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等比数列的前n项和典型例题含解答


2.5

等比数列的前 n 项和

等比数列前 n 项和公式的基本运算 【例 1】 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求 Sn; 5 (2)a1+a3=10,a4+a6= ,求 S5; 4 (3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求 q.

思路点拨:解答本题可根据条件列方程组,然后再求所要求的量.

?a1?1+q?=30 解:(1)由题意知? , 2 ?a1?1+q+q ?=155 ?a1=180 ? ?a1=5 解得? 或? 5 , q=5 q=- ? ? 6 ?
5 1080×[1-?- ?n] 6 1 n+1 5 从而 Sn= ×5 - 或 Sn= . 4 4 11

?a1+a1q =10 ? (2)法一:由题意知? 3 5 , a1q +a1q5= ? 4 ?
2

?a1=8 ? a1?1-q5? 31 解得? 1 ,从而 S5= 1-q = 2 . ?q=2 ?
法二:由(a1+a3)q3=a4+a6, 1 1 得 q3= ,从而 q= . 8 2 又 a1+a3=a1(1+q2)=10, 所以 a1=8, a1?1-q5? 31 从而 S5= = . 2 1-q

(3)因为 a2an-1=a1an=128, 所以 a1,an 是方程 x2-66x+128=0 的两根. ?a1=2, ?an=2, 从而? 或? ?an=64, ?a1=64. a1-anq 又 Sn= =126, 1-q 1 解得 q=2 或 q= , 2 1 所以 q 为 2 或 . 2

(1)这是一类抓基础的题, 要熟练记住等比数列的通项公式及前 n项和公式, 运用方程的思想,解决两个最基本的量:首项 a1 和公比 q,从而求出通项公式.在等比数列 的求和问题中,经常使用整体代换的思想. (2)在使用等比数列的前 n 项和公式时,要注意公比 q=1 和 q≠1 两种情况的区别.

变式训练 11:数列{an}为等比数列,各项均大于 0,它的前 n 项和为 80,其中数值最大 的项为 54,前 2n 项的和为 6560,试求此数列的首项 a1 和公比 q.
解:∵S2n>2Sn,∴q≠1.

? ? 依题意,得? a ?1-q ? 1-q ?
1

a1?1-qn? =80, 1-q
2n

① ②

?

=6560,

② 得,qn=81,∴q>1,故前 n 项中 an 最大. ① - ∴an=a1·n 1=54, q a1 ∴ ×81=54.③ q 将 qn=81 代入①得 a1=q-1.④ ?a1=2, ③④联立解得? ?q=3.

等比数列前 n 项和性质的应用 【例 2】 已知等比数列{an}中,前 10 项和 S10=10,前 20 项和 S20=30,求 S30.

思路点拨:法一: 设公比为q → 根据条件列方程组 → 解出q → 代入求S30 法二: 根据题意S10,S20-S10,S30-S20成等比数列 → S10=10,S20=30 → S30

解:法一:设公比为 q,则

? ? ?a ?1-q ? 1-q ?
1

a1?1-q10? =10 1-q
20

① ②

?

=30

② 得 1+q10=3,∴q10=2, ① a1?1-q30? ∴S30= 1-q a1?1-q10? = (1+q10+q20) 1-q =10×(1+2+4)=70. 法二:∵S10,S20-S10,S30-S20 仍成等比数列,又 S10=10,S20=30, ?30-10?2 ∴S30-S20=S30-30= , 10 即 S30=70.

等比数列前 n 项和的常用性质 (1)项的个数的“奇偶”性质:等比数列{an}中,公比为 q. S偶 ①若共有 2n 项,则 =q; S奇 ②若共有 2n+1 项, a1+a2n+2 则 S 奇-S 偶= (q≠1 且 q≠-1). 1+q (2)“片断和”性质:等比数列{an}中,公比为 q,前 m 项和为 Sm(Sm≠0),则 Sm,S2m -Sm,S3m-S2m,?,Skm-S(k-1)m,?构成公比为 qm 的等比数列,即等比数列的前 m 项的 和与以后依次 m 项的和构成等比数列.

变式训练 21:等比数列{an}中,若 S2=7,S6=91,求 S4.
解:法一:∵S2=7,S6=91,易知 q≠1,

?a1?1+q?=7, ? 由? 知?a1?1-q6? ?S6=91 ? 1-q =91, ? ?S2=7
a1?1+q??1-q??1+q2+q4? ∴ =91, 1-q ∴q4+q2-12=0, ∴q2=3, a1?1-q4? ∴S4= =a1(1+q)(1+q2) 1-q =7×(1+3)=28. ∴S4=28.

法二:∵{an}为等比数列, ∴S2,S4-S2,S6-S4 也为等比数列, 即 7,S4-7,91-S4 成等比数列, ∴(S4-7)2=7(91-S4).解得 S4=28 或-21. ∵S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2 =(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>S2, ∴S4=28.

错位相减求和问题 - 【例 3】 求数列 1,3a,5a2,7a3,?,(2n-1)an 1 的前 n 项和.
思路点拨:分析通项公式的结构特征,一个因式 2n-1,另一个因式 an 1,联想推导等 比数列前 n 项公式的方法,即错位相减法求和.
解:当 a=1 时,数列变为 1,3,5,7,?,(2n-1) n[1+?2n-1?] 则 Sn= =n2,当 a≠1 时,有 2 - Sn=1+3a+5a2+7a3+?+(2n-1)an 1① aSn=a+3a2+5a3+7a4+?+(2n-1)an② - ①-②得:Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+?+2an 1-(2n-1)an - (1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+a4+?+an 1) - a?1-an 1? =1-(2n-1)an+2· 1-a n n 2?a-a ? =1-(2n-1)a + 1-a


1-?2n-1?an 2?a-an? 又 1-a≠0,∴Sn= + . 1-a ?1-a?2 当 a=1 时,Sn=n2 1-?2n-1?an 2?a-an? 当 a≠1 时,Sn= + 1-a ?1-a?2
(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列且公比为 q,求数列 {an·n}的前 n 项和时,可采用这一思路和方法.要善于识别题目类型,特别是当等比数列部 b 分中公比是负数的情形更值得注意. (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”.以便于下一步准 备写出“Sn-qSn”的表达式. (3)应用等比数列求和公式必须注意公比 q≠1 这一前提条件,如果不能确定公比 q 是否 为 1,应分两种情况讨论,这在以前高考中经常考查.

变式训练 31:求 1+2x2+3x4+?+10x18 的和.
解:当 x=± 时,数列变为 1,2,3,4,?,10, 1 10?1+10? 所以 S10= =55, 2 当 x≠± 时, 1 S10=1+2x2+3x4+?+10x18,① x2S10=x2+2x4+3x6+?+9x18+10x20,② (1-x2)S10=1+x2+x4+?+x18-10x20 =1-10x20+(x2+x4+?+x18) x2?1-x18? 20 =1-10x + 1-x2 1-10x20 x2-x20 又 x2≠± 1,∴S10= + . 1-x2 ?1-x2?2 1-10x20 x2-x20 综上可得,当 x≠± 时,S10= 1 + ,当 x=± 时,S10=55. 1 1-x2 ?1-x2?2

等比数列前 n 项和的实际应用 【例 4】 某同学若将每月省下的零花钱 5 元在月末存入银行,月利按复利计算,月利为 0.2%,每够一年就将一年的本和利改存为年利按复利计算,年利为 6%,问三年取出本利共 多少元(结果保留到个位)?

思路点拨:解答本题可先建立数学模型用数列知识求解后再回归实际问题.
解:为了便于思考一年内每月的存款的本金和利息的和按月分开算. 第一年内的本息和可分为: 第一个月:5(1+0.2%)11,第二个月:5(1+0.2%)10,?, 第十二个月:5. 那么,第一年的本息和为 1.00212-1 11 10 5(1+0.2%) +5(1+0.2%) +?+5=5× . 0.002 于是三年后取出时第一年所存钱的本息和为 1.00212-1 5× (1+6%)2. 0.002

同理第二年所存钱在最后取时本息和为 1.00212-1 5× ×(1+6%). 0.002 1.00212-1 第三年所存钱在年底取出时的本息和为 5× . 0.002 ∵每月存 5 元,月利为 0.2%,年利为 6%, ∴三年后取出的本息和为 1.00212-1 1.00212-1 1.00212-1 1.00212-1 5× (1 + 6%)2 + 5× (1 + 6%) + 5× = 5× 0.002 0.002 0.002 0.002 1.063-1 × ≈193(元). 1.06-1 ∴三年后取出的本利共 193 元.

(1)“零存整取”的计算 “零存整取”是单利计算,属于等差数列求和问题.其本利和为 S=P(1+nr),其中 P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本金与利息和,简称本利和. (2)“定期自动转存”的计算 “定期自动转存”是复利计算,属于等比数列求通项问题,到期后的本利和为 S=P(1 +r)n,其中 P 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,S 代表本利和.注意复利计算是求等比 数列的第 n 项,而不是求和. (3)应用数列知识解决实际问题的步骤 ①根据实际问题提取数据;②建立数据关系,对提取的数据进行分析、归纳,建立数列 的通项公式或递推关系; ③检验关系是否符合实际, 符合实际可以使用, 不符合要修改关系; ④利用合理的结论对实际问题展开讨论.

变式训练 41:从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发 1 展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投入将比上年减少 ,本年度当地 5 旅游业收入估计为 400 万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后旅游业收入每年 1 会比上年增加 . 4 (1)设 n 年内(本年度为第 1 年)总投入 Sn 万元,旅游业总收入为 Tn 万元,写出 Sn、Tn 的 表达式; (2)第几年旅游业的总收入才能首次超过总投入?

1 解:(1)第 1 年投入 800 万元,第 2 年投入 800×(1- )万元,?,第 n 年投入 800×(1 5 1 - 1 1 - - )n 1 万元.所以,n 年内的总投入 Sn=800+800×(1- )+?+800×(1- )n 1=4000×[1 5 5 5 4 -( )n]. 5 1 第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1+ )万元,?,第 n 年旅 4 1 - 1 游业收入为 400×(1+ )n 1 万元. 所以, 年内的总收入 Tn=400+400×(1+ )+?+400×(1 n 4 4 1 - 5 + )n 1=1600×[( )n-1]. 4 4 (2)设至少经过 n 年旅游业的总收入才能超过总投入,因此 Tn-Sn>0,即 5 4 4 5 1600×[( )n-1]-4000×[1-( )n]>0,化简得 5×( )n+2×( )n-7>0, 4 5 5 4 4 2 4 即( )n< ,( )n>7(舍去). 5 5 5 因为 n∈N*,所以 n≥5,可得 n=5. 所以,第 5 年旅游业的总收入才能首次超过总投入.


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