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2007年高考数学(理科)试卷及答案(宁夏卷)


2007 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 数学(理科) 数学(理科)试卷

本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 II 卷第 22 题为选考题, 其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准 考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑。 参考公式: 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , L , xn 的标准差 锥体体积公式

s=

1 [( x1 x) 2 + ( x2 x)2 + L + ( xn x) 2 ] n

1 V = Sh 3
其中 S 为底面面积、h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

S = 4πR 2 , V =
其中 R 为球的半径

4 3 πR 3

第I卷
小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题 合题目要求的。 合题目要求的。

1.已知命题 p : x ∈ R ,sinx≤1,则( A. p : x ∈ R ,sinx≥1 B. p : x ∈ R ,sinx≥1 C. p : x ∈ R ,sinx>1 D. p : x ∈ R ,sinx>1



2.已知平面向量 a=(1,1) ,b(1,-1) ,则向量 A. (-2,-1) B. (-2,1) C. (-1,0) D. (-1,2) 3.函数 y = sin 2 x

1 3 a b=( 2 2





π π 在区间 ,π 的简图是( 3 2
1



y
π 3

y

1
π



π 2

1

O π 6 A. y

x



π π O 3 2

π 6

π x

1B. y
π

1
π O π 6 2
π 3

x


π 6 π 2

1
π 3

1

O
D. 1

π x

C.

4.已知{an}是等差数列,a10=10,其前 10 项和 S10=70,则其公差 d=(



A. B.

2 3 1 3

C.

1 3 2 3


D.

5. 如果执行右面的程序框图, 那么输出的 S= ( A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

,P ,P 6.已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F,点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) 3(x3,y3)在 抛物线上,且 2x2=x1+x3, 则有( A. FP + FP2 = FP3 1 B. FP + FP2 1
2 2



= FP3

2

C. 2 FP2 = FP + FP3 1
2

D. FP2

= FPFP3 1

7.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 是( )

(a + b) 2 的最小值 cd

A.0 B.1 C.2 D.4 8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是( )

A.

4000 3 cm 3 8000 3 cm 3

B.

C.2000cm3 D.4000cm3

9.若

cos 2α 2 = ,则 cos α + sin α 的值为( π 2 sin α 4
7 2
1 x



A.

B.

1 2

C.

1 2

D.

7 2


10.曲线 y = e 2 在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.

9 2 e 2

B.4e2 C.2e2 D.e2 11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩

环数 频数

7 5

8 5

9 5

10 5

乙的成绩 环数 频数 7 6 8 4 9 4 10 6

丙的成绩 环数 频数 7 4 8 6 ) 9 6 10 4

s 1,s 2,s 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( A.s 3>s 1>s 2 B.s 2>s 1>s3 C.s 1>s 2>s3 D.s 2>s3>s1

12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且 底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。 设四棱锥、 三棱锥、 三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h = ( )

A. 3 :1:1

B. 3 : 2 : 2

C. 3 : 2 : 2

D. 3 : 2 : 3

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答,第 22 题为选考题,考生根据要求做答。

小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 填空题: 13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 。 14.设函数 f ( x ) =

( x + 1)( x + a ) 为奇函数,则 a= x 5 + 10i = 3 + 4i



15.i 是虚数单位,

。 (用 a+bi 的形式表示, a,b ∈ R )

16.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个 种。 (用数字作答) 班,不同的安排方法共有

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 说明 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D。 现测得 ∠BCD = α,∠BDC = β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB。

18. (本小题满分 12 分) , 如图,在三棱锥 S—ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ∠BAC = 90° O 为 BC 中点。

(Ⅰ)证明: SO ⊥ 平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A—SC—B 的余弦值。

19. (本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆

x2 + y 2 = 1 有两 2

个不同的交点 P 和 Q。 (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向

uuu uuur uuu r r 量 OP + OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由。

20. (本小题满分 12 分) 如图,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M,可按下面方法估计 M 的面 积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的 估计值为

m S ,假设正方形 ABCD 的边长为 2,M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机 n

投掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目。

(Ⅰ)求 X 的均值 EX; (Ⅱ) 求用以上方法估计 M 的面积时, 的面积的估计值与实际值之差在区间 M (-0.03, , 0.03)内的概率。 附表: P ( k ) =

∑C
t =0

k

t 10000

× 0.25t × 0.7510000t
2425 0.0423 2574 0.9570 2575 0.9590

K P(k)

2424 0.0403

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) = ln( x + a ) + x 2 (Ⅰ)若当 x=-1 时,f(x)取得极值,求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e 。 2

22.请考生在 A、B、C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图,已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点, AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B、C 两点,圆心 O 在 ∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点。

(Ⅰ)证明 A,P,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求 ∠OAM + ∠APM 的大小。

B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ = 4 cos θ,ρ = 4 sin θ 。 (Ⅰ)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程。

C(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲设函数 f ( x) = 2 x + 1 x 4 。 (Ⅰ)解不等式 f(x)>2; (Ⅱ)求函数 y= f(x)的最小值。

2007 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 数 学(理科) 理科)

参考答案
一、选择题 1.C 2.D 3.A 4.D 5.C 6.C

7.D

8.B

9.C

10.D

11.B

12.B

二、填空题 13. 3 14. 1 15. 1 + 2i 16.240

三、解答题 17.解:在 △BCD 中, ∠CBD = π α β 由正弦定理得

BC CD = sin ∠BDC sin ∠CBD
所以 BC =

CD sin ∠BDC s sin β = sin ∠CBD sin(α + β ) s tan θ sin β sin(α + β )

在 Rt△ ABC 中, AB = BC tan ∠ACB =

18.证明:

(Ⅰ)由题设 AB= AC = SB= SC = SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,所以

OA = OB = OC =

2 SA ,且 AO ⊥ BC ,又 △SBC 为等腰三角形, SO ⊥ BC , 故 2



SO =

2 SA ,从而 OA2 + SO 2 SA2 2

所以 △SOA 为直角三角形, SO ⊥ AO

又 AO I BO = O . 所以 SO ⊥ 平面 ABC (Ⅱ) 解法一: 解法一: 取 SC 中 点 M , 连 结 AM,OM , 由 ( Ⅰ ) 知 SO = OC,SA = AC , 得

OM ⊥ SC,AM ⊥ SC
∴ ∠OMA 为二面角 A SC B 的平面角.
由 AO ⊥ BC,AO ⊥ SO,SO I BC = O 得 AO ⊥ 平面 SBC 所以 AO ⊥ OM ,又 AM =

3 SA , 2

故 sin ∠AMO =

AO 2 6 = = AM 3 3

所以二面角 A SC B 的余弦值为 解法二: 解法二:

3 3

以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐 标系 O xyz . 设 B (1 0, ,则 C ( 1 0,,A(0,0) S (0,1) , 0) , 0) 1 ,, 0,

1 1 SC 的中点 M , , 0, 2 2
z

uuuu 1 r r 1 uuur 1 1 uuu MO = , , = , , = (1 0, 1) 0, MA 1 , SC , 2 2 2 2

S

M

uuuu uuu r r uuur uuu r ∴ MO SC = 0, = 0 MA SC
故 MO ⊥ SC,MA ⊥ SC,< MO, MA > 等 于 二 面 角

O

C A
y

uuuu uuur r

x

B

A SC B 的平面角.

uuuu uuur r uuuu uuur r MO MA 3 MA cos < MO, >= uuuu uuur = , r 3 MOMA
3 3

所以二面角 A SC B 的余弦值为

19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为

y = kx + 2 ,
代入椭圆方程得

x2 + (kx + 2) 2 = 1 2

整理得

1 2 2 + k x + 2 2kx + 1 = 0 2



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于

1 = 8k 2 4 + k 2 = 4 k 2 2 > 0 , 2

解得 k <

2 2 2 2 或k > .即 k 的取值范围为 ∞, , ∞ + U 2 2 2 2

(Ⅱ)设 P ( x1,y1 ),Q ( x2,y2 ) ,则 OP + OQ = ( x1 + x2,y1 + y2 ) ,

uuu uuur r

由方程①, x1 + x2 =

4 2k 1 + 2k 2





y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2 2
uuu r



而 A( 2,,B (0,, = ( 2, 0) 1) AB 1) 所以 OP + OQ 与 AB 共线等价于 x1 + x2 = 2( y1 + y2 ) ,

uuu uuur r

uuu r

将②③代入上式,解得 k =

2 2

由(Ⅰ)知 k <

2 2 或k > ,故没有符合题意的常数 k 2 2

20.解: 每个点落入 M 中的概率均为 p =

1 4

依题意知 X ~ B 10000,



1 4

(Ⅰ) EX = 10000 ×

1 = 2500 4

(Ⅱ)依题意所求概率为 P 0.03 <



X × 4 1 < 0.03 , 10000

X P 0.03 < × 4 1 < 0.03 = P (2425 < X < 2575) 10000
2574

=

t = 2426

∑C ∑

t 10000

× 0.25t × 0.7510000 t

=

2574 t = 2426

t t C10000 × 0.25t × 0.7510000 t ∑ C10000 × 0.25t × 0.7510000 1 t =0

2425

=0.9570-0.0423 =0.9147

21.解: (Ⅰ) f ′( x ) =

1 + 2x , x+a
3 2

依题意有 f ′( 1) = 0 ,故 a =

从而 f ′( x) =

2 x 2 + 3 x + 1 (2 x + 1)( x + 1) = 3 3 x+ x+ 2 2

3 3 f ( x) 的定义域为 , ∞ ,当 < x < 1 时, f ′( x) > 0 ; + 2 2
当 1 < x < 当x>

1 时, f ′( x ) < 0 ; 2

1 时, f ′( x ) > 0 2

从而, f ( x ) 分别在区间 , 1 , , ∞ 单调增加,在区间 1 + ,

3 2

1 2





1 单调减少 2

+ (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 ( a, ∞) , f ′( x ) =

2 x 2 + 2ax + 1 x+a

方程 2 x + 2ax + 1 = 0 的判别式 = 4a 8
2 2

(ⅰ)若 < 0 ,即 2 < a <

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ′( x) > 0 ,故 f ( x) 的极值

(ⅱ)若 = 0 ,则 a 2 或 a = 2

+ 若 a = 2 , x ∈ ( 2, ∞) , f ′( x ) =

( 2 x 1)2 x+ 2

当x=

2 2 2 ′ 时, f ′( x ) = 0 ,当 x ∈ 2, + U 2 , ∞ 时, f ( x) > 0 ,所 2 2

以 f ( x ) 无极值

( 2 x 1)2 若 a = 2 , x ∈ ( 2, ∞) , f ′( x ) = + > 0 , f ( x) 也无极值 x 2
(ⅲ)若 > 0 ,即 a >

2 或 a < 2 , 则 2 x 2 + 2ax + 1 = 0 有 两 个 不 同 的 实 根

a a 2 2 a + a 2 2 x1 = , x2 = 2 2

当 a < 2 时, x1 < a,x2 < a ,从而 f ′( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极值 当a >

2 时, x1 > a , x2 > a , f ′( x) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,由

根值判别方法知 f ( x ) 在 x = x1,x = x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ∞) +

f ( x) 的极值之和为

f ( x1 ) + f ( x2 ) = ln( x1 + a ) + x12 + ln( x2 + a ) + x2 2

1 e = ln + a 2 1 > 1 ln 2 = ln 2 2
P
22. A 解: (Ⅰ)证明:连结 OP,OM 因为 AP 与⊙ O 相切于点 P ,所以

A B

O M C

OP ⊥ AP
因为 M 是⊙ O 的弦 BC 的中点,所以

OM ⊥ BC
于是 ∠OPA + ∠OMA = 180° ,由圆心 O 在 ∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的对 角互补,所以 A P,O,M 四点共圆 , (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A P,O,M 四点共圆,所以 ∠OAM = ∠OPM . , 由(Ⅰ)得 OP ⊥ AP 由圆心 O 在 ∠PAC 的内部,可知 ∠OPM + ∠APM = 90° 所以 ∠OAM + ∠APM = 90°

B 解: 解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长 度单位。

(Ⅰ) x = ρ cos θ , y = ρ sin θ ,由 ρ = 4 cos θ 得 ρ = 4 ρ cos θ
2

所以 x + y = 4 x
2 2

即 x + y 4 x = 0 为⊙ O1 的直角坐标方程。
2 2

同理 x + y + 4 y = 0 为⊙ O2 的直角坐标方程。
2 2
2 2 x + y 4 x = 0, 2 2 x + y + 4 y = 0

(Ⅱ)由

解得

x1 = 0, y1 = 0,

x2 = 2 y2 = 2

即⊙ O1 ,⊙ O2 交于点 (0, 和 (2, 2) 过交点的直线的直角坐标方程为 y = x 0) C 解: (Ⅰ)令 y = 2 x + 1 x 4 ,则

y

1 x≤ , x 5, 2 1 y = 3 x 3, < x < 4, 2 x + 5, x ≥ 4.

y=2 O 1 2

4

x

... 分 ...3

作出函数 y = 2 x + 1 x 4 的图象,它与直线 y = 2 的交点为 (7, 和 , 2) 2

5 3



所以 2 x + 1 x 4 > 2 的解集为 ( ∞, 7) U , ∞ +

5 3



(Ⅱ)由函数 y = 2 x + 1 x 4 的图像可知,当 x = 最小值

1 时, y = 2 x + 1 x 4 取得 2

9 2

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