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高中数学必修2圆的方程练习题


第四章
一、选择题

圆与方程
).

1. C1 : x2+y2+2x+8y-8=0 与圆 C2 : x2+y2-4x+4y-2=0 的位置关系是( 圆 A.相交 B.外切 C.内切 D.相离 ).

2.两圆 x2+y2-4x+2y+1=0 与 x2+y2+4x-4y-1=0 的公共切线有( A.1 条 B.2 条 C.3 条

D.4 条 ).

3.若圆 C 与圆(x+2)2+(y-1)2=1 关于原点对称,则圆 C 的方程是( A.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x-1)2+(y+2)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1 D.(x+1)2+(y-2)2=1

4.与直线 l : y=2x+3 平行,且与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相切的直线方程是( A.x-y± 5 =0 C.2x-y- 5 =0 B.2x-y+ 5 =0 D.2x-y± 5 =0 ). D.4 2

).

5.直线 x-y+4=0 被圆 x2+y2+4x-4y+6=0 截得的弦长等于( A. 2 B.2 C.2 2

6.一圆过圆 x2+y2-2x=0 与直线 x+2y-3=0 的交点,且圆心在 y 轴上,则这个圆的 方程是( ). B.x2+y2+4x-6=0 D.x2+y2+4y+6=0

A.x2+y2+4y-6=0 C.x2+y2-2y=0

7. x2+y2-4x-4y-10=0 上的点到直线 x+y-14=0 的最大距离与最小距离的差是 圆 ( ). A.30 B.18 C.6 2 D.5 2 ).

8.两圆(x-a)2+(y-b)2=r2 和(x-b)2+(y-a)2=r2 相切,则( A.(a-b)2=r2 C.(a+b)2=r2 B.(a-b)2=2r2 D.(a+b)2=2r2

9.若直线 3x-y+c=0,向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位,平移后与圆 x2 +y2=10 相切,则 c 的值为( A.14 或-6 ). C.8 或-12 D.6 或-14

B.12 或-8

10.设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离|CM| = ( ). A.
53 4

B.

53 2

C.

53 2

D.

13 2

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二、填空题 11.若直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点为 A,B,则以线段 AB 为直径的圆的一般 方程为____________________. 12.已知直线 x=a 与圆(x-1)2+y2=1 相切,则 a 的值是_________. 13.直线 x=0 被圆 x2+y2―6x―2y―15=0 所截得的弦长为_________. 14.若 A(4,-7,1),B(6,2,z),|AB|=11,则 z=_______________. 15.已知 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆(x-1)2+(y-1)2=1 的两条 切线,A,B 是切点,C 是圆心,则四边形 PACB 面积的最小值为 三、解答题 16.求下列各圆的标准方程: (1)圆心在直线 y=0 上,且圆过两点 A(1,4),B(3,2); (2)圆心在直线 2x+y=0 上,且圆与直线 x+y-1=0 切于点 M(2,-1). .

17.棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是 AB 的中点,F 是 BB1 的中点,G 是 AB1 的中点,试建立适当的坐标系,并确定 E,F,G 三点的坐标.

18.圆心在直线 5x―3y―8=0 上的圆与两坐标轴相切,求此圆的方程.
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19.已知圆 C :(x-1)2+(y-2)2=2,点 P 坐标为(2,-1),过点 P 作圆 C 的切线,切 点为 A,B. (1)求直线 PA,PB 的方程; (2)求过 P 点的圆的切线长; (3)求直线 AB 的方程.

20.求与 x 轴相切,圆心 C 在直线 3x-y=0 上,且截直线 x-y=0 得的弦长为 2 7 的 圆的方程.

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参考答案
一、选择题 1.A 解析:C1 的标准方程为(x+1)2+(y+4)2=52,半径 r1=5;C2 的标准方程为(x-2)2+ (y+2)2=( 10 )2,半径 r2= 10 .圆心距 d= (2 +1)2 +(2 - 4)2 = 13 . 因为 C2 的圆心在 C1 内部,且 r1=5<r2+d,所以两圆相交. 2.C 解析:因为两圆的标准方程分别为(x-2)2+(y+1)2=4,(x+2)2+(y-2)2=9, 所以两圆的圆心距 d= (2 + 2)2 +(-1- 2)2 =5. 因为 r1=2,r2=3, 所以 d=r1+r2=5,即两圆外切,故公切线有 3 条. 3.A 解析:已知圆的圆心是(-2,1),半径是 1,所求圆的方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 4.D 解析:设所求直线方程为 y=2x+b,即 2x-y+b=0.圆 x2+y2―2x―4y+4=0 的标准 方程为(x-1)2+(y-2)2=1.由
2- 2+b 2 2 +12

=1 解得 b=± 5 .

故所求直线的方程为 2x-y± 5 =0. 5.C 解析:因为圆的标准方程为(x+2)2+(y-2)2=2,显然直线 x-y+4=0 经过圆心. 所以截得的弦长等于圆的直径长.即弦长等于 2 2 . 6.A 解析:如图,设直线与已知圆交于 A,B 两点,所求圆的圆 心为 C. 依条件可知过已知圆的圆心与点 C 的直线与已知直线垂直. 因为已知圆的标准方程为(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0), 所以过点(1,0)且与已知直线 x+2y-3=0 垂直的直线方程 为 y=2x-2.令 x=0,得 C(0,-2). 联立方程 x2+y2-2x=0 与 x+2y-3=0 可求出交点 A(1, 故所求圆的半径 r=|AC| 1). = 12 + 32 = 10 .
(第 6 题)

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所以所求圆的方程为 x2+(y+2)2=10,即 x2+y2+4y-6=0. 7.C 解析:因为圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=(3 2 )2,所以圆心为(2,2),r=3 2 . 设圆心到直线的距离为 d,d=
10 2

>r,

所以最大距离与最小距离的差等于(d+r)-(d-r)=2r=6 2 . 8.B 解析:由于两圆半径均为|r|,故两圆的位置关系只能是外切,于是有 (b-a)2+(a-b)2=(2r)2. 化简即(a-b)2=2r2. 9.A 解析:直线 y=3x+c 向右平移 1 个单位长度再向下平移 1 个单位. 平移后的直线方程为 y=3(x-1)+c-1,即 3x-y+c-4=0. 由直线平移后与圆 x2+y2=10 相切,得 所以 c=14 或-6. 10.C
3 ? ? 解析:因为 C(0,1,0),容易求出 AB 的中点 M ? 2, , 3? , 2 ? ? 53 ?3 ? 所以|CM|= (2 - 0)2 + ? -1? +(3 - 0)2 = . 2 2 ? ?
2

0-0+c- 4 32 +12

= 10 ,即|c-4|=10,

二、填空题 11.x2+y2+4x-3y=0. 解析:令 y=0,得 x=-4,所以直线与 x 轴的交点 A(-4,0). 令 x=0,得 y=3,所以直线与 y 轴的交点 B(0,3).
3? ? 所以 AB 的中点,即圆心为 ?- 2, ? . 2? ?
3? 25 ? 因为|AB|= 4 2 + 32 =5,所以所求圆的方程为(x+2)2+ ? y - ? = . 2? 4 ?
2

即 x2+y2+4x-3y=0. 12.0 或 2. 解析:画图可知,当垂直于 x 轴的直线 x=a 经过点(0,0)和(2,0)时与圆相切,
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所以 a 的值是 0 或 2. 13.8. 解析:令圆方程中 x=0,所以 y2―2y―15=0.解得 y=5,或 y=-3. 所以圆与直线 x=0 的交点为(0,5)或(0,-3). 所以直线 x=0 被圆 x2+y2―6x―2y―15=0 所截得的弦长等于 5-(-3)=8. 14.7 或-5. 解析:由 (6 - 4)2 +(2 + 7)2 +( z -1)2 =11 得(z-1)2=36.所以 z=7,或-5. 15. 2 2 . 解析:如图,S
四边形

PACB=2S△PAC=

1 |PA|·|CA|·2 2

=|PA|,又|PA|= |PC |2 -1 ,故求|PA|最小值,只需求 |PC|最小值,另|PC|最小值即 C 到直线 3x+4y+8=0 的 距离,为
|3+4+8| 32+4 2
(第 15 题)

=3.

于是 S 四边形 PACB 最小值为 32-1 = 2 2 . 三、解答题 16.解:(1)由已知设所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2,于是依题意,得
? 1- a)2+16=r 2, ?a =-1, ( ? ? 解得 ? ? ?r 2 = 20 ? 3 - a)2+4 =r 2. . ( ? ?

故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20. (2)因为圆与直线 x+y-1=0 切于点 M(2,-1), 所以圆心必在过点 M(2,-1)且垂直于 x+y-1=0 的直线 l 上. 则 l 的方程为 y+1=x-2,即 y=x-3.
? y =x- 3, ? x =1, ? ? 由? 解得 ? ?2 x+y=0. ? y = - 2. ? ?

即圆心为 O1(1,-2),半径 r= (2 -1)2 +(-1+ 2)2 = 2 . 故所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2. 17.解:以 D 为坐标原点,分别以射线 DA,DC,DD1 的方向为正方向,以线段 DA, DC,DD1 的长为单位长,建立空间直角坐标系 Dxyz,E 点在平面 xDy 中,且 EA=
1 . 2

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? 1 ? 所以点 E 的坐标为 ?1, , 0 ? , ? 2 ?

又 B 和 B1 点的坐标分别为(1,1,0),(1,1,1),

? 1 1? 1? ? 所以点 F 的坐标为 ?1,1, ? ,同理可得 G 点的坐标为 ?1, , ? . 2? ? ? 2 2?
18.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 因为圆与两坐标轴相切, 所以圆心满足|a|=|b|,即 a-b=0,或 a+b=0. 又圆心在直线 5x―3y―8=0 上,
?5a-3b-8=0, ?5a-3b-8=0, ? ? 所以 5a―3b―8=0.由方程组 ? 或? ?a-b=0, ?a+b=0, ? ? ?a=4, ?a=1, ? ? 解得 ? 或? 所以圆心坐标为(4,4),(1,-1). ?b=4, ?b=-1. ? ?

故所求圆的方程为(x-4)2+(y-4)2=16,或(x-1)2+(y+1)2=1. 19.解:(1)设过 P 点圆的切线方程为 y+1=k(x-2),即 kx―y―2k―1=0. 因为圆心(1,2)到直线的距离为 2 ,
- k -3 k 2 +1

= 2 , 解得 k=7,或 k=-1.

故所求的切线方程为 7x―y―15=0,或 x+y-1=0. (2)在 Rt△PCA 中,因为|PC|= (2 -1)2 +(-1- 2)2 = 10 ,|CA|= 2 , 所以|PA|2=|PC|2-|CA|2=8.所以过点 P 的圆的切线长为 2 2 .

1 (3)容易求出 kPC=-3,所以 kAB= . 3
如图,由 CA2=CD·PC,可求出 CD=
2 CA 2 = . PC 10

1 设直线 AB 的方程为 y= x+b,即 x-3y+3b=0. 3



2 10



1- 6 + 3b 1+ 3
2

解得 b=1 或 b=

7 (舍). 3
(第 19 题)

所以直线 AB 的方程为 x-3y+3=0. (3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解.

20.解:因为圆心 C 在直线 3x-y=0 上,设圆心坐标为(a,3a),

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圆心(a,3a)到直线 x-y=0 的距离为 d= 又圆与 x 轴相切,所以半径 r=3|a|, 设圆的方程为(x-a)2+(y-3a)2=9a2, 设弦 AB 的中点为 M,则|AM|= 7 . 在 Rt△AMC 中,由勾股定理,得
? - 2a ? ? 2 ? ? ? +( 7 )2=(3|a|)2. ? ?
2
2

- 2a 2



(第 20 题)

解得 a=±1,r =9. 故所求的圆的方程是(x-1)2+(y-3)2=9,或(x+1)2+(y+3)2=9.

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