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空间中的垂直关系习题

空间中的垂直关系习题
知识结构
1.直线与平面垂直的定义:如果 就说直线 l 与平面 ? 互相垂直,记作 的 。 2.直线与平面垂直的判定定理: 文字语言: 图形语言: 。直线 l 叫做平面 ? 的 , ,平面 ? 叫做直线 l

. 符号语言:

3.直线与平面垂直的性质定理: 图形语言:

。 符号语言:

4.两个平面互相垂直的定义: 5.两个平面互相垂直的判定: 图形语言:

。 。 符号语言:

6.两个平面互相垂直的性质定理: 图形语言:

。 符号语言:

一、 选择题:
1、下列命题中,不正确的是( ) A. 一条直线垂直于平面内无数条直线,则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2、关于直线 m 、 n 与平面 ? 、 ? ,有下列四个命题:
1

① m // ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m // n ; ③ m ? ? , n // ? 且 ? // ? ,则 m ? n ; 其中真命题的序号是( A. ①、② ) B. ③、④

② m ? ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n ; ④ m // ? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m // n .

C. ①、④

D. ②、③

3、设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面.考查下列命题,其中正确的命题是( ) A. m ? ? , n ? ? , m ? n ? ? ? ? C. ? ? ? , m ? ? , n // ? ? m ? n B. ? // ? , m ? ? , n // ? ? m ? n D. ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? m ? n ? ?

4、若 m n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( ) , A.若 m ? ?,? ? ? ,则 m ? ? C.若 m ? ? , m ∥ ? ,则 ? ? ? B.若 ? ? ? ? m , ? ? ? ? n , m ∥ n ,则 ? ∥ ? D.若 ? ? ? , ? ⊥ ? ,则 ? ? ? )

5、若三条直线 OA、OB、OC 两两垂直,则直 OA 垂直于( A 平面 OAB B 平面 OAC C 平面 OBC

D 平面 ABC )

6、设 ? 、 ?、? 为不同的平面,l、m 为两条不同的直线,则下列条件中不能推出 ? ⊥ ? 的是( A C l⊥m,l⊥ ? ,m⊥ ? B D l⊥m,l ? ? ,m ? ? l∥ ,l⊥ ? ,m ? ? m

? ⊥? , ? ∥?

7、在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,若 PA⊥平面 ABCD,则在此四棱锥的五个面中互相垂直 的平面共有( A 3对 ) B 4对 C 5对 D 6对

8、已知直线 m、n 与平面?、?,给出下列三个命题:? ①若 m∥?,n∥?,则 m∥n; ②若 m∥?,n⊥?,则 n⊥m; ③若 m⊥?,m∥?,则?⊥?. 其中真命题的个数是 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3

9、设 ? 、 ? 为两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,且 l ? ? ,m ? ? ,有如下的两个命题:①若

? ∥ ? ,则 l∥m;②若 l⊥m,则 ? ⊥ ? .那么 (
A ①是真命题,②是假命题 C ①②都是真命题

)

B ①是假命题,②是真命题 D ①②都是假命题 )

10、在正四面体 P-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( ...
2

A C

BC//平面 PDF 平面 PDF⊥平面 ABC

B D

DF⊥平面 PAE 平面 PAE⊥平面 ABC ) C. l 与 m 相交 D. l 与 m 不相交

11、若直线 l⊥平面 ? ,m ? ? ,则( A. l⊥m

B. l 可能与 m 平行

12、已知平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,点 P∈ l ,则给出下面四个结论: ①过 P 和 l 垂直的直线在平面 ? 内; ③过 P 和 l 垂直的直线必与 ? 垂直; ②过 P 和平面 ? 垂直的直线在平面 ? 内; ④过 P 和平面 ? 垂直的平面必与 l 垂直。

其中真命题是: ( ) A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③ 13、给出以下四个命题 ①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行; ②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行; ④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是 A.4 B.3 C.2 D.1 14、在长方体的六个面中,与其中一个面垂直的面共有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 4 个

15、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 A1C1 的中点,则直线 CE 垂直于( ) A. AC B. BD C. A1D D. A1A 16.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( A.平行 B.垂直 C.相交不垂直 D.不确定 17.直线 a 与 b 垂直,b⊥平面 ? ,则 a 与平面 ? 的位置关系是 ( ) A.a∥ ? B.a⊥ ? C.a ? ? D.a ? ? 或 a∥ ? 18.已知 m , n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A . m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ? ? // ? C. m ? ? , m ? n ? n // ? B. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n D. m // n, n ? ? ? m ? ?





19.已知两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m // n, m ? ? ? n ? ? ③ m // n, m // ? ? n // ? 其中正确命题的序号是( A.①③ B.②④ ) C.①④ B、a⊥b,b∥?
3

② ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n ④ ? // ? , m // n, m ? ? ? n ? ?

D.②③ ) C、?⊥?,a∥? D、a∥b,b⊥?

20、已知 a,b,c 是直线,?,?是平面,下列条件中,能得出直线 a⊥平面?的是( A、a⊥c,a⊥b,其中 b??,c??

22、如果直线 l⊥平面?,①若直线 m⊥l,则 m∥?;②若 m⊥?,则 m∥l;③若 m∥?,则 m⊥l;④若 m∥l,

则 m⊥?,上述判断正确的是 A、①②③ B、②③④ ) C、①③④ 23、下列命题中正确的是(



) D、②④

A、过平面外一点作这个平面的垂面有且只有一个 B、过直线外一点作这条直线的平行平面有且只有一个 C、过直线外一点作这条直线的垂线有且只有一条 D、过平面外的一条斜线作这个平面的垂面有且只有一个 24、下列命题正确的是( ) A、一条直线与一个平面平行,它就和这个平面内的任意一条直线平行 B、平行于同一个平面的两条直线平行 C、与两个相交平面的交线平行的直线,必平行于这两个平面 D、平面外的两条平行直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线也与此平面平行 25、下列命题正确的是 (A) ( )

a // b ? a ? ?? ? ? b // ? (B) b ? ? ? ? b // a a ? ?? ?

(C)

a?b? a // ? ? ? ? b // ? (D) a ? b? ? b // ? a ? ?? ?

26、如图 2.3.1-2,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,G 是 EF 的中点,现在沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个空间图形,使 B、C、D 三点重合,重合后的点记为 H,那么,在这个空间图 形中必有[ ] A、AH⊥△EFH 所在平面 B、AD⊥△EFH 所在平面 C、HF⊥△AEF 所在平面 D、HD⊥△AEF 所在平面 27、“直线 l 垂直于平面?内的无数条直线”是“ l ⊥?”的 A、充分条件 B、必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 28、如果一条直线 l 与平面?的一条垂线垂直,那么直线 l 与平面?的位置关系是 ( A、 l ?? B、 l ⊥? C、 l ∥? D、 l ??或 l ∥? 29、若两直线 a⊥b,且 a⊥平面?,则 b 与?的位置关系是 A、相交 B、b∥? C、b?? D、b∥?,或 b?? ( ) ) ( )

30、a∥ ? ,则 a 平行于 ? 内的( ) A、一条确定的直线 C、所有直线 B、任意一条直线 D、无数多条平行线 ( )

31、如果直线 a∥平面 ? ,那么直线 a 与平面 ? 内的
4

A、一条直线不相交 C、无数条直线不相交

B、两条直线不相交 D、任意一条直线都不相交

32、若直线 l 上有两点 P、Q 到平面 ? 的距离相等,则直线 l 与平面 ? 的位置关系是( ) A、平行 C、平行或相交 B、相交 D、平行、相交或在平面 ? 内

二、填空题
33 、 两 个 平 面 互 相 垂 直 , 一 条 直 线 与 其 中 一 个 平 面 平 行 , 则 这 条 直 线 与 另 一 个 平 面 的 位 置 关 系 是 。 34、设直线 l 和平面 ?、? ,且 l ? ? , l ? ? ,给出如下三个论证:① l ? ? ;② ? ?

? ;③ l // ?

从中任取两个作条件,余下一个作为结论,在构成的诸命题中,写出你认为正确的一个命题 是 。 35、已知平面 ? , ? 和直线,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? . (i)当满足条件 时,有 m // ? ; (ii)当满足条件 时,有 m ? ? .

36、已知直线 AO⊥平面 ? 于 O,直线 OB⊥AO,则 OB 与平面 ? 的关系是 。 37、下面四个命题: ①三个平面两两互相垂直,则它们的交线也两两互相垂直; ②三条共点的直线两两互相垂直,分别由每两条直线所确定的平面也两两互相垂直; ③分别与两条互相垂直的直线垂直的平面互相垂直; ④分别经过两条互相垂直的直线的两个平面互相垂直。 其中正确命题的序号是 。 38、过直线外一点作直线的垂线有 有 个. 条;垂面有 个;平行线有 条;平行平面有 个. 39、过平面外一点作该平面的垂线有 条;垂面有 个;平行线有 条;平行平面

40、过一点可作________个平面与已知平面垂直. 41、过平面 α 的一条斜线可作_________个平面与平面 α 垂直. 42、过平面 α 的一条平行线可作_________个平面与平面 α 垂直.

三、解答题
43、如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD.证明:侧面 PAB⊥侧面 PBC;

P

A B C

D

5

44.在矩形 ABCD 中,已知 AB= 2 ,BC=2,E 为 BC 中点,把⊿ABE 和⊿CDE 分别沿 AE、DE 折起,使点 B 与点 C 重合于点 P。 求证:平面 PDE⊥平面 APD;

45.设 P 是△ABC 所在平面外一点,P 和 A、B、C 的距离相等,∠BAC 为直角. 求证:平面 PCB⊥平面 ABC.
P

B

C

A

46、已知:空间四边形 ABCD , AB ? AC , DB ? DC ,求证: BC ? AD

A

B E C

D

47.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面 ABCD,且 PA= AD=AB,M、N 分别为 PC、PB 的中点.求证:PB⊥DM;

48.四棱锥 S-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC⊥底面 ABCD。已知∠ABC=45°,AB =2,BC= 2 2 ,SA=SB= 3 。证明:SA⊥BC;

6

49.如图所示,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M、N 分别是 AB、PC 的中点,PA=AD=a. (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:平面 PMC⊥平面 PCD.

50.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥BC,PA=AB,D 为 PB 的中点,求证:AD⊥PC.

P D A B
51..如图,已知PA ? 矩形 ABCD 所在平面,M、N 分别是 AB、PC 的中点,求证:MN ? CD;

C

P

N A B M C D

7

CB 52.如图,已知 ? ? ? ? l , CA ? ? , 于点 A, ? ? 于点 B,a ? ? , a ? AB, 求证: .

a // l

β B

C

α l A a
? α ,AB⊥l, BC ? β ,DE ? β ,BC⊥DE.

53.如图,α ⊥β ,α ∩β =l,AB 求证:AC⊥DE.

AA B C

l

?

D

E

54.如图,已知 PA⊥平面 ABC,平面 PAB⊥平面 PBC,求证: BC⊥平面 PAB

P

A

C

B

8


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