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中山市华侨中学2013届高三第五次调研考试试题(数学文)


中山市华侨中学 2013 届高三第五次调研考试试题 数 学(文科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答 题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上; 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答 的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知复数 z ? i(1 ? i) ( i 为虚数单位) ,则 z 在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 )

D.第四象限 )

2.集合 M ? ?4,5, ?3m? , N ? ??9,3? ,若 M ? N ? ? ,则实数 m 的值为( A. 3 或 ?1 B. 3 C. 3 或 ?3 D. ?1 )

3.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6, a1 ? 4 则公差 d 等于( A.1 B.

4.已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? ?1, k ? ,若 a // 2a ? b ,则 k 等于( A. ?12 5.集合 ?? | kπ ? B. 12 C. ?

?

?

5 3

C. ?2

D.3

?

?

? ?

?



1 2

D.

1 2


? ?

π π ? ? ? ? kπ ? , k ? Z ? , 中的角所表示的范围(阴影部分)是( 4 2 ?
y y
o

y
o

y
o

x

x

x

o

x

A.

B.

C.

D.

6.如图所示的算法流程图中, 若 f ( x) ? 2x , g( x) ? x2 则 h(3) 的值等于( A.8 ) B.9 C. ?1 D. 1


开始 输入x f(x)>g(x) 否

7.已知两条不同直线 l1 和 l2 及平面 ? , 则直线 l1 // l2 的一个充分 条件是( ) B. l1 ? ? 且 l 2 ? ? D. l1 // ? 且 l2 ? ?

h(x)=f(x)

h(x)=g(x)

A. l1 // ? 且 l 2 // ? C. l1 // ? 且 l 2 ? ?
2

输出h(x) 结束

第 6 题图

8.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆 合,则 p 的值为( A.-2 ) B.2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重 6 2

C.-4

D.4 )

9.已知点 A(1, ?2), B(5,6) 到直线 l : ax ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则实数 a 的值等于( A. ?2 或 1 B. 2 或 1 C. ?2 或 ?1 D. 2 或 ?1

10. 已知函数 f ( x) ? e x ?1, g ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ,若有 f (a) ? g (b) ,则 b 的取值范围为( A. (2 ? 2, 2 ? 2) B. [2 ? 2, 2 ? 2] C. [1,3] D. (1,3)



二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题, 两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 11.甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛得分的茎叶图如图所示,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数 之和是 12.给出命题: ①异面直线是指空间既不平行又不相交的直线; ②两异面直线 a, b ,如果 a 平行于平面 ? ,那么 b 不平行平面 ? ; ③两异面直线 a, b ,如果 a ? 平面 ? ,那么 b 不垂直于平面 ? ; ④两异面直线在同一平面内的射影不可能是两条平行直线 。 上述命题中,真命题的序号是 . 2 第 11 题图 .

2 13.若函数 f ( x ) ? 4 x ? x ? a 的有 3 个零点,则 a ?



14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为 ? sin ? ? 离为 .

7? 2 ) 到这条直线的距 ,则点 A(2, 4 2
C

15. (几何证明选讲选做题) 如图, 从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和
B O

割线 到 AC 的距
A

ABC ,已知 AD ? 2 3 , AC ? 6 ,圆 O 的半径为 3 ,则圆心 O
离为 . 第 15 题图
D

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R) 的图象经过点 ? (1)求 f ( x ) 的解析式,并求函数的最小正周期. (2)若 f (? ?

?? ? ,1? . ?2 ?

?
4

)?

? ? 3 2 且 ? ? (0, ) ,求 f (2? ? ) 的值。 2 4 5

17. (本小题满分 12 分)某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 ξ 依次为 1, 2,…,8 ,产品的等级 系数越大表明产品的质量越好.现从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数 据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

该行业规定产品的等级系数 ξ ? 7 的为一等品,等级系数 5 ? ξ ? 7 的为二等品,等级系数 3 ? ξ ? 5 的为三 等品, ξ ? 3 为不合格品. (1)试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率; (2)从样本的一等品中随机抽取 2 件,求所抽得 2 件产品等级系数都是 8 的概率.
A1 A

18. 本小题满分 14 分) ( 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1
D

中, 侧

棱 AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中点,

B1

B

C1

第 18 题图

C

AA1 ? AB ? 2 .
(1) 求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2) 若 BC ? 3 ,求三棱锥 D ? BC1C 的体积。

19.(本小题满分 14 分)已知动圆过定点 ?1,0 ? ,且与直线 x ? ?1 相切. (1) 求动圆的圆心轨迹 C 的方程; (2) 是否存在直线 l ,使 l 过点 ? 0,1? ,并与轨迹 C 交于 P, Q 两点,且满足 OP ? OQ ? 0 ?若存在,求 出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

uur uuu u r

20.(本小题满分 14 分)已知等差数列 ?an ? 的公差大于 0,且 a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,数列
2

?bn ? 的前 n 项的和为 S n ,且 Sn ? 1 ? bn (n ? N * ) .
2
(1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn ; (3)求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? a x ? (k ? 1)a ? x (a ? 0 且 a ? 1) 是定义域为 R 的奇函数. (1)求 k 值; (2)若 f (1) ? 0 ,试判断函数单调性,并求使不等式 f ( x2 ? tx) ? f (4 ? x) ? 0 恒成立的 t 取值范围; (3)若 f (1) ?

3 2x ?2 x ,且 g ( x) ? a ? a ? 2mf ( x) 在 ?1, ?? ? 上的最小值为 ?2 ,求 m 的值. 2
惠州市 2013 届高三第二次调研考试数学 文科数学答案

一、选择题 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 C 6 B 7 B 8 D 9 C 10 A

1. 【解析】 z ? i(1 ? i ) ? ?1 ? i ,所以 z 对应的点在复平面的第二象限, 故选 B. 2. 【解析】由 M ? N ? ? 可知 ?3m ? ?9 或 ?3m ? 3 ,故选 A.

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2 ? ? ? ? ? 1 4.【解析】 2a ? b ? (5, 2 ? k ) ,由 a ? 2a ? b 得 2(2 ? k) ? 5 ? 0 ,解得 k ? ? ,故选 C 2
3. 【解析】 S3 ? 6 ?

?

?

5.【解析】选 C 分 K=2m,K=2m+1 (m ? z ) 两种情况讨论可得结果. 6.【解析】 f (3) ? 23 ? 8, g(3) ? 32 ? 9, f (3) ? g(3), 故 h(3) ? g (3) ? 9 ,故选 B. 7.【解析】选 B 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 8.【解析】选 D 椭圆的右焦点为 F(2,0)?

p ? 2, 即p ? 4 2

9.【解析】选 C

a ? 2 ?1 a ?1
2

?

5a ? 6 ? 1 a ?1
2

得a 2 ? 3a ? 1 ? 0,? a ? ?1或a ? ?2

10. 解析】 A, 由题可知 f ( x) ? e x ? 1 ? ?1, ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 1 ? 1 , 【 选 若有 f (a) ? g (b), g 则 g (b) ? (?1,1] ,即 ?b2 ? 4b ? 3 ? ?1 ,解得 2 ? 2 ? b ? 2 ? 2 。 二、填空题 11.64 12. ①③ 13. 4 14.

3 2 2

15. 5

11.【解析】由图可知甲得分的中位数为 36,乙得分中位数为 28,故和为 64. 12.【解析】②两条异面直线可以平行于同一个平面; ③若 b ? ? ,则a // b ,这与 a,b 为异面直线矛盾;④ 两条异面直线在同一个面内的射影可以是:两条平行直线、两条相交直线、一点一直线.
2 13.【解析】数形结合作出函数 y ? x ? 4 x 的图像,再作出 y=a 的图像观察即得.

14.【解析】化极坐标方程为直角坐标 y ?

2 及 A ( 2, ? 2 ) ,再数形结合可得. 2

15.【解析】先用切割线定理求出 BC 的长度,然后距离 d ? 三、解答题

1 r 2 ? ( BC )2 ? 5 2

16.解: (1)? 函数 f ( x) ? m sin x ? cos x ( x ? R ) 的图象经过点 ? ,1 ?

?π ?2

? ?

? m sin

?
2

? cos

?
2

? 1 ,? m ? 1 ????????.2 分

? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ) 4

?

????????.3 分 ????????4 分

? 函数的最小正周期 T ? 2?

(2) f (? ?

?
4

) ? 2 sin(? ?
3 5

?

? ? 3 2 ???6 分 ? ) ? 2 sin(? ? ) ? 2 cos ? ? 4 4 2 5
?
2 )

? cos ? ?

又因为 ? ? (0,

? sin ? ? 1 ? cos 2 ? ?

4 ??????????????????????9 分 5

? ? ? 24 2 ???12 分 ? f (2? ? ) ? 2 sin(2? ? ? ) ? 2 sin 2? ? 2 2 sin ? cos ? ? 4 4 4 25
17.解: (1)由样本数据知, 30 件产品中,一等品有 6 件,二等品有 9 件,三等品有 15 件. ∴样本中一等品的频率为 二等品的频率为 ????????3 分

6 ? 0.2 ,故估计该厂生产的产品的一等品率为 0.2 , ??4 分 30

9 ? 0.3 ,故估计该厂产品的二等品率为 0.3 , ????????5 分 30 15 ? 0.5 ,故估计该厂产品的三等品率为 0.5 .?????????6 分 三等品的频率为 30
(2)样本中一等品有 6 件,其中等级系数为 7 的有 3 件,等级系数为 8 的有 3 件,?7 分 记等级系数为 7 的 3 件产品分别为 C1 、 C2 、 C3 ,等级系数为 8 的 3 件产品分别为 P1 、 P 、 P ,则从样本 2 3

)( )( 的一等品中随机抽取 2 件的所有可能为: (C1 ,C2 , C1 ,C3 , C1 , P) (C1 , P2 , C1 , P3 , ) )( 1 , )( (C2 , C3 , C2 , P) (C2 , P2 , C2 , P3 , C3 , P) (C3 , P2 , C3 , P3 , ( P , P2 ),(P , P3 (P2 , P3 , 共 )( )( )( ) 1 ) ) 1 , 1 , 1
15 种, ????10 分

记从“一等品中随机抽取 2 件,2 件等级系数都是 8”为事件 A , 则 A 包含的基本事件有 ( P , P ), ( P , P ),( P , P ) 共 3 种, ???11 分 1 2 1 3 2 3 故所求的概率 P ( A) ?

3 1 ? . 15 5

????????12 分

18. 解:(1)证明: 连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD ,?? 1 分 ∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形,∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点, ∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , ∴ AB1 // 平面 BC1 D . ?? 7 分
D B1

?? 3 分

?? 5 分
A1 A

(2)∵三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,∴侧棱 CC1 ? AA1 ,

B

O

又∵ AA1 ? 底面 ABC ∴侧棱 CC1 ? 面ABC , 故 CC1 为三棱锥 C1 ? BCD 的高, A1 A ? CC1 ? 2 ,?? 10 分

S?BCD ?

1 1?1 ? 3 S?ABC ? ? BC ?AB ? ? ?? 12 分 2 2?2 ? 2

1 1 3 ?VD ? BCC1 ? VC1 ? BCD ? CC1 gS ?BCD ? ? 2 ? ? 1 ?? 14 分 3 3 2 19. 解: (1)如图,设 M 为动圆圆心, F ?1,0 ? ,过点 M 作直线 x ? ?1 的垂线垂足为 N ,
由题意知: MF ? MN ??????2 分

即动点 M 到定点 F 与到定直线 x ? ?1 的距离相等, 由抛物线的定义知,点 M 的轨迹为抛物线,其中 F ?1, 0? 为焦 点, x ? ?1 为准线, ∴动圆圆心的轨迹方程为 y 2 ? 4 x ????5 分
N
A M

x

(2)若直线 l 的斜率不存在,则与抛物线 C 相切,只有一个交点, 意; 若直线 l 的斜率为 0,则与抛物线 C 相交,只有一个交点,不合题 意;??????????????????6 分 故设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 由?

o

F ?1,0 ?

不合题

x ? ?1

(k ? 0)
???8 分

? y ? kx ? 1 ? y ? 4x
2

得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

? ? 16 ? 16k ? 0 , ? k ? 1 且 k ? 0 ???9 分
2 4 y12 y2 1 ? 2 ?11 分 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y 2 ) ,则 y1 y2 ? , x1 x2 ? k 16 k ??? ? ???? ??? ???? ? 由 OP ? OQ ? 0 ,即 OP ? ? x1 , y1 ? , OQ ? ? x2 , y2 ? ,

于是 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,?12 分 即

4 1 1 ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? ? 1 ????13 分 k k 4 1 x ?1即 x ? 4y ? 4 ? 0 4
??????14 分

∴ 直线 l 存在,其方程为 y ? ?
2

20.解: (1)∵ a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,且数列 {an } 的公差 d >0, ∴ a3 =5, a5 =9,公差 d ?

a5 ? a3 ? 2. ∴ an ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1. ???3 分 5?3

又当 n =1 时,有 b1 ? S1 ?

1 ? b1 1 ? b1 ? 3 2

当 n ? 2时, 有bn ? S n ? S n?1 ? ∴数列{ bn }是首项 b1 ? ∴ bn ? b1q
n ?1

b 1 1 (bn?1 ? bn ),? n ? (n ? 2). 2 bn?1 3

1 1 ,公比 q ? 等比数列, 3 3
????6 分 ????8 分

?

1 . 3n

2n ? 1 2n ? 1 , cn ?1 ? n ?1 , n 3 3 2n ? 1 2n ? 1 4(1 ? n) ? ? 0. ∴ cn ?1 ? cn ? n ?1 ? 3 3n 3n ?1
(2)由(1)知 cn ? an bn ? ∴ cn?1 ? cn . (3) cn ? an bn ?

??????????10 分

2n ? 1 ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 3n 1 3 5 2n ? 1 (1) ? Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ........ ? n 3 3 3 3 1 1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ... ? n ? n ?1 (2) ??????12 分 3 3 3 3 3 3 2 1 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 2n ? 1 (1) ? (2) 得: Tn ? ? 2 ? 3 ? ..... ? n ? n?1 ? ? 2( 2 ? 3 ? ..... ? n ) ? n ?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 n ?1 化简得: Tn ? 1 ? n ?????????14 分 3

21.解:(1)∵ f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数, ∴ f (0) ? a0 ? (k ?1)a0 ? 1 ? (k ?1) ? 0 ?? 1 分 ∴ k ? 2 ?? 2 分 (2) f ( x) ? a x ? a ? x (a ? 0且a ? 1)

? f (1) ? 0,? a ?

1 ? 0, 又a ? 0, 且a ? 1,? 0 ? a ? 1 ,??3 分 a

而 y ? a x 在 R 上单调递减, y ? a ? x 在 R 上单调递增, 故判断 f ( x) ? a x ? a? x 在 R 上单调递减,??4 分
2 不等式化为 f ( x ? tx) ? f ( x ? 4) ,? x ? tx ? x ? 4 ,
2

? x2 ? (t ?1) x ? 4 ? 0 恒成立,?? ? (t ?1)2 ?16 ,解得 ?3 ? t ? 5 ??8 分
(3) Q f (1) ?

3 1 3 2 ,? a ? ? ,即 2a ? 3a ? 2 ? 0 , 2 a 2

1 ? a ? 2 或 a ? ? (舍去)??9 分 2

? g ( x) ? 22 x ? 2?2 x ? 2m(2x ? 2? x ) ? (2x ? 2? x )2 ? 2m(2x ? 2? x ) ? 2
令 t ? f ( x) ? 2x ? 2? x , 由(1)可知 f ( x) ? 2x ? 2? x 为增函数, Q x ? 1 ,? t ? f (1) ? 令 h(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m)2 ? 2 ? m2 ( t ? 若m ? 若m ?

3 ??11 分 2

3 )???12 分 2

3 ,当 t ? m 时, h(t )min ? 2 ? m2 ? ?2?m ? 2 ???? 13 分 2 3 3 17 25 3 ? 3m ? ?2 ? m ? ? 舍去 ,当 t ? 时, h(t ) min ? 2 4 12 2 2

综上可知 m ? 2 ?14 分


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