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2013高考试题分类汇编(理科):圆锥曲线

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 9:圆锥曲线 一、选择题 错误!未指定书签。 .引直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 相交于 A,B 两点,O 为坐标原点,当 ? AOB 的面积取最 大值时,直线 l 的斜率等于( A. ) C. ?

3 3

B. ?

3 3

3 3

D. ? 3

错误!未指定书签。 .双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的顶点到其渐近线的距离等于( 4
C.



A.

2 5

B.

4 5

2 5 5

D.

4 5 5
3 ,在双曲线 C 的方 2

错误!未指定书签。 .已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F ?3,0? ,离心率等于 程是( A. ) B.

x2 y 2 ? ?1 4 5

x2 y 2 ? ?1 4 5

C.

x2 y 2 ? ?1 2 5

D.

x2 y 2 ? ?1 2 5

错误!未指定书签。 .已知双曲线 C : ( )

x2 y 2 5 ? 2 ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为 2 a b 2
1 x 2

A. y ? ?

1 x 4

B. y ? ?

1 x 3

C. y ? ?

D. y ? ? x

错误! 未指定书签。 . 已知 0 ? ? ? 的 A.实轴长相等

?
4

,则双曲线 C1 :

x2 y2 y2 x2 ? 2 ? 1 与 C2 : 2 ? 2 ?1 cos2 ? sin ? sin ? sin ? tan 2 ?
( ) D.离心率相等

B.虚轴长相等
2

C.焦距相等
2 2

错误!未指定书签。 .抛物线 y ? 4 x 的焦点到双曲线 x ?

y ? 1的渐近线的距离是( 3
D. 3



A.

1 2

B.

3 2

C. 1

错误! 未指定书签。 . 如图, F1 , F2 是椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 与双曲线 C2 的公共焦点, A, B 分别是 C1 , C2 在 4


第二、四象限的公共点.若四边形 AF BF2 为矩形,则 C2 的离心率是( 1

y A F1 O B F2 x

A. 2

B. 3

C.

3 2

D.

6 2

错误!未指定书签。 .已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线 a 2 b2


分别交于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p =( 3 A.1 B. C.2 D.3 2 错误!未指定书签。 .椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1, A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 的斜率 4 3


的取值范围是 ??2, ?1? ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是( A. ? , ? 2 4

?1 3? ? ?

B. ? , ? 8 4

?3 3? ? ?

C. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

D. ? , 1?

?3 ? ?4 ?

错误! 未指定书签。 已知抛物线 C : y 2 ? 8 x 与点 M ? ?2,2? ,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A, B . 两点,若 MAgMB ? 0 ,则 k ? (

uuu uuu r r



A.

1 2

B.

2 2

C. 2

D. 2

错误!未指定书签。 .若双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为( a 2 b2
C. y ? ?



A.y=±2x

B.y= ? 2x

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2

错误!未指定书签。 .已知抛物线 交

C1 :

y?

1 2 x2 x ? y2 ? 1 2 p ( p ? 0) 的焦点与双曲线 C2 : 3 的右焦点的连线


C1 于第一象限的点 M .若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p ? (
3 B. 8 2 3 C. 3 4 3 D. 3

3 A. 16

错误!未指定书签。 .已知椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) ,过点 F 的直线交椭圆于 a 2 b2


A, B 两点.若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为(

A.

x2 y 2 ? ?1 45 36

B.

x2 y 2 ? ?1 36 27

C.

x2 y 2 ? ?1 27 18

D.

x2 y 2 ? ?1 18 9

错误!未指定书签。 .设抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直 径的圆过点 (0,2) ,则 C 的方程为( A. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 8 x C. y 2 ? 4 x 或 y 2 ? 16 x ) B. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 8 x D. y 2 ? 2 x 或 y 2 ? 16 x

B 错误!未指定书签。 .已 知 A、 为平面内两定点,过该平面内动点 M 作直线 AB 的垂线,垂足为 N .若

uuu 2 r uuu uur r u MN ? ? AN ? NB ,其中 ? 为常数,则动点 M 的轨迹不可能是(
A.圆 B.椭圆
2



C.抛物线
2

D.双曲线
2 2

错误!未指定书签。 .已知圆 C1 : ? x ? 2 ? ? ? y ? 3 ? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 9 , M , N 分别是圆

C1 , C2 上的动点, P 为 x 轴上的动点,则 PM ? PN 的最小值为(
A. 5 2 ? 4 二、填空题 错误!未指定书签。 .双曲线 B. 17 ? 1 C. 6 ? 2 2



D. 17

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_____________. 16 9 x2 y 2 ? ? 1 相交于 A, B 两点, 3 3

错误!未指定书签。 .抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F,其准线与双曲线 若 ?ABF 为等边三角形,则 P ? _____________ 错误!未指定书签。 .设 F1 , F2 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两 个焦点,P 是 C 上一点,若 a 2 b2

PF 1 ? PF2 ? 6a, 且 ?PF1F2 的最小内角为 30? ,则 C 的离心率为___.
错误!未指定书签。 .设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 焦点之间的距离为________
2 错误! 未指定书签。 已知直线 y ? a 交抛物线 y ? x 于 A, B 两点.若该抛物线上存在点 C ,使得 ?ABC 为 .

?
4

,若 AB=4, BC ? 2 ,则 ? 的两个

直角,则 a 的取值范围为_______.

错误!未指定书签。 .抛物线 y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与 边界).若点 P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是__________.

错误!未指定书签。 .在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,右焦点 a 2 b2

为 F ,右准线为 l ,短轴的一个端点为 B ,设原点到直线 BF 的距离为 d1 , F 到 l 的距离为 d 2 ,若

d2 ? 6d1 ,则椭圆 C 的离心率为_______.
错误!未指定书签。 .椭圆 ? :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左.右焦点分别为 F1 , F2 ,焦距为 2c,若直线 a 2 b2

y ? 3( x ? c) 与椭圆 ? 的一个交点 M 满足 ?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 ,则该椭圆的离心率等于__________
错误!未指定书签。 .双曲线

x2 y 2 5 ? ? 1 的离心率为 , 则 m 等于___9_____. 4 16 m

错误!未指定书签。 .已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F , C 与过原点的直线相交于 A, B 两 a 2 b2
4 ,则 C 的离心率 e= ______. 5

点,连接 AF , BF ,若 AB ? 10, AF ? 6, cos ? ABF ?
2

错误!未指定书签。 .抛物线 y ? 8x 的准线方程是_______________ 错误!未指定书签。 .在平面直角坐标系 xOy 中,设定点 A( a, a ) , P 是函数 y ?

1 ( x ? 0 )图象上一动点, x

若点 P,A 之间的最短距离为 2 2 ,则满足条件的实数 a 的所有值为_______. 错误!未指定书签。 .设 F 为抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点,过点 P(?1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于两点 A, B , 点 Q 为线段 AB 的中点,若 | FQ |? 2 ,则直线的斜率等于________. 三、解答题 错误!未指定书签。 .已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (?1 0) 、 F2 (1 0) ,短轴的两个端点分别为 B1、 2 , , B (1)若 ?F B1B2 为等边三角形,求椭圆 C 的方程; 1

Q (2)若椭圆 C 的短轴长为 2 ,过点 F2 的直线 l 与椭圆 C 相交于 P、 两点,且 F P ? FQ ,求直线 l 的方 1 1
程.

????

????

错误! 未指定书签。 已知椭圆 C : . 经过点 P ( , ) . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率;

x2 y 2 ? ? 1, (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且椭圆 C a 2 b2

4 1 3 3

(Ⅱ)设过点 A(0, 2) 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、 N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

错误!未指定书签。 .椭圆 C :

x2 y 2 3 ,过 F 且 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 1 2 a b 2

垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1 , PF2 ,设 ?F PF2 的角平分线 PM 交 C 的长 1 轴于点 M (m, 0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过 P 点作斜率为 k 的直线 l ,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,设直线

PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明

1 1 ? 为定值,并求出这个定值. kk1 kk2

x2 ? y 2 ? 1 ,曲线 C2 :| y |?| x | ?1,P 是平面上一点,若存在过点 P 错误!未指定书签。 .如图,已知曲线 C1 : 2
的直线与 C1 , C2 都有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线 的方程(不要求验证); (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点”;

(3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“C1—C2 型点”. 2

y l1 D O P A l2 B x

错误!未指定书签。 .过抛物线 E : x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 作斜 率分别为 k1 , k2 的两条不同的直线 l1 , l2 , 且 k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D.以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共 弦所在的直线记为 l . (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM gFN ? 2P ;
2

uuu uuu r r

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为

7 5 ,求抛物线 E 的方程. 5

错误!未指定书签。 .如图,点 P(0,?1) 是椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点, C1 的长轴是圆 a 2 b2

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 的直径. l1 ,l2 是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于两点, l 2 交椭圆 C1 于另一
点D

(1)求椭圆 C1 的方程;

(2)求 ?ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程.


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