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高中数学 有关圆锥曲线的经典结论


解析几何专题·经典结论·常用技巧

Marine

有关解析几何的经典结论
一、椭 圆 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1 上,则过 P 的椭圆的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 0 2 a b a b 2 2 x y 6. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则切点 0 a b xx y y 弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1 ,F 2 ,点 P 为椭圆上任意一点 a b ? ?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 tan . 2 2 2 x y 8. 椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 ( F1 (?c,0) , F2 (c,0) M ( x0 , y0 ) ).
5. 若 P ( x0 , y0 ) 在椭圆 0 9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1 的 不 平 行 于 对 称 轴 的 弦 , M ( x0 , y0 ) 为 AB 的 中 点 , 则 a 2 b2 b2 kOM ? k AB ? ? 2 , a 2 b x 即 K AB ? ? 2 0 。 a y0

x2 y 2 12. 若 P ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 ? 2 ? 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 0 a b 2 2 x0 x y0 y x0 y ? 2 ? 2 ? 02 . 2 a b a b
13. 若 P ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 0

x2 y 2 ? ? 1 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a 2 b2

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x 2 y 2 x0 x y0 y ? ? 2 ? 2 . a 2 b2 a b
二、双曲线 1. 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2. PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切: P 在左支)

x2 y 2 5. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上,则过 P 的双曲线的切线方程 0 0 a b xx y y 是 02 ? 02 ? 1 . a b x2 y 2 6. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切 0 a b xx y y 线切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意 a b ? 2 一点 ?F PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S ?F1PF2 ? b co t . 1 2 2 2 x y 8. 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 (?c,0) , F2 (c,0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a . 1
当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、 A1、 2 为双曲线实轴上的顶点, Q, A A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 11. AB 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB a 2 b2 b 2 x0 b 2 x0 的中点,则 K OM ? K AB ? 2 ,即 K AB ? 2 。 a y0 a y0

x2 y 2 12. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的 0 a b 2 x0 x y0 y x0 y0 2 方程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a b a b

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13. 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方 a 2 b2 x2 y 2 x x y y 程是 2 ? 2 ? 02 ? 02 . a b a b
椭圆与双曲线的对偶性质--(会推导的经典结论) 椭 圆

x2 y 2 ? ? 1(a>b>o)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴平行的直 a 2 b2 x2 y 2 线交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直 a b b2 x 线交椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? 2 0 (常数). a y0
1. 椭圆

x2 y 2 3. 若 P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, a b

?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则
4. 设椭圆

a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

x2 y 2 ? ? 1(a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上 a 2 b2

任意一点,在△PF1F2 中,记 ?F1PF2 ? ? , ?PF1F2 ? ? , ?F F2 P ? ? ,则有 1

sin? c ? ? e. sin ? ? sin ? a
5. 若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 0 a 2 b2

<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比 例中项.

x2 y 2 6. P 为椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点, a b
则 2a? | AF2 |?| PA | ? | PF |? 2a? | AF | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成 1 1 立. 7. 椭 圆

( x ? x0 )2 ( y ? y0 ) 2 ? ? 1 与 直 线 Ax ? By? C ?0 有 公 共 点 的充 要 条 件是 a2 b2 A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
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8. 已知椭圆

x2 y 2 ? ?1 (a>b>0)O 为坐标原点, Q 为椭圆上两动点, OP ? OQ . , P、 且 a 2 b2 4a 2b2 1 1 1 1 2 2 ? ? 2? 2; (1) (2) |OP| +|OQ| 的最大值为 2 ; (3)S?OPQ | OP |2 | OQ |2 a b a ? b2
的最小值是

a 2b 2 . a 2 ? b2 x2 y 2 9. 过椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 a b | PF | e MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2 x2 y 2 10. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? 线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 a b
记 ?F PF2 ? ? ,则(1) | PF1 || PF2 |? 1 12. 设 A、B 是椭圆

? 2b2 2 .(2) S ?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, a 2 b2 ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有

2a 2 b 2 2ab2 | cos ? | 2 cot ? . (1) | PA |? 2 .(2) tan ? tan ? ? 1 ? e .(3) S?PAB ? 2 b ? a2 a ? c 2co s2 ?
13. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 a>b>0) ( 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F a 2 b2

的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经 过线段 EF 的中点. 14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数

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e(离心率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、 外角平分线与长轴交点分别称为内、 外点.) 17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) ,与 y 轴 a 2 b2 x2 y 2 平行的直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b 2 2 x y 2. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互 a b b2 x0 补的直线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 kBC ? ? 2 (常数). a y0
1. 双曲线 3. 若 P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) (或左) 右 支上除顶点外的任一点,F1, a 2 b2
c?a ? ? ? t a n co t ( 或 c?a 2 2

F

2

是 焦 点 , ?PF1F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? , 则

c?a ? ? ? t a n co t ). c?a 2 2

x2 y 2 4. 设双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点) a b
为 双 曲 线 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ?F1PF2 ? ? ,

?PF1F2 ? ? , ?F1F2 P ? ? ,则有

sin ? c ? ?e. ?(sin ? ? sin ? ) a

5. 若双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L, a 2 b2

则当 1<e≤ 2 ? 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项. 6. P 为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线 a 2 b2

内一定点,则 | AF2 | ?2a ?| PA | ? | PF | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 1
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A, F2 在 y 轴同侧时,等号成立.
x2 y 2 7. 双曲线 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条 a b 2 2 2 2 2 件是 A a ? B b ? C . x2 y 2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(b>a >0) O 为坐标原点, Q 为双曲线上两动点, , P、 a b 且 OP ? OQ .
(1)

4a 2b2 1 1 1 1 2 2 (2) |OP| +|OQ| 的最小值为 2 ; (3)S?OPQ ? ? 2? 2; b ? a2 | OP |2 | OQ |2 a b

a 2b 2 . b2 ? a 2 x2 y 2 9. 过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 a b | PF | e M,N 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 ? . | MN | 2
的最小值是

x2 y 2 10. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的 a b a 2 ? b2 a 2 ? b2 垂直平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) , 则 x0 ? 或 x0 ? ? . a a x2 y 2 11. 设 P 点是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 a b 2b2 为 其 焦 点 记 ?F PF2 ? ? , 则 (1) | PF1 || PF2 |? .(2) 1 1 ? cos ? ? S?PF1F2 ? b 2 cot . 2 x2 y 2 12. 设 A、B 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的 a b 一点, ?PAB ? ? , ?PBA ? ? , ?BPA ? ? ,c、e 分别是双曲线的半焦距

2ab2 | cos ? | 离心率,则有(1) | PA |? 2 . | a ? c 2co s2 ? | 2a 2 b 2 cot ? . (2) tan ? tan ? ? 1 ? e2 .(3) S?PAB ? 2 b ? a2
13. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲 a 2 b2

线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线, 与以长轴为直径的圆相交, 则相应交 点与相应焦点的连线必与切线垂直.
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15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连 线必与焦半径互相垂直. 16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常 数 e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外 点). 17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

其他常用公式:
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦,利用方程的根与系数关系来计算 弦长,常用的弦长公式: AB ? 1 ? k
2

x1 ? x2 ? 1 ?

1 y1 ? y2 k2
(A,B 不同时为 0)的形式。

2、直线的一般式方程:任何直线均可写成 3、知直线横截距 与直线 ,常设其方程为 垂直的直线可表示为

(它不适用于斜率为 0 的直线) 。

4、两平行线 5、若直线 则 6、圆的一般方程: (斜率)且 与直线 (在

间的距离为 平行



轴上截距) (充要条件) ,特别提醒:只有当

时,方程

才表示圆心为

,半径为

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的圆。二元二次方程 条件是 且 且 。

表示圆的充要

7、圆的参数方程: 的参数方程的主要应用是三角换元:

( 为参数),其中圆心为

,半径为 。圆 ;

8、 切线长:过圆 的切线的长为

为直径端点的圆方程 ( ( )外一点 ) 所引圆

9、弦长问题:①圆的弦长的计算:常用弦心距

,弦长一半

及圆的半径 所构成

的直角三角形来解: 共弦)系为 在直线方程.。 ,当

; ②过两圆 时,方程



交点的圆(公 为两圆公共弦所

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