椭圆 ? 圆

当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重 合,图形变为圆.

离心率越大,椭圆越扁 离心率越小,椭圆越圆

【提升总结】焦点在y轴上的椭圆的几何性质又如何呢?
B2 y
A2 F2 B2 y

图 形

A1

F1 O B1

F2

A2 x

B1

O
F1
A1

x

方 程 范 围

x2 y2 ? 2 ?1 2 a b

?a ? b ? 0 ?

y2 x2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 ) 2 a b

|x|? a |y|? b

|x|? b

|y|? a

对称性
焦 点

关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(?c,0) (0,c)、(0,?c) (?b,0)、(0,?a)

顶 点
离心率

(?a,0)、(0,?b)

c e= ( 0 < e < 1 ) a

例1求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离 心率、焦点和顶点的坐标. 解:把已知方程化成标准方程
x2 y2 ? 2 ? 1, 2 5 4

于是 a ? 5 , b ? 4 , c ?

25 ? 16 ? 3 .

椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a ? 10, 2b ? 8,

离心率

e?

c 3 ? , a 5

两个焦点坐标分别为
F1 ? ?3,0 ? , F2 ? 3,0 ? ,

四个顶点坐标分别为
A1 (?5,0), A 2 (5,0), B1 (0, ?4), B2 (0, 4).

【提升总结】 基本量:a,b,c,e(共四个量). 基本点:四个顶点、两个焦点(共六个点).

我们的新课讲到这里,前面提出的问题就可以

解决了!

x 2 y2 ? ?1 25 16
y 4 3 2 1

O

-5

-4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 -1 -2 -3
-4

5

x 8cm

10cm

1.(2013·上海高考)设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在? 上,且 ?CBA ?
?
4

.若 AB=4,BC= 2 ,则 ? 的两个焦 .

点之间的距离为

4 6 3

x2 y2 2.(2012·江西高考)椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的 a b

左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若
5 F1 F2 , AF1 , F1 B 成等比数列,则此椭圆的离心率为____. 5

3.求下列各椭圆的长轴长和短轴长,离心率,焦点 坐标,顶点坐标.
x ? 4y ? 16. (1) (2) 9x 2 ? y 2 ? 81. x2 y2 【解析】 (1)已知方程化为标准方程为 + = 1,
2 2

故可得长轴长为8,短轴长为4,离心率为 3 ,
焦点坐标为( ? 2 3 , 0) ,顶点坐标(〒4,0),(0,〒2). 2 2 为18,短轴长为6,离心率为 2
3 2 ,

16

4

2

y x ? ? 1, 故可得长轴长 (2)已知方程化为标准方程为 81 9

焦点坐标为(0, ? 6 2),顶点坐标(0,〒9),(〒3,0).

1.(2014·广东高考)用曲线的图形和方程
x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 来研究椭圆的简单几何性质 2 a b y
B2(0,b)
2 2

一个框,四个点,

注意光滑和圆扁,
莫忘对称要体现.

A1 (-a, 0)


A2 (a, 0)

x

B1(0,-b)

追赶时间的人,生活就会宠爱他;

放弃时间的人,生活就会冷落他.


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