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2014人教A版高中数学必修四 2.4.1 《平面向量数量积的物理背景及其含义》示范教案

2.4 2.4.1 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义 整体设计 教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义 ,因此利用向量运算可以讨论一 些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘 法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、 线、 面)之间 度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系 .众 所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s(如图 1),那么力 F 所做的功 图1 W=|F||s|cosθ 功 W 是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量 F,s 有关.熟悉的数 的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 a·b=|a||b|cosθ . 这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、 分配律等),而且还可以用它 来更加简洁地表述几何中的许多结果. 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、 减法、 数乘运算一样,它也有明显的 物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量. 三维目标 1.通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义.掌握平面向量数量积的重要性 质及运算律. 2.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、 角度和垂直的问题,并掌握向量垂直的条件. 3.通过问题的解决,培养学生观察问题、 分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学生的交 流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力. 重点难点 教学重点:平面向量数量积的定义. 教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向 线段等概念,向量是既有大小、 又有方向的量,它与物理学中的力学、 运动学等有着天然的联 系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是 解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象 ,研究相关物理 问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都 是向量,这些物理现象都可以用向量来研究. 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s,那么力 F 所做的功 W 可由下式计算: W=|F||s|cosθ 其中 θ 是 F 与 s 的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量). 故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念. 思路 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算 ,并且两个向量的和与 差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除 (除数不为零)运算,就自 然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢? 推进新课 新知探究 提出问题 ①a·b 的运算结果是向量还是数量?它的名称是什么? ②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算, 它是否满足实数的乘法运算律? 2 2 2 2 2 ③我们知道,对任意 a,b∈R,恒有(a+b) =a +2ab+b ,(a+b)(a-b)=a -b .对任意向量 a、 b,是否 也有下面类似的结论? 2 2 2 (1)(a+b) =a +2a·b+b ; 2 2 (2)(a+b)·(a-b)=a -b . 活动:已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量|a||b|cosθ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积), 记作 a·b,即 a·b=|a||b|cosθ (0≤θ ≤π ). 其中 θ 是 a 与 b 的夹角,|a|cosθ (|b|cosθ )叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 投影.如图 2 为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是 0°≤θ ≤180°. 图2 在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦 的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a·0=0; (3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替; (4)当 0≤θ < ? ? 时 cosθ >0,从而 a·b>0;当 <θ ≤π 时,cosθ <0,从而 a·b<0.与学生共 2 2 同探究并证明数量积的运算律. 已知 a,b,c 和实数 λ ,则向量的数量积满足下列运算律: ①a·b=b·a(交换律); ②(λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(数乘结合律); ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 特别是:(1)当 a≠0 时,由 a·b=0 不能推出 b 一定是零向量.这是因为任一与 a 垂直的非零向 量 b,都有 a·b=0. 图3 (2)已知实数 a、 b、 c(b≠0),则 ab=bc ? a=c.但对向量的数量积,该推理不正确,即 a·b=b·c 不能推出 a=c.由图 3 很容易看出,虽然 a·b=b·c,但 a≠c. (3)对于实数 a、b、c 有(a·b)c=a(b·c);但对于向量 a、b、c,(a·b)c=a(b·c)不成立.这 是因为(a·b)c 表示一个与 c 共线的向量,而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量,而 c 与 a 不 一定共线,所以(a·b)c=a(b·c)不成立. 讨论结果:①是数量,叫数量积. ②数量积满足 a·b=b·a(交换律); (λ a)·b=λ (a·b)=a·(λ b)(数乘结合律); (a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 2 ③(1)(a+b) =(a+b)·(a+b

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