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2013届高三数学理科限时训练题4


2013 届高三数学理科限时训练题(4)
(时间:45 分钟,满分:94 分)

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分 1. 设集合 M ? { x | 0 ? x ? 3} , N ? { x | 0 ? x ? 2} , 那么“ a ? M ”是“ a ? N ”的( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 若关于 x 的不等式 1 ? k A. 2 ? M , 0 ? M

?

2

?x ? k

4

? 4 的解集是 M , 则对任意实常数 k , 总有(
C. 2 ? M , 0 ? M D. 2 ? M , 0 ? M )
5



B. 2 ? M , 0 ? M

3. 若 sin ? , cos ? 是方程 4 x 2 ? 2 m x ? m ? 0 的两根,则 m 的值为( A. 1 ?
5
2

B. 1 ?

5

C. 1 ?

5

D. ? 1 ? )

4. 设 ? ? N ? 2, ?
A.

? ,且 P ? ? ? 4 ? ? 0.84 ,则 P ? ? ? 0 ? ? (
B.

0.16

0.32

C.

0.68

D.

0.84

5. 各项均为正数的等比数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,若 S n ? 2 , S 3 n ? 14 ,则 S 4 n 等于(
A.



16
1? i 1? i

B.

26

C.

30 )

D.

80

6. 设复数 z = A. – 21

+ ( 1 + i ) 2, 则 ( 1 + z )7 展开式的第五项是( B. 35 C. – 21 i D. – 35 i

7. 点 O 在△ABC 内部且满足 OA ? 2 OB ? 2 OC ? O , 则△ABC 面积与凹四边形 ABOC 面积之比是 ( A、0 B、
3 2

)

C、

5 4

D、

4 3
(D) C

8. 正方形 ABCD 中,M 为 AD 的中点,N 为 AB 中点,沿 CM、CN 分别将三角
形 CDM 和△CBN 折起,使 CB 与 CD 重合,设 B 点与 D 点重合于 P,设 T 为 PM 的中点,则异面直线 CT 与 PN 所成的角为( A.300 B.450 C.600 D.900 )

M T

P

A

N

(B )

第 8 题图 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分
(一)必做题(9~13 题)

第 11题 图

9.设 a ? 0, a ? 1 ,函数 f ( x ) ? log a ( x 2 ? 2 x ? 3) 有最小值,则不等式 log a ( x ? 1) ? 0 的解集为

.

10. 如图,函数 f ( x ) 的图象是折线段 ABC ,其中 A, B, C 的坐标分别 为 (0, , , , , ,则 f ( f (0)) ? _________;函数 f ( x ) 在 x ? 1 处 4) (2 0) (6 4) 的导数 f ?(1) ? _________.

y 4 3 2 1 O A C

B 1 2 3 4 5 6

x

11. 甲、乙两人在 10 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下左图,中间一列的数字表示零件个数 的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10 天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 和 . ★

(图 3)

12. 如图 3 所示,在由若干个同样的小平行四边形组成的 大平行四边形内有一个 ★,则含有★的平行四边形有____________个(用数字作答). 13. 在平面直角坐标系 xO y 中,已知 ? ABC 的顶点 A ? ? 4, 0 ? 和 C ? 4, 0 ? ,顶点 B 在椭圆 则
sin A ? sin C sin B ? ____________.

x

2

25

?

y

2

9

? 1 上,

(二)选做题(14 ~15 题,考生只能从中选做一题)

14、 (坐标系与参数方程选做题)以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两种坐标系取 相同的长度单位。设直线的极坐标方程为 ? ? 相交于两点 A 和 B ,则 AB ? ____________. 15、 (几何证明选讲选做题)如图 4 所示, PT 是 ? O 的切线,切点为 T ,直线 P A 与 ? O 交于 A 、 B 两点,
? TPA 的平分线分别交直线 TA 、 TB 于 D 、 E 两点,已知 PT ? 2 , PB ?
T D E P A B

?
4

? ? ? R ? ,它与曲线 ?

? x ? 1 ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 为参数)

3 ,则

TE AD

? ____________.

(图 4)

2

三、解答题:本大题共 2 个小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (本小题满分 12 分) 已知 P 、 Q 是直线 y ? 0 与函数 f ? x ? ? 2 cos 且 PQ ?
2

?x

? ? ? ? cos ? ? x ? ? ? 1 ? ? ? 0 ? 图像的两个相邻交点, 2 3? ?

?
2

.

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)在锐角 ? ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 f ? A ? ? ? 积为 3 3 ,求 a 的值.
3 2

, c ? 3 , ? ABC 的面

17.(本小题满分 12 分)
某班级举行一次知识竞赛活动, 活动分为初赛和决赛两个阶段、现将初赛答卷成绩(得分均为整数,满
分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表:

分数(分数段)

频数(人数) ① 22 14 ③ 50

频率 0.16 ② 0.28 ④ 1

? 60, 70 ? ? 70, 80 ? ? 80, 90 ? ? 90,100 ?
合 计

(Ⅰ)补充完整频率分布表(请把答案直接写在答题卷序号后的空格上) ; (Ⅱ)决赛规则如下:参加决赛的每位同学依 次口答 4 道小题,答对 2 道题就终止答题,并获得一等奖。 如果前三道题都答错,就 不再答第四题。某同学进入决赛,每道题答对的概率 p 恰好等于频率分布 表中不少于 80 分的频率. (1)求该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖的概率 ; (2)记该同学决赛中答题个数为 X ,求 X 的分布列及数 学期望.

3

2011 届高三数学理科限时训练题(4)
参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分) 1 - 4 BABA 5 - 8 CBCD 【分析】 6. z = - i + 2 i = i , ( 1 + i ) 7 展开式中第五项为 C 7 i 4 = 35. 选 B
4

7. 取 BD 的中点 D,由已知 OA = - 2 ( OB + OC ) = - 4 OD , A、O、D 共线且 | OA | = 4 |OD|,
1

SABC : SABOC = SABC : ( SABC - SBOC ) =
2 2

2 1 2
2

| BC || AD | sin ? ADC | BC || AO | sin ? ADC

= 5 / 4, 选 C.

8. 取 AN 的中点 S,则 PN + PT = TS + SN 2 = TN 2∴PN⊥PT,又 PN⊥PC∴PN⊥平面 CMP,选 D. 二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 9. { x | x ? 2} ; 三、解答题: 16.解: (Ⅰ) f ? x ? ? 1 ? cos ? x ? 由 PQ ? (Ⅱ)由 f ? A ? ? ? ∵0 ? A ? ∴2A ?
?
3

10. 2,- 2

11. 24, 23

12. 48

13.

5 4

14.

14

15.

3 2

1 2

cos ? x ?

? ? ? sin ? x ? 1 ? ? 3 sin ? ? x ? ? ------------3 分 2 3? ?
3

?
2

得: T ?

2?

?

? 2?

?
2
3 2

∴ ? ? 2 -------------------------------2 分

3 2

得: sin ? 2 A ? ? ? ? ? ?
? 3?

?
2

∴?
?
3

?
3

? 2A ?

?
3

?

2? 3

------------------------------------1 分

?

,即: A ?
bc sin A ?
2

?
3

--------------------------------------------1 分
? 3 2
2

由 S ? ABC ?
2 2

1 2

3b 2

? 3 3 得: b ? 4 ]-------------------------2 分
2

∴ a ? b ? c ? 2 bc cos A ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 ? 3 ?

1 2

? 13 ,即: a ? 13 -------3 分

17.解: (Ⅰ)① 8、② 0.44、③ 6、④ 0.12-------------------------------------2 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得: p ? 0.4 --------------------------------------------------1 分 (1)记“该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖”为事件 A ,则
P ? A ? ? C 3 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.1728 ------------------------------------3 分
1 2

(2)依题意: X 的可能取值为 2、3、4-------------------------------------1 分
P ? X ? 2 ? ? 0 . 4?
2
1

0 . -----------------------------------------------1 分 16
3

P ? X ? 3 ? ? C 2 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.408 -----------------------------1 分 P ? X ? 4 ? ? C 3 ? 0.4 ? 0.6 ? 0.432 --------------------------------------1 分
1 2

∴ X 的分布列为 4 0.432 P E ( X ) ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.408 ? 4 ? 0.432 ? 3.272 ----------------------------2 分
X

2 0.16

3 0.408

4


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