当前位置:首页 >> 数学 >>

(课堂设计)2014-2015高中数学 1.2.3 空间中的垂直关系(2) 平面与平面垂直学案 新人教B版必修2

1.2.3

空间中的垂直关系(2)——平面与平面垂直
自主学习

学习目标 1.掌握两个平面互相垂直的概念,并能利用判定定理,判定两个平面互相垂直. 2.掌握两个平面垂直的性质定理,并能利用该定理作平面的垂线. 3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系. 自学导引 1. 如果两个相交平面的交线与第三个平面______, 又这两个平面与第三个平面相交所得 的两条交线互相______,就称这两个平面互相垂直. 2.如果一个平面过另一个平面的__________,则两个平面互相垂直. 3. 如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们________的直线垂直于另一个 平面. 对点讲练 知识点一 面面垂直的证明 例1

如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD,E 是 SA 的中点. 求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.

点评 将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键,另外利用面面垂直的定义求二 面角的平面角是 90°(如例 1). 变式训练 1

1

如图所示,在空间四边形 ABCD 中,AB=BC,CD=DA,E、F、G 分别为 CD、DA 和对角线 AC 的中点. 求证:平面 BEF⊥平面 BGD.

知识点二 面面垂直的性质定理的应用 例2

如图所示, P 是四边形 ABCD 所在平面外的一点, ABCD 是∠DAB=60°且边长为 a 的菱形. 侧 面 PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG⊥平面 PAD; (2)求证:AD⊥PB.

2

点评 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,再一种方法是利用面面垂 直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定 理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个 平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.

变式训练 2 如图所示,四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 a 的菱形,∠BCD=120°,平 面 PCD⊥平面 ABCD,PC=a,PD= 2a,E 为 PA 的中点.求证:平面 EDB⊥平面 ABCD.

知识点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例3

如图所示,平面 PAB⊥平面 ABC,平面 PAC⊥平面 ABC,AE⊥平面 PBC,E 为垂足. (1)求证:PA⊥平面 ABC; (2)当 E 为△PBC 的垂心时,求证:△ABC 是直角三角形.

3

点评 证明线面垂直、面面垂直、线线垂直不要局限于一个方面,有时需考虑多种情况 的综合. 在运用面面垂直的性质定理时,若没有与交线垂直的直线,一般需作辅助线,基本作法 是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样就把面面垂直转化为线面垂直,进而转化为线 线垂直. 变式训练 3 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面△ABC 中,AB=BC.能否在侧棱 BB1 上找到一 点 E,使得截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C?若能找到,指出点 E 的位置;若不能找到,说明理由.

1.面面垂直的证法 (1)定义法; (2)判定定理法. 2. 面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理. 至此判定线面垂直的方法主要 有以下五种: (1)线面垂直的定义;(2)线面垂直的判定定理; (3)面面垂直的性质定理; (4)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于同一平面,
? a∥b ? ?

a⊥α ? ?

b⊥α . (5)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面, α ∥β ? ?
? a⊥α ? ?

β .

课时作业 一、选择题 1.平面 α ⊥平面 β ,直线 a∥α ,则( A.a⊥β B.a∥β

)

4

C.a 与 β 相交 D.以上都有可能 2.若平面 α 与平面 β 不垂直,那么平面 α 内能与平面 β 垂直的直线有( ) A.0 条 B.1 条 C.2 条 D.无数条 3. 已知 m、 n 为不重合的直线, α 、 β 、 γ 为不重合的平面, 则下列命题中正确的是( A.m⊥α , β , α ⊥β B.α ⊥γ ,β ⊥γ α ∥β C.α ∥β ,m⊥α ,n∥β D.α ⊥β ,α ∩β =m, β 4.

)

如图所示,ABCD 为正方形,PA⊥平面 ABCD,则在平面 PAB、平面 PAD、平面 PCD、平面 PBC 及平面 ABCD 中,互相垂直的有( ) A.3 对 B.4 对 C.5 对 D.6 对 5.

如图所示,在立体图形 D—ABC 中,若 AB=CB,AD=CD,E 是 AC 的中点,则下列命题中 正确的是( ) A.平面 ABC⊥平面 ABD B.平面 ABD⊥平面 BDC C.平面 ABC⊥平面 BDE,且平面 ADC⊥平面 BDE D.平面 ABC⊥平面 ADC,且平面 ADC⊥平面 BDE 题 答 号 案 1 2 3 4 5

二、填空题 6.已知 m、l 是直线,α 、β 是平面,给出下列命题: ①若 l 垂直于 α 内两条相交直线,则 l⊥α ; α , β ,且 l⊥m,则 α ⊥β ; ③若 β ,且 l⊥α ,则 α ⊥β ; ④若 α , β ,且 α ∥β ,则 l∥m. 其中正确的命题的序号是________. 7.空间四边形 VABC 的各边及对角线均为 1,M 是 VB 的中点,则平面 ACM 与平面 VAB 的 位置关系是________. 8.

5

如图所示,已知,PA 垂直于圆 O 所在平面.AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点.则图中 面面垂直的共有________对. 三、解答题 9.在三棱锥 P—ABC 中,PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC.求证:BC⊥AB.

10.

如图所示, △ABC 为正三角形, EC⊥平面 ABC, BD∥CE, 且 CE=CA=2BD, M 是 EA 的中点. 求 证: (1)DE=DA; (2)平面 BDM⊥平面 ECA; (3)平面 DEA⊥平面 ECA.

【答案解析】 自学导引 1.垂直 垂直 2.一条垂线 3.交线 对点讲练 例 1 证明 连接 AC,设 AC、BD 交点为 F,连接 EF,

6

∴EF 是△SAC 的中位线, ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面 ABCD, ∴EF⊥平面 ABCD. 又 平面 EDB, ∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 变式训练 1 证明 ∵AB=BC,CD=AD,G 是 AC 的中点,∴BG⊥AC,DG⊥AC, ∴AC⊥平面 BGD. 又 EF∥AC,∴EF⊥平面 BGD. 平面 BEF,∴平面 BDG⊥平面 BEF.

例 2 证明 (1)连接 PG,由题意知△PAD 为正三角形,G 是 AD 的中点,∴PG⊥AD. 又平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴PG⊥平面 ABCD, ∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形且∠DAB=60°, ∴△ABD 是正三角形,∴BG⊥AD. 又 AD∩PG=G,∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 BG⊥AD,PG⊥AD. 所以 AD⊥平面 PBG,所以 AD⊥PB. 变式训练 2 证明 设 AC∩BD=O,连接 EO, 则 EO∥PC.

∵PC=CD=a,PD= 2a, 2 2 2 ∴PC +CD =PD , ∴PC⊥CD. ∵平面 PCD⊥平面 ABCD, CD 为交线, ∴PC⊥平面 ABCD, ∴EO⊥平面 ABCD. 又 平面 EDB, ∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 例 3 证明 (1)在平面 ABC 内取一点 D,作 DF⊥AC 于 F. ∵平面 PAC⊥平面 ABC,且交线为 AC,

7

∴DF⊥平面 PAC, 平面 PAC,∴DF⊥AP. 作 DG⊥AB 于 G. 同理可证 DG⊥AP. DG、DF 都在平面 ABC 内,且 DG∩DF=D, ∴PA⊥平面 ABC. (2)连接 BE 并延长交 PC 于 H. ∵E 是△PBC 的垂心,∴PC⊥BE. 又已知 AE 是平面 PBC 的垂线,∴PC⊥AE. ∴PC⊥面 ABE.∴PC⊥AB. 又∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥AB. 又 PC∩PA=P,∴AB⊥平面 PAC. ∴AB⊥AC,即△ABC 是直角三角形. 变式训练 3 解

假设能够找到符合题意的点 E.如图所示, 作 EM⊥A1C 于点 M.因为截面 A1EC⊥侧面 AA1C1C, 所以 EM⊥侧面 AA1C1C.取 AC 的中点 N,连接 MN,BN,因为 AB=BC, 所以 BN⊥AC. 又因为 AA1⊥BN, 所以 BN⊥侧面 AA1C1C,所以 BN∥EM. 因为平面 BEMN∩平面 AA1C1C=MN, BE∥平面 AA1C1C,所以 BE∥MN∥A1A. 因为 AN=NC,所以 A1M=MC. 1 因为四边形 BEMN 为矩形,所以 BE=MN= A1A. 2 所以当 E 为 BB1 的中点时,平面 A1EC⊥侧面 AA1C1C. 课时作业 1.D 2.A [若存在 1 条,则 α ⊥β ,与已知矛盾.] 3.C

4.C [面 PAB⊥面 AC,面 PAB⊥面 PBC, 面 PAD⊥面 AC,面 PAD⊥面 PCD,面 PAB⊥面 PAD.]

8

5.C [∵AB=CB,且 E 是 AC 的中点, ∴BE⊥AC.同理有 DE⊥AC. ∴AC⊥平面 BDE.∵AC 平面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 BDE. 又 平面 ACD,∴平面 ACD⊥平面 BDE.] 6.①③ 7.垂直 8.3 9.

证明 在平面 PAB 内, 作 AD⊥PB 于 D. ∵平面 PAB⊥平面 PBC, 且平面 PAB∩平面 PBC=PB. ∴AD⊥平面 PBC.又 平面 PBC,∴AD⊥BC. 又∵PA⊥平面 ABC, 平面 ABC,∴PA⊥BC,∴BC⊥平面 PAB. 又 平面 PAB,∴BC⊥AB. 10.证明 (1)如图所示,取 EC 的中点 F,

连接 DF. ∵EC⊥BC,DF∥BC, ∴DF⊥EC. 在 Rt△EFD 和 Rt△DBA 中, 1 ∵EF= EC=BD,FD=BC=AB, 2 ∴Rt△EFD≌Rt△DBA,故 ED=DA. (2)取 CA 的中点 N,连接 MN、BN, 则 1 EC. 2

∴MN∥BD,∴N 点在平面 BDM 内. ∵EC⊥平面 ABC,∴EC⊥BN. 又 CA⊥BN,∴BN⊥平面 ECA. ∵BN 在平面 MBD 内,∴平面 MBD⊥平面 ECA. (3)∵BD 1 1 EC,MN EC, 2 2

∴MNBD 为平行四边形. ∴DM∥BN.又 BN⊥平面 ECA,

9

∴DM⊥平面 ECA.又 平面 DEA, ∴平面 DEA⊥平面 ECA.

10


相关文章:
第一章1.2.3空间中的垂直关系1教案教师版
第一章1.2.3空间中的垂直关系1教案教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。...研一研:问题探究、课堂更高效 [问题情境] 生活中处处都有直线和平面垂直的例子...
高中数学1.2.3空间中的垂直关系第一课时教案苏教版...
高中数学1.2.3空间中的垂直关系第一课时教案苏教版必修2_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1.2.3 空间中的垂直关 系(1) 教学目标:1、直线与平面垂直的...
1.2.3空间中的垂直关系(1)
1.2.3空间中的垂直关系(1) - 高一数学——必修 2 学案 1.2.3 空间中的垂直关系(1) 【昨日重现】 A 如图,在正方体 AC1 中,点 E 在 AB1 上,点 F...
高中数学备课教案模板
北京科技大学 邵丽华 《空间中的垂直关系》教学计划 空间中的垂直关系》课题 知识点 已有知识点 知识与技 能 1.2.3 空间中的垂直关系—直线与平面垂直 线线...
《空间中的垂直关系》教案
空间中的垂直关系》教案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。《空间中的垂直关系》教案 教学目标 1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理,并能运用它们...
空间中的垂直关系
空间中的垂直关系_设计/艺术_人文社科_专业资料。...平面与平面垂直 定义: ___...G3 F E G2 1 辅导复习专用学案 5. (04 年湖南卷.理 4 文 5)把...
新人教版(B)高中数学必修2空间中的垂直关系教案
人教版(B)高中数学必修2空间中的垂直关系教案_数学_高中教育_教育专区。...判定定理: 条直线与平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直。 ...
...直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂...
2.3.3 直线与平面垂直的性质》和《2.3.4 平面与平面垂直的性质》教学设计_数学_高中教育_教育专区。《空间中直线、平面的垂直关系》教学设计 、教材内容...
必修2《空间中的垂直关系》学案
人教B数学必修2空间中的垂直关系学案人教B数学必修2空间中的垂直关系学案...并且交角为 2、直线与平面垂直的定义: 图② 如果条直线(AB)和平面( ...
§1.2.3空间中的垂直关系(二)
§1.2.3空间中的垂直关系(二)_数学_高中教育_教育专区。1.2.3 空间中的垂直关系(二)【创设情境】 1.直线与平面垂直的判定定理: 2.直线与平面垂直的性质...
更多相关标签: