当前位置:首页 >> 数学 >>

2017年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科) Word版含答案


2017 年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项符合题目要求. 1.已知 m 为实数,i 为虚数单位,若 m+(m2﹣4)i>0,则 A.i B.1 C.﹣i D.﹣1 ) =( )

2.已知集合 A={x||x﹣2|≤1},且 A∩B=?,则集合 B 可能是( A.{2,5} B.{x|x2≤1} C. (1,2) D. (﹣∞,﹣1)

3.传承传统文化再掀热潮,在刚刚过去的新春假期中,央视科教频道以诗词知 识竞赛为 主的《中国诗词大会》火爆荧屏,如图的茎叶图是两位选手在个人 分,则下列说法正确的是( )

追逐赛中的比赛得

A.甲的平均数大于乙的平均数 B.甲的中位数大于乙的中位数 C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的平均数等于乙的中位数 4.下列说法正确的是( A.若 B.若命题 ,则 a<b ,则?P 为真命题 )

C.已知命题 p,q,“p 为真命题”是“p∧q 为真命题”的充要条件 D.若 f(x)为 R 上的偶函数,则 5.如图,在矩形 ABCD 中,AD= ,AB=3,E、F 分别为 AB 边、CD 边上一点,

且 AE=DF=l,现将矩形 ABCD 沿 EF 折起,使得平面 ADFE⊥平面 BCFE,连接 AB、 CD,则所得三棱柱 ABE﹣DCF 的侧面积比原矩形 ABCD 的面积大约多(取 2.236) ( ) ≈

1

A.68% B.70% C.72% D.75% 6.如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于( )

A.6

B.5

C.4

D.3 的图象可能是( )

7.函数

A.

B.

C



D.

8.抛物线 x2=﹣6by 的准线与双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右支分别

交于 B、C 两点,A 为双曲线的右顶点,O 为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则双 曲线的离心率为( A. B.3 ) C. D.2

2

9.已知平面区域

,夹在两条斜率为

的平行直线之间,且

这两条平行直线间的最短距离为 m.若点 P(x,y)∈Ω,则 z=mx﹣y 的最小值 为( A. ) B.3 C. D.6

10.已知实数 a,b,c,d 满足,b=a﹣2ea,c+d=4,其中 e 是自然对数的底数, 则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值为( A.16 B.18 C.20 D.22 )

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填写在答 题卡给定的横线上.

11.若

,则 f(f(﹣2) )=



12. 23=3+5, 对于大于 1 的自然数 m 的三次可幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: 33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 31,则 m 的值为 .

13.对于函数 f(x) ,如果 f(x)可导,且 f(x)=f'(x)有实数根 x,则称 x 是 函数 f(x)的驻点.若函数 g(x)=x2(x>0) ,h(x)=lnx,φ(x)=sinx(0<x <π)的驻点分别是 x1,x2,x3,则 x1,x2,x3 的大小关系是 (用“<”连接) .

14.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 5 名教师去 3 个边远学校支教,每学校至少 1 人,其中甲和乙必须在同一学校,甲和丙一定在不同学校,则不同的选派方案 共有 种. =3,

15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b2﹣c2+2a=0, 则 a= .

三、解答题:本大题共 6 道小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 16.已知函数 f(x)=4sin(x﹣ )cosx+
3



(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣m 所在[0, ]匀上有两个不同的零点 x1,x2,求

实数 m 的取值范围,并计算 tan(x1+x2)的值. 17.如图,正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,四边形 OAEF 为矩形, 平面 OAEF⊥平面 ABCD,AB=AE. (Ⅰ)求证:平面 DEF⊥平面 BDF; (Ⅱ)若点 H 在线段 BF 上,且 BF=3HF,求直线 CH 与平面 DEF 所成角的正弦值.

18.甲、乙两人轮流射击,每人每次射击一次,先射中者获胜,射击进行到有人 获胜或每人都已射击 3 次时结束.设甲每次射击命中的概率为 ,乙每次射击命 中的概率为 ,且每次射击互不影响,约定由甲先射击. (Ⅰ)求甲获胜的概率; (Ⅱ)求射击结束时甲的射击次数 X 的分布列和数学期望 EX. 19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)定义 x=[x]+<x>,其中[x]为实数 x 的整数部分,<x>为 x 的小数部分, 且 0≤<x><1,记 cn=< >,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. .

20.如图,椭圆 C:

的离心率为

,以椭圆 C 的上顶点 T

为圆心作圆 T:x2+(y﹣1)2=r2(r>0) ,圆 T 与椭圆 C 在第一象限交于点 A,在 第二象限交于点 B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 的最小值,并求出此时圆 T 的方程;

4

(Ⅲ)设点 P 是椭圆 C 上异于 A,B 的一点,且直线 PA,PB 分别与 Y 轴交于点 M,N,O 为坐标原点,求证:|OM|?|ON|为定值.

21.已知函数 (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性;



(Ⅱ)若对于? x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2,存在正实数 x0,使得 f(x2)﹣f (x1)=f'(x0) (x2﹣x1) ,试判断 明. 与 f'(x0)的大小关系,并给出证

2017 年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解+析

一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一个选项符合题目要求. 1.已知 m 为实数,i 为虚数单位,若 m+(m2﹣4)i>0,则 A.i B.1 C.﹣i D.﹣1 =( )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由 m+(m2﹣4)i>0,得 ,求解得到 m 的值,然后代入 ,

再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【解答】解:∵m+(m2﹣4)i>0, ∴ ,解得:m=2.

5



=



故选:A.

2.已知集合 A={x||x﹣2|≤1},且 A∩B=?,则集合 B 可能是( A.{2,5} B.{x|x2≤1} 【考点】交集及其运算. 【分析】根据交集的运算即可求出. 【解答】解:∵集合 A={x||x﹣2|≤1}=[1,3],由 A∩B=?, 则 B? (﹣∞,1)∪(3,+∞) , 故选:D C. (1,2) D. (﹣∞,﹣1)



3.传承传统文化再掀热潮,在刚刚过去的新春假期中,央视科教频道以诗词知 识竞赛为 主的《中国诗词大会》火爆荧屏,如图的茎叶图是两位选手在个人 分,则下列说法正确的是( )

追逐赛中的比赛得

A.甲的平均数大于乙的平均数 B.甲的中位数大于乙的中位数 C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的平均数等于乙的中位数 【考点】茎叶图. 【分析】由茎叶图,分别求出甲、乙的平均数、中位数和方差,由此能求出结果. 【解答】解:由茎叶图,知: = (59+45+32+38+24+26+11+12+14)=29, = (51+43+30+34+20+25+27+28+12)=30, S2 甲= 235.3, S2 乙=
2 2 2 2 2 [212+132+02+42+ (﹣10) + (﹣5) + (﹣3) + (﹣2) + (﹣18) ]≈120.9,

[302+162+32+92+(﹣5)2+(﹣3)2+(﹣18)2+(﹣17)2+(﹣15)2]≈

6

甲的中位数为:26,乙的中位数为:28, ∴甲的方差大于乙的方差. 故选:C.

4.下列说法正确的是( A.若 B.若命题 ,则 a<b



,则?P 为真命题

C.已知命题 p,q,“p 为真命题”是“p∧q 为真命题”的充要条件 D.若 f(x)为 R 上的偶函数,则 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】A,a>0>b 时 B,判定命题 成立; 的真、假命题即可;

C,已知命题 p,q,“p 为真命题”是“p∧q 为真命题”的必要条件; D,若 f(x)为 R 上的偶函数,则其图象关于 y 轴对称,由定积分的几何意义可 判定; 【解答】解:对于 A,a>0>b 时 对于 B,利用导数可判定命题 真命题,故正确; 对于 C,已知命题 p,q,“p 为真命题”是“p∧q 为真命题”的必要条件,故错; 对于 D,若 f(x)为 R 上的偶函数,则其图象关于 y 轴对称,故 一定成立,故错; 故选:B. 不 成立,故错; 为假命题,则?P 为

5.如图,在矩形 ABCD 中,AD=

,AB=3,E、F 分别为 AB 边、CD 边上一点,

且 AE=DF=l,现将矩形 ABCD 沿 EF 折起,使得平面 ADFE⊥平面 BCFE,连接 AB、 CD,则所得三棱柱 ABE﹣DCF 的侧面积比原矩形 ABCD 的面积大约多(取 2.236) ( )
7



A.68% B.70% C.72% D.75% 【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】根据题意求出三棱柱 ABE﹣DCF 的侧面积增加的部分与原来矩形 ABCD 的面积之比可得答案. 【解答】解:将矩形 ABCD 沿 EF 折起,使得平面 ADFE⊥平面 BCFE,可得三棱柱 ABE﹣DCF, (如图) 侧面积增加的部分为 ABCD, ∵EB⊥BC,△ABE 是直角三角形, ∴AB⊥BC. 同理可证 ABCD 是矩形. ∵AE=DF=1.AB=3,AD= ∴BE=2 ∴AB= 故得侧面积增加的部分为 侧面积比原矩形 ABCD 的面积大约多出 故选 D. . % ,

6.如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于(



8

A.6

B.5

C.4

D.3

【考点】程序框图. 【分析】 根据已知的程序框图可得,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变 量 n 的值,模拟程序的运行过程,可得答案. 【解答】解:第一次执行循环体后,S=1,a= ,满足继续循环的条件,n=2; 第二次执行循环体后,S= ,a= ,满足继续循环的条件,n=3; 第三次执行循环体后,S= 故输出的 n 值为 3, 故选:D. ,a= ,不满足继续循环的条件,

7.函数

的图象可能是(



A.

B.

C



D.

【考点】函数的图象. 【分析】 利用函数的对称性排除选项, 然后利用函数的零点判断函数的图象即可.
9

【解答】解:函数 1 单位得到的, f(x)=

的图象,可以看作 f(x)=

向左平移

是奇函数,排除 A,D; 没有零点,

当 x>0 时,函数 所以排除 B, 故选:C.

8.抛物线 x2=﹣6by 的准线与双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右支分别

交于 B、C 两点,A 为双曲线的右顶点,O 为坐标原点,若∠AOC=∠BOC,则双 曲线的离心率为( A. B.3 ) C. D.2

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先求出点 C 的坐标,再得到∠AOC=∠BOC=60°,根据斜率公式得到 = ,再根据离心率公式计算即可.

【解答】解:抛物的准线为 y= b, ∴点 B(﹣ a, b) ,C( a, b) ,

∵∠AOC=∠BOC=60°, ∴kOC= ∴ = , =tan60°= ,

∴e= 故选:C

=

=



10

9.已知平面区域

,夹在两条斜率为

的平行直线之间,且

这两条平行直线间的最短距离为 m.若点 P(x,y)∈Ω,则 z=mx﹣y 的最小值 为( A. ) B.3 C. D.6

【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,结合题意求出 m,利用目标函数的几何意义, 求解即可. 【解答】解:由约束条件作出可行域如图, ∵平面区域 Ω 夹在两条斜率为﹣ 的平行直线之间, 且两条平行直线间的最短距 离为 m, 则 m= 令 z=mx﹣y= = . x﹣z,

x﹣y,则 y=

由图可知,当直线 y= 小值为: 故选:A. = .

x﹣z 过 B(2,3)时,直线在 y 轴上的截距最大,z 有最

10.已知实数 a,b,c,d 满足,b=a﹣2ea,c+d=4,其中 e 是自然对数的底数, 则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值为( A.16 B.18 C.20 D.22 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】 所求表达式的最值, 看作已知直线上的点与函数的图象上的点的距离的 )

11

平方,求出函数的导数,利用导数值与已知直线斜率相等,转化为平行线之间的 距离的最值的平方即可. 【解答】解: (a﹣c)2+(b﹣d)2 看作直线上的点(c,d)与函数的图象的点(a, b)的距离的平方, 转化为平行线之间的距离的平方. d=4﹣c 的斜率是﹣1, 由 b=a﹣2ea,可得 b′=1﹣2ea=﹣1,解得 a=0.当 a=0 时,b=﹣2, d=4﹣c 看作直线 y=4﹣x, 过切点(0,﹣2)的直线且与直线 y=4﹣x 平行的切线方程为 y=﹣x﹣2. 由平行线的距离公式可得 d= =3 , )2=18.

则(a﹣c)2+(b﹣d)2 的最小值为(3 故选:B.

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确答案填写在答 题卡给定的横线上.

11.若 【考点】函数的值.

,则 f(f(﹣2) )=

9



【分析】先求出 f(﹣2)=3﹣2= ,从而 f(f(﹣2) )=f( ) ,由此能求出函数 值.

【解答】解:∵



∴f(﹣2)=3﹣2= , ∴f(f(﹣2) )=f( )= =9. 故答案为:9.

12

12. 23=3+5, 对于大于 1 的自然数 m 的三次可幂可用奇数进行以下方式的“分裂”: 33=7+9+11,43=13+15+17+19,…,仿此,若 m3 的“分裂数”中有一个是 31,则 m 的值为 6 .

【考点】归纳推理. 【分析】由前几个得出规律并类比即可得出答案. 【解答】解:∵23=3+5,是从 3 开始的 2 个奇数的和; 33=7+9+11,是从 5 的下一个奇数 7 开始的 3 个奇数的和; …; 而 31 之前除了 1 以外的奇数有 15 个,又 2+3+4+5=14, ∴63=31+33+35+37+39+41. 故 m 的值应为 6. 故答案为 6.

13.对于函数 f(x) ,如果 f(x)可导,且 f(x)=f'(x)有实数根 x,则称 x 是 函数 f(x)的驻点.若函数 g(x)=x2(x>0) ,h(x)=lnx,φ(x)=sinx(0<x x3, x2,x3 的大小关系是 <π) 的驻点分别是 x1,x2, 则 x1, 连接) . 【考点】函数与方程的综合运用. 【分析】利用驻点的定义,分别求出 3 个函数的驻点的范围,即可判断大小. 【解答】解:由题意对于函数 f(x) ,如果 f(x)可导,且 f(x)=f'(x)有实数 根 x,则称 x 是函数 f(x)的驻点.可知:函数 g(x)=x2(x>0) ,可得 2x=x2, 解得 x1=2, x3<x2<x1 (用“<”

h(x)=lnx,可得 =lnx,如图:

x2∈(1,2) ,

13

φ(x)=sinx(0<x<π) ,可得 cosx=sinx,解得 x3= 所以 x3<x2<x1. 故答案为:x3<x2<x1.

<1,

14.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共 5 名教师去 3 个边远学校支教,每学校至少 1 人,其中甲和乙必须在同一学校,甲和丙一定在不同学校,则不同的选派方案 共有 30 种.

【考点】排列、组合的实际应用. 【分析】甲和乙同地,甲和丙不同地,所以有 2、2、1 和 3、1、1 两种分配方案, 再根据计数原理计算结果. 【解答】解:因为甲和乙同地,甲和丙不同地,所以有 2、2、1 和 3、1、1 两种 分配方案, ①2、2、1 方案:甲、乙为一组,从余下 3 人选出 2 人组成一组,然后排列,共 有:C32A33=18 种; 1、 1 方案: C21A33=12 ②3、 在丁、 戊中选出 1 人, 与甲乙组成一组, 然后排列, 共有: 种; 所以,选派方案共有 18+12=30 种. 故答案为 30.

15.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,b2﹣c2+2a=0, 则 a= 4 .

=3,

【考点】余弦定理. 【分析】由已知及余弦定理整理可得 cosC= ,由 =3,利用三角函数恒等

变换的应用可得:sinCcosB=3cosCsinB,从而可求 sinA=4sinBcosC,由正弦定理可 得 cosC= ,联立即可解得 a 的值.

【解答】解:∵由已知可得:c2=b2+2a, 2a=a2﹣2abcosC,整理可得:cosC= ∴由余弦定理 c2=b2+a2﹣2abcosC,可得: ①
14





=3,可得:

,可得:sinCcosB=3cosCsinB,

∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=4sinBcosC, ∴由正弦定理可得:a=4bcosC,即 cosC= ∴由①②可得: 故答案为:4. = ,解得:a=4. ,②

三、解答题:本大题共 6 道小题,共 75 分.解答须写出文字说明、证明过程或 演算步骤. 16.已知函数 f(x)=4sin(x﹣ )cosx+ .

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若函数 g(x)=f(x)﹣m 所在[0, ]匀上有两个不同的零点 x1,x2,求

实数 m 的取值范围,并计算 tan(x1+x2)的值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (1)利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin(ωx+φ) 的形式,再利用周期公式求函数的最小正周期,最后将内层函数看作整体,放到 正弦函数的增区间上,解不等式得函数的单调递增区间; (2)函数 g(x)=f(x)﹣m 所在[0, ]匀上有两个不同的零点 x1,x2,转化

为函数 f(x)与函数 y=m 有两个交点;可求 m 的范围,结合三角函数的图象可 知,x1,x2,关于对称轴是对称的,可知 x1+x2,即可求 tan(x1+x2)的值. 【解答】解:函数 f(x)=4sin(x﹣ 化简可得:f(x)=2sinxcosx﹣2 =sin2x﹣ =sin2x﹣ ( + cos2x)+ cos2x ) , 时单调递增,
15

)cosx+



cos2x+

=2sin(2x﹣

(1)函数的最小正周期 T= 由 2x﹣

解得:

≤x≤ , ],k∈Z. ]匀上有两个不同的零点 x1′,x2′,转化

∴函数的单调递增区间为[:

(2)函数 g(x)=f(x)﹣m 所在[0, 为函数 f(x)与函数 y=m 有两个交点 令 u=2x﹣ ∴u∈[ ,∵x∈[0, , ] ],

可得 f(x)=sinu 的图象(如图) . 从图可知:m 在[ x1′,x2′. 故得实数 m 的取值范围是 m∈[ ,2) , ,2) ,函数 f(x)与函数 y=m 有两个交点,其横坐标分别为

由题意可知 x1′,x2′是关于对称轴是对称的: 那么函数在[0, ∴x1′+x2′= ]的对称轴 x=

那么:tan(x1′+x2′)=tan

=tan(

)=

=



17.如图,正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,四边形 OAEF 为矩形, 平面 OAEF⊥平面 ABCD,AB=AE. (Ⅰ)求证:平面 DEF⊥平面 BDF; (Ⅱ)若点 H 在线段 BF 上,且 BF=3HF,求直线 CH 与平面 DEF 所成角的正弦值.
16

【考点】直线与平面所成的角;平面与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)证明 EF⊥平面 BDF,即可证明平面 DEF⊥平面 BDF; (Ⅱ)建立如图所示的坐标系,求出平面 DEF 的法向量,即可求出直线 CH 与平 面 DEF 所成角的正弦值. 【解答】 (Ⅰ)证明:∵ABCD 为正方形,∴AO⊥BD, ∵四边形 OAEF 为矩形,∴AO⊥FO,EF∥AO, ∴EF⊥BD,EF⊥FO, ∵BD∩FO=O, ∴EF⊥平面 BDF, ∵EF? 平面 DEF, ∴平面 DEF⊥平面 BDF; (Ⅱ)解:∵平面 OAEF⊥平面 ABCD,平面 OAEF∩平面 ABCD=OA,FO⊥AO, ∴FO⊥平面 ABCD, ∴FO⊥AO,FO⊥BO. 建立如图所示的坐标系,设 AB=AE=2,则 O(0,0,0) ,B(0, ,0,0) ,D(0,﹣ ∴ =( , ,2) , = + ,0) ,E( =(0, =( , ,0,2) ,F(0,0,2) , =(0,﹣ ,2) , ,0) ,C(﹣

,2) ,

∵BH=3HF,∴

, ) , ,取 =(0,﹣ ,1) ,

设平面 DEF 的法向量为 =(x,y,z) ,则

∴直线 CH 与平面 DEF 所成角的正弦值=



17

18.甲、乙两人轮流射击,每人每次射击一次,先射中者获胜,射击进行到有人 获胜或每人都已射击 3 次时结束.设甲每次射击命中的概率为 ,乙每次射击命 中的概率为 ,且每次射击互不影响,约定由甲先射击. (Ⅰ)求甲获胜的概率; (Ⅱ)求射击结束时甲的射击次数 X 的分布列和数学期望 EX. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (I)记甲第 i 次射击中获胜的概率为 Ai(i=1,2,3) ,则 A1,A2,A3 彼 此互斥,甲获胜的概率为 A1+A2+A3.P(A1)= ,利用相互独立事件的概率计算 公式可得 P(A2) ,P(A3) .可得 P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) . (II)X 所有可能取值为 1,2,3.利用互相独立与互斥事件的概率计算公式可得 P(X=k) . 【解答】解: (I)记甲第 i 次射击中获胜的概率为 Ai(i=1,2,3) , 则 A1,A2,A3 彼此互斥,甲获胜的概率为 A1+A2+A3. P(A1)= ,P(A2)= = ,P(A3)= + = . = .

∴P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)= + (II)X 所有可能取值为 1,2,3.P(X=1)= + P(X=3)= X 1 = . = .X 的分布列为: 2

= ,P(X=2)=

3

18

P ∴E(X)1× +2× +3× = .

19.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;



(Ⅱ)定义 x=[x]+<x>,其中[x]为实数 x 的整数部分,<x>为 x 的小数部分, 且 0≤<x><1,记 cn=< 【考点】数列的求和. 【分析】 (Ⅰ)由已知数列递推式可得,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1,整理可得 an﹣1, 则数列{an}的通项公式可求; (Ⅱ)由(Ⅰ)可得 Sn,代入 cn=< 前 n 项和 Tn. 【解答】解: (Ⅰ)∵ 当 n≥2 时, 整理得:an﹣1=2n﹣1, ∴an=2n+1; (Ⅱ)由(Ⅰ)知, ∴ = , . , , >,利用裂项相消法求得数列{cn}的 >,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.

∴当 n=1 时,c1=<4+1>=0, 当 n≥2 时,有 0< ∴ ∴Tn=c1+c2+…+cn =0+ <1. (n≥2) .

19

= 验证 n=1 成立, ∴ .

=



20.如图,椭圆 C:

的离心率为

,以椭圆 C 的上顶点 T

为圆心作圆 T:x2+(y﹣1)2=r2(r>0) ,圆 T 与椭圆 C 在第一象限交于点 A,在 第二象限交于点 B. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 的最小值,并求出此时圆 T 的方程;

(Ⅲ)设点 P 是椭圆 C 上异于 A,B 的一点,且直线 PA,PB 分别与 Y 轴交于点 M,N,O 为坐标原点,求证:|OM|?|ON|为定值.

【考点】直线与椭圆的位置关系;椭圆的标准方程. 【分析】 (Ⅰ)求出 b 的值,根据 e= ,从而求出椭圆的方程即可; (Ⅱ)设出 A(x1,y1) ,B(﹣x1,y1) ,求出 性质求出其最小值,从而求出 A 的坐标即可; (Ⅲ)设 p(x0,y0) ,则 PA 的方程为 y﹣y0= 的值,从而证出|OM|?|ON|为定值. 【解答】解: (Ⅰ)由椭圆得:b=1,e= = ∴a2﹣c2=1, = ,得 a2=4,c2=3,b2=1, , (x﹣x0) ,分别求出 yM 和 yN ? 的表达式,根据二次函数的

20

故椭圆 C 的方程为

+y2=1;

(Ⅱ)∵点 A 与点 B 关于 y 轴对称, 设 A(x1,y1) ,B(﹣x1,y1) , 由点 A 在椭圆 C 上,则 ∵T(0,1) ,得 ∴ ? =﹣ + =4﹣4 , =(﹣x1,y1﹣1) , ﹣2y1+1=5 ﹣ ,

=(x1,y1﹣1) , =4 ﹣4+

由题意得,0<y1<1, ∴当 y1= 时, 此时, 故 A( =4﹣ , ) , , ? 取得最小值﹣ ,x1= , ,

又点 A 在圆 T 上,带入圆的方程,得 r2= 故圆 T 的方程是 x2+(y﹣1)2= ;

(Ⅲ)设 p(x0,y0) ,则 PA 的方程为 y﹣y0=

(x﹣x0) ,

令 x=0,得 yM=y0﹣

=



同理可得,yN=



故 yM?yN=

①,

∵p(x0,y0) ,A(x1,y1)都在椭圆 C 上, ∴ =1﹣ , =1﹣ ,

21

带入①得,yM?yN=

=1,

即得|OM|?|ON|=|yM?yN|=1 为定值.

21.已知函数 (Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调性;



(Ⅱ)若对于? x1,x2∈(0,+∞) ,且 x1<x2,存在正实数 x0,使得 f(x2)﹣f (x1)=f'(x0) (x2﹣x1) ,试判断 明. 【考点】利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最小值问题中的应用. 【分析】 (Ⅰ)求出函数 f(x)的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区 间即可; 与 f'(x0)的大小关系,并给出证

(Ⅱ)作差得到 f′(x0)﹣f′

=

[ln



],令

=t,得

到 ln



=lnt﹣

, (t>1) ,令 g(t)=lnt﹣

, (t>1) ,

根据函数的单调性判断即可. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)的定义域(0,+∞) , f′(x)= ﹣ax+(2﹣a)=﹣ ,

①若 a≤0,则 f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)递增, ②若 a>0,则由 f′(x)>0,解得:0<x< , 由 f′(x)<0,解得:x> , 故 f(x)在(0, )递增,在( ,+∞)递减;

22

证明: (Ⅱ)f(x2)﹣f(x1)=2(lnx2﹣lnx1)﹣ a(x2+x1) (x2﹣x1)+(2﹣a) (x2﹣x1) , 由题意得 f′(x0)= ﹣ a(x2+x1)+(2﹣a) ,

又 f′

=

﹣a?

+(2﹣a) ,

∴f′(x0)﹣f′

=

[(lnx2﹣lnx1)﹣

]=

[ln



],



=t,则 ln



=lnt﹣

, (t>1) ,

令 g(t)=lnt﹣

, (t>1) ,则 g′(t)=

>0,

g(t)在(1,+∞)递增, g(t)>g(1)=0,而 x1<x2,



[ln



]>0



<f'(x0) .

2017 年 3 月 11 日

23


相关文章:
山东省临沂市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析.doc
山东省临沂市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。2017 年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本题共 10 小题,每...
2017年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科) Word版含答案.doc
2017年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2017 年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本题共 10 小题,每...
山东省临沂市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含答案.doc
山东省临沂市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2017 年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本题共 10 小题,每...
山东省临沂市2018-2019学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析_....doc
山东省临沂市2018-2019学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。山东省临沂市 2018-2019 学年高考数学一模试卷(理科)(解 析版) 最新...
...2017年山东省临沂市高考数学三模试卷及解析答案word....doc
[精品]2017年山东省临沂市高考数学三模试卷及解析答案word版(理科) - 2017 年山东省临沂市高考数学模试卷(理科) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 ...
...2017年山东省临沂市高考数学二模试卷及解析答案word....doc
[精品]2017年山东省临沂市高考数学二模试卷及解析答案word版(理科) - 2017 年山东省临沂市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分...
...2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解....doc
山东省临沂市2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析 - 山东省临沂市 2017-2018 学年高三上学期期末数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10...
...2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析....doc
山东省19所联考2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载 山东省19所联考2017-2018学年高考数学...
山东省临沂市2018届高考数学一模试卷(理科)Word版含解析.doc
山东省临沂市2018届高考数学一模试卷(理科)Word版含解析 - 山东省临沂市 2018 届高考一模试卷 (理科数学) 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,共 ...
...2017学年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析.doc
山东省潍坊市2016-2017年高考数学一模试卷(理科)Word版含解析 - 山东省潍坊市 2016-2017年高考一模试卷 (理科数学) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小...
2017年山东省临沂市高考数学二模试卷与解析word(理科).doc
2017年山东省临沂市高考数学二模试卷与解析word(理科) - 2017 年山东省临沂市高考数学二模试卷(理科) 一、选择题:本题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,...
...市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解....doc
山东省莱芜市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。2017-2018 学年山东省莱芜市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大...
...市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解....doc
山东省青岛市2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。2017-2018 学年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大...
山东省临沂市2018届高考数学一模试卷(理科)(B卷)Word版....doc
山东省临沂市2018届高考数学一模试卷(理科)(B卷)Word版含解析 - 山东省临沂市 2018 届高考一模试卷(B 卷) (理科数学) 一、选择题:本大题共 10 小题.每小...
山东省聊城市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析.doc
山东省聊城市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析_高考_高中教育_教育专区。2017 年山东省聊城市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题 1.已知复数 z 满足(...
2017年山东烟台市高三数学一模试卷(理科)(word版含答案).doc
2017年山东烟台市高三数学一模试卷(理科)(word版含答案) - 2017 年山东省烟台市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50...
...年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案_图....doc
山东省临沂市2017-2018学年高三上学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案 - 2017-2018 学年高三教学质量检测考试 理科数学试卷分为选择题和非选择题两部分,...
广东省茂名市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析.doc
广东省茂名市2017年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析 - 数学、高中数学、数学课件、数学教案、数学试题试卷数学数学考试、奥数、集合、有理数、函数、不...
广东省茂名市2017年高考数学一模试卷(理科)-Word版含解析.doc
2017 年广东省茂名市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:
山东省临沂市2018届高考数学模拟试卷(理科)Word版含解析.doc
山东省临沂市2018届高考数学模拟试卷(理科)Word版含解析 - 山东省临沂市 2018 届高考模拟试卷 (理科数学) 一、选择题:(本题共 10 个小题,每小题 5 分,共...
更多相关标签: