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2012届高考数学理二轮专题总复习课件:专题4第3课时 平面向量与解三角形


专题四 三角函数 专题一 函数与导数 与平面向量

1.高考考点 (1)理解平面向量的概念、性质和运算; (2)掌握向量的平行、垂直、长度、夹角等公式; (3)能应用向量解决一些问题(如三角函数、解三角 形和解析几何等); (4)掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的 问题(如三角形度量、与测量和几何计算有关的实 际问题等). 2.易错易漏 (1)向量和数量的区别(如向量没有除法运算、向量 的数量积不满足乘法的结合律等);

uuu uuu r r BC ( 2 )向量的夹角找错(如向量 AB、 ,的夹角不是∠ABC ) 3.归纳总结

(1) 结合图形分析问题的数形结合思想; ( 2 ) 能将实际问题转化为向量问题或三角函数问题,从
而使问题得到解决的转化与化归思想.

1.(2011 ? 泉州模拟)已知平面向量a = (1, 3), ? b = (4, 2),λ a + b与a垂直,则λ是(    ? ) A. 1 B. 2 C. 2 ? D. 1 ?

【解析】因为λ a + b与a垂直, 所以(λ a + b) ? a = λ a + a ? b = 10λ + 10 = 0,
2

所以λ = ?1.答案:D

2. 在?ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,
若a 2 + c 2 ? b 2 = 3ac,则角B的值为(     )

A.

π π
6

B.

π
3 π

5π C. 或 6 6

2π D. 或 3 3

a 2 + c2 - b2 3 3 【解析】依题意得 = ? cos B = , 2ac 2 2 所以B =

π

6

.

3.(2011 ? 双十模拟)设向量a = (1,x ? 1), b = ( x + 1,3),则“x = 2”是“a //b”的(    ) A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】当x = 2时,a = (1,1),b = ( 3,3), 所以a //b, 所以“x = 2”是“a //b”的充分条件; 若a //b,则1 × 3 ? ( x ? 1)( x + 1) = 0, 所以x = 2或x = ?2,所以“x = 2” 不是“a //b  的必要条件.答案:A

4. 在 ?ABC中, AB = 3, AC = 2, BC = 10, uuu uuu r r 则 AB ? BC = __________ .
uuu uuu uuu uuu r r r r 【解析】因为AB ? BC =| AB | ? | BC | cos(π - B ) uuu uuu r r = - | AB | ? | BC | cos B = -3 × cos B,由余弦定理知 15 2 = 3 + 10 - 2 × 3 × 10 cos B ? 3 × 10 cos B = , 2 uuu uuu r r 15 所以 AB × BC = - . 2
2 2

5. 关于平面向量a、b、c,有下列四个命题: ①若a?b=a?c,则b=c; ②(a?b) ?c=a? (b?c); ③若a=(1,k),b=(-2,6),且a ∥ b,则k=-3; ④若非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的 夹角为30°. 其中真命题的序号是__________.(写出所有真命 题的序号)

【解析】对于①,向量的等式中两边不能同消去 同一个向量,所以①不正确;对于②,因为 [(a×b)×c]∥c,[a×(b×c)]∥a,所以一般地有 (a×b)×c≠a×(b×c),所以②不正确;对于③, 1 k = ,得k=-3,故③正确;对 因为a∥b,所以 ?2 6 于④,根据平行四边形法则及图形知a与a+b的夹 角为30°,所以④正确. 【答案】 ③④

1. 解三角形时,要根据所给条件灵活选择正、余弦定 理,进行边与角的相互转化.如: a = 2RsinA,b = 2RsinB,c = 2RsinC, a b c sinA = ,sinB = ,sinC = 2R 2R 2R b2 + c2 ? a 2 ( R为?ABC的外接圆的半径),cosA = , 2bc c2 + a2 ? b2 a 2 + b2 ? c2 cosB = ,cosC = . 2ac 2ab

2. 在判断三角形形状或解三角形时,一定要注意 三角形是否唯一.“已知两边及其中一边的对角” 时,用正弦定理求解另一边所对的角时,解的情 形为一个或两个都有可能.

3. 用向量的数量积求三角形内角时,应注意通过 向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等 还是互补. 4. 在向量与其他知识(如三角、解析几何)交汇的综 合题中,向量仅作为背景或工具,常利用化归思 想将共线、平行、垂直等问题向向量的坐标运算 方面转化,利用数形结合思想将几何问题代数化. 如设a=(x1 ,y1),b=(x2 ,y2),a⊥b?x1x2+y1y2=0, a∥b?x1y2=x2y1.

题型一 向量与三角函数
【例1】已知A ( 3,0 )、B ( 0,3 )、C (cosα,sinα ). uuu uuu r r (1) 若 AB ? BC = ?1,求sin2α的值; uuu uuur r ( 2 ) 若 | OB + OC |= 13(O为坐标原点), 且α ∈ (0,π ),求α的值.
【分析】把向量问题转化为三角函数问题求解.

uuu r uuu r 【解析】 (1)因为AC = (cos α -3, α ), = (cos α, α -3),所 sin BC sin uuu uuu r r 以AC ? BC = (cos α -3)cosα + sin α (sin α -3) = 1-3(cosα + sin α ). uuur uuu r 2 4 而AC ? BC = -1,所以cosα + sin α = ? 1 + sin 2α = , 3 9 5 所以sin 2α = - . 9 uuu uuu r r uuu uuu r r sin | ( 2)因为OA + OC = (3 + cosα, α ),OA + OC |= 13 1 所以(3 + cosα ) + sin α = 13 ? cos α = . 2
2 2

因为a ∈ (0,π ),所以α = . 3

π

【点评】本题向量以坐标形式出现,可将向量的 数量积及模用坐标运算转化为三角函数的化简、 求值进行计算求解.

题型二 解三角问题
【例2】在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、 b、c,已知bcosC=(2a-c)cosB. (1)求角B的大小; (2)若a、b、c成等比数列,试确定△ABC的形状. 【分析】三角形中的三角函数问题应注意三角 形的内角和定理及正、余弦定理的应用.

【解析】 (1)因为bcosC=(2a-c)cosB , 由正弦定理可得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB, 所以2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C).
1 π 所以2sinAcosB=sinA,从而cosB= ,故B = . 2 3

又因为在△ABC中,sin(B+C)=sinA≠0,

(2) 因为a、b、c成等比数列,所以b2=ac. π 2=a2+c2-2accosB,且B= 又因为b , 所以a2+c2-2ac=0,即(a-c)2=0,所以a=c. 所以△ABC为等边三角形.
3

【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应 用.注意等腰三角形有一内角为 时,此三角形为 等边三角形.

题型三 三角形中的最值
【例3】 1 ? 双十热身)在锐角?ABC中,A,B, (201 C三内角所对的边分别为a,b,c.设 m = (cosA,sinA),n = (cosA, sinA),a = 7, ? 1 且m ? n = ? . 2 (1) 若b = 3,求?ABC的面积;

( 2 ) 求b + c的最大值.

【分析】把向量转化为三角函数再进行求解.

1 1 2 2 【解析】1)由m ? n = ? 得 cos A ? sin A = ? , ( 2 2 1 π 即cos 2 A = ? ,因为0 < A < , < 2 A < π, 0 2 2 π 2π 所以2 A = ,则A = . 3 3 由a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A得c 2 ? 3c + 2 = 0, 所以c = 1或2,因为c = 1时, B < 0, cos 所以c = 1舍去,所以c = 2, 1 1 π 3 3 所以S = b ? c ? sin A = × 3 × 2 × sin = . 2 2 3 2

( 2) a

2

= b + c ? 2bccosA,所以b + c ? bc = 7,
2 2 2 2 2

b+c 2 2 ) + 7,所以( b + c ) ≤ 28, ( b + c ) = 3bc + 7 ≤ 3( 2 b + c ≤ 2 7,当且仅当b = c时取等号, 所以( b + c )max = 2 7.
【点评】注意正弦定理、余弦定理的应用;利用均 值公式求最值.


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