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河北省衡水中学11-12学年高二数学上学期期末考试 文【会员独享】

2011—2012 学年度高二上学期期末考试高二年级(文科)数学试卷

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上) 1. 如果椭圆 是( ) A. 4 2.函数 y ? A、 B.6 C.14 D.16

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于 6,那么点 P 到另一焦点 F2 的距离 100 36

1 x ? e ? e? x ? 的导数是( ) 2
B、

1 x ?x ?e ? e ? 2

1 x ?x ?e ? e ? 2

C、 e ? e
x

?x

D、 e ? e
x

?x

3.在样本的频率分布直方图中,共有 11 个小长方形,若中间一个小长方形的面积等于其它 10 个小长方形的面积和的 A.32

1 ,且样本容量为 160,则中间一组的频数为( ) 4
C.40 D.0.25

B.0.2

4. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 27 个大小相同的小正方体,若将 这些小正方体均匀地搅混在一起,则任意取出一个正方体其两面涂有油漆 的概率是( A. ) B.

开始
i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

1 12

4 27

C.

8 27


D.

4 9

5.如果执行右下面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.22 B.46 C.94 D.190

s ? 2( s ? 1)
i ? 5?

输出s

6.用系统抽样法从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号, 。 。 。 ,153~160 号) 。若按等间隔抽样,第 16 组应抽出的号码为 126,则第一组中用抽签方



结束

法确定的号码是 ( A. 4

) B. 5 C.6 D. 7
第 5 题图

7.为了测算如图阴影部分的面积,作一个边长为 6 的正方形将其包含在内,并向正方形内随 机投掷 800 个点,已知恰有 200 个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是( ) A.12 B.9 C.8 D.6

8. 已知直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x 3 ? ax ? b 切于点(1,3),则 b 的值为( A.3 B.-3 C.5 D.-5

)

9. 设曲线 y ? x 2 ? 1 上任一点( x , y )处的切线的斜率为 g ( x) ,则函数 y ? g ( x) cos x 的部 分图象可以为( )

第七题图

10.给出下列命题: (1)若函数 f(x)=2x +1,图象上 P(1,3)及邻近上点 Q(1+Δ x,3+Δ y), 则 (2)加速度是动点位移函数 S(t)对时间 t 的导数; (3)
2

?y =4+2Δ x ?x

1 f (a ? 3h) ? f (a ) lim ? f ?(a) 3 h ?0 h
) C.2 个 D.3 个

其中正确的命题有( A. 0 个 B.1 个

2 11.设抛物线 y ? ?8x 的焦点为 F,准线为 l ,P 为抛物线上一点, PA ? l ,A 为垂足,如果

直线 AF 的斜率为 3 ,那么 PF ? ( A. 4 3 B.

) C. 8 D. 16

8 3

12.函数 f ( x) ? sin x ? 2 xf ?( ) , f ?( x) 为 f ( x) 的导函数,令 a ? ?

?

3

1 , b ? log3 2 ,则下 2

列关系正确的是( ) A. f (a) ? f (b) B. f (a) ? f (b) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

C. f (a) ? f (b)

D. f (| a |) ? f (b)

x2 y2 ? ? 1 上的一点,且以 P 及两焦点为顶点的三角形的面积为 2 5 , 13. 已知点 P 是椭圆 9 4
求点 P 的坐标 _______

2 2 14.如果点 M( x , y )在运动过程是总满足关系式 x ? ( y ? 5) ?

x 2 ? ( y ? 5) 2 ? 8 ,则点

M 的轨迹方程为

_______

15.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,利用如下图所示的程序框图计算该数列的第 10 项,则判断框中应填的语句是_____ _____

开始

参加人数
n=1,S=1 n=n+1 S=S+n 是 否 输出 S 结束

60 50 40 30 20 10 1 2 3 活动次数

16.某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动) .该校文学社共 有 100 名学生,他们参加活动的次数统计如上图所示.则该文学社学生参加活动的人均次数 为 ;从文学社中任意选两名学生,他们参加活动次数不同的概率是 .

三、解答题(共 70 分) 。 17.(本题 10 分)随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身 高数据的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2) 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率.

x2 y 2 18. (本题 12 分)椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1,F2,点 P 在椭圆 C 上,且 a b
PF1 ? F1 F2 ,| PF1 |? 4 14 ,| PF2 |? . (1)求椭圆 C 的方程; 3 3
2 2

(2)若直线 l 过圆 x +y +4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称, 求直线 l 的方程.

19. (本题 12 分)设有关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 .
2 2

(1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数, b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数, 求上述方程有实根的概率. (2)若 a 是从区间 [0,3] 任取的一个数, b 是从区间 [0,2] 任取的一个数,求上述方程有实根 的概率.

20.(本题 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? a ln x(a ? R). (1)若曲线 y ? f ( x) 在 x=1 处的切线方程为 3x ? y ? 3 ,求实数 a 的值; (2)若 f ( x ) 的值域为 ?0, ??? ,求 a 的值;

21. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 c 的取值范围

1 4 9 x ? x 3 ? x 2 ? cx 有三个极值点。 4 2

(2)若存在 c ? 5 ,使函数 f ( x) 在区间 [a, a ? 2] 上单调递减,求 a 的取值范围。

22.(本题 12 分) 抛物线的顶点在原点,焦点在射线 x ? y ? 1 ? 0( x ? 0) 上 (1)求抛物线的标准方程; (2)过(1)中抛物线的焦点 F 作动弦 AB,过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 M,求 点 M 的轨迹方程,并求出

FA ? FB FM
2

的值.

2011—2012 学年度高二上学期期末考试答案 (数学文科)

一、选择题 CAADC 8. [答案] A

CBAAC

CA

[解析] 由条件知(1,3)在直线 y=kx+1 上,∴k=2.

又(1,3)在曲线 y=x +ax+b 上,∴a+b=2, ∵y′=3x +a,∴3+a=2,∴a=-1,∴b=3. 9. [解析] g(x)=(x +1)′=2x,∴y=g(x)·cosx=2xcosx,显然 y=2xcosx 为奇函 数,排除 B、D,且在原点右侧附近,函数值大于零.排除 C. 12. f(x)=sinx+2xf′( π ) 3 π ∴f′(x)=cosx+2f′( ) 3
2 2

3

π π π π π 1 ∴f′( )=cos +2f′( ) ∴f′( )=-cos =- 3 3 3 3 3 2 ∴f′(x)=cosx-1≤0,∴f(x)为减函数 1 ∵b=log32>log31=0>- =a ∴f(a)>f(b). 2 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)

y2 x2 ? ? 1( y ? 0) 13.(0,±2) 14. 16 9

15. n ? 10

16. 2.2

6 11

16.解析 由统计图知该文学社学生参加活动的人均次数为
1 1 1 1 1 1 C10 C60 ? C10 C30 ? C30 C60 6 从中任意选两名学生,他们参加活动次数不同的概率是 ? 2 C100 11

1? 10 ? 2 ? 60 ? 3 ? 30 ? 2.2 100

17.(1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160 : 179 之间,而乙班身高集中于 170 : 180 之 间。因此乙班平均身高高于甲班; 或 x ?

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 cm

x2 ?


181 ? 170 ? 173 ? 176 ? 178 ? 179 ? 162 ? 165 ? 168 ? 159 ? 171 .1 cm 所以乙 班 10

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A;…………………………5 分 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件; ;…………………………10 分

? P ? A? ?

4 2 ? 10 5

18.解法一:(Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 6 ,a=3. 在 Rt△PF1F2 中, F1 F2 ?

PF2 ? PF1

2

2

? 2 5 , 故椭圆的半焦距 c= 5 ,

从而 b =a -c =4,所以椭圆 C 的方程为

2

2

2

x2 y2 ? =1. …………………………6 分 9 4
由圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,所以圆心
2 2

(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1) 、 (x2,y2).

M 的坐标为(-2,1).

从而可设直线 l 的方程为
2 2 2

y=k(x+2)+1,
2

代入椭圆 C 的方程得 (4+9k )x +(36k +18k)x+36k +36k-27=0.

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 因为 A,B 关于点 M 对称.所以 2 4 ? 9k 2
方程为 y ? 12 分 解法二:(Ⅰ)同解法一.

解得 k ?

8 ,所以直线 l 的 9

8 ( x ? 2) ? 1, 9

即 8x-9y+25=0.

(经检验,符合题意) …………………………

(Ⅱ)已知圆的方程为(x+2) +(y-1) =5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

2

2

x1 y ? 1 ? 1, 9 4 x2 y ? 2 ? 1, 9 4
①-②得
2 2

2

2





( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. ③ 9 4

因为 A、B 关于点 M 对称,所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2, 代入③得

y1 ? y 2 8 8 = ,即直线 l 的斜率为 , 9 9 x1 ? x2
8 (x+2) ,即 8x-9y+25=0.(经检验,所求直线方程符合题意. 9

所以直线 l 的方程为 y-1=

19.解:设事件 A 为“方程 a ? 2ax ? b ? 0 有实根” .
2 2 2 2 当 a ? 0 , b ? 0 时,方程 x ? 2ax ? b ? 0 有实根的充要条件为 a ≥ b .…………2 分

(Ⅰ)基本事件共 12 个:

(0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 0) (0 1) (0 2) (1 0) (11) (1 2) (2 0) (2 1) (2 2) (3 0) (31) (3 2) .其中第一个数表示 a

的取值,第二个数表示 b 的取值.

事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 构成事件 A 的区域为

P( A) ?

9 3 ? 12 4 .…………6 分

0 ≤ b ≤ 2? ?(a,b) | 0 ≤ a ≤ 3, .

0 ≤ b ≤ 2,a ≥ b? ?(a,b) | 0 ≤ a ≤ 3, .

1 3 ? 2 ? ? 22 2 2 ? ? 3? 2 3 .………………12 分 所以所求的概率为
20.

4分

8分

12 分 21. 解 :( 1 ) 则 函 数 f ( x) ?

1 4 9 x ? x 3 ? x 2 ? cx 有 三 个 极 值 点 。 所 以 4 2

f ?( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? c ? 0 有 三 个 不 等 的 实 根 , 设 g ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? c , 则 g ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)(x ? 1) …………3 分
列表如下: x ( ? ?,?3 ) + 增 -3 0 极大值 27+C ( ? 3,1 ) _ 减 1 0 极小值 C-5 ( 1,?? ) + 增

g ?( x )
g ( x)

?c ? 27 ? 0 解得 ? 27 ? c ? 5 …………8 分 ? ?c ? 5 ? 0
3 2 2 (2)当 c ? 5 时,由 f ?( x) ? x ? 3x ? 9x ? 5 ? 0 即 f ?( x) ? ( x ? 1) ( x ? 5) ? 0 可知

f ( x) 在 (??,?5] 上单调递减,所以 a ? 2 ? ?5 即 a ? ?7 …………12 分

22. (1)射线 x-y+1=0(x≥0)与 y 轴交点(0,1)为抛物线的焦点, ∴抛物线方程为 x =4y. …………4 分 (2)y′= ,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1= ,y2= ,则过抛物线上 A、B 两点的切线 2 4 4
2

x

x2 1

x2 2

x1 1 2 x2 x2 ?x1+x2,x1x2?, 方程分别是 y= x- x1,y= x- ,其交点坐标 M? 4 ? 2 4 2 4 ? 2 ?
设直线 AB 的方程为 y=kx+1, 代入 x =4y 中得,x -4kx-4=0 ∴x1x2=-4,M?
2 2 2

2

?x1+x2,-1?,所以点 M 的轨迹方程为 y=-1…………8 分 ? ? 2 ?
2

x1 ? → ? x2 ? → ? ∵FA=?x1, -1?,FB=?x2, -1? 4 4 ? ? ? ?
→ → ?x1 ??x2 ? ∴FA·FB=x1x2+? -1?? -1? ? 4 ?? 4 ? 1 2 2 =- (x1+x2)-2 4 1 →2 ?x1+x2 ?2 2 -0? +(-1-1)2= (x2 而FM =? 1+x2)+2 4 ? 2 ? → → ∴ =-1. …………………………………………12 分 →2
2 2

FA·FB FM