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新版江西省重点中学盟校高三第一次联考数学(理)试卷(含答案)

新版-□□新版数学高考复习资料□□-新版

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江西省重点中学盟校 20xx 届高三第一次联考

数学(理科)试卷

考试时间:120 分钟 试卷总分:150 分

一、 选择题:(本大题共有 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项

是满足题目要求的。)
? ? 1.已知集合 A ? x | 2x?2 ? 0, x ? R ?, B ? x | x2 ? 4x ? 0, x ? R ? ,则

A?B ?( )

A.?4?

B.?0?

C.?0, 4?

D.?

2.已知复数 z 满足 1 ? 1? i ( i 是虚数单位),则 z2 ? ( ) z

A . 2i B . i C . ? i D . ?2i

2

2

3.执行如图所示的程序框图,若输出 S 的值为 ?52 ,则判断框内应填入( )

A. i ? 4? B .i ? 5? C . i ? 5? D . i ? 6?

4.如图该长为 2、宽为 1 的长方形是某石拱桥的截面图,整个图形是轴对称图形,中间桥洞的轮廓为

抛物线,抛物线和水平面之间为桥洞,现从该图形中任取一点,该点落在桥洞中的概率为( )

A.3 B. 2 C.? D. 1

53 4

2

5.下列命题是真命题的是 ( )

A .已知随机变量 X ~ N (?,? 2 ) ,若 P?X ? ?1? ? P(X ? ?2 ) ,则?1 ? ?2 ? 2? ;

B .在三角形 ABC中, A ? B 是 sin A ? sin B 的充要条件;

C .向量 a ? (?2,2),b ? (0,?1) ,则 a 在 b 的方向上的投影为 2 ;

D .命题“ p 或 q 为真命题”是命题“ ?p 且 q 为假命题”的充分不必要条件。

? x?y?2?0

6.已知平面区域

?

:

? ?

x

?

2

y

?

4

?

0

夹在两条斜率为 ? 2 的平行直线之间,则这两条平行直线间的

??2x ? y ? 5 ? 0

最短距离为( )

A.1

B.2

C. 6 5 5

D. 3 5 5

7.若将函数 f (x) ? 2 sin x cos x ? 2 3 sin 2 x ? 3 向右平移?(0 ? ? ? ? ) 个单位,所得的函数图像关

于原点对称,则角? 的终边可能过以下的哪个点

()

? A . ? 3,1?

B . ?1, 3?

C . ? ? 3,?1

D . ??1, 3?

8.若多项式 ?2x

? 3y?n

展开式仅在第 5 项的二项式系数最大,则多项式 ?? x2 ?

?

1 x2

n?4
? 4?? ?

展开式中 x2

的系数为 ( )

A . ?304 B . 304 C . ?208 D . 208 9.棱长为1的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 内有一个内切球 O,过正方体中两条互为异面直线的 AB ,

A1D1 的中点 P,Q 作直线,该直线被球面截在球内的线段的长为( )

A. 2 2

B.1 2

C. 2 4

D . 2 ?1

10.一般情况下,

过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0)上一点P (x0,

y0 )

作双曲线的切线,其切线

方程为

x0 x a2

?

y0 y b2

?

1,若过双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

?

0) 上一点 P(x0, y0 )(a

?

x0

?

2a) 作双曲

线的切线,该切线过点 ?0,b?, 且该切线的斜率为 ? 2 ,则该双曲线的离心率为( )

A. 6

B. 3

C. 2

D. 6

2

11. 已知函数 f (x) ? 1? kx2 , g(x) ?

3 3

???sin(x ?

2018? 3

)?

sin(x ?

2018? 3

)???

,满足

f

(x)

图像始终

在 g(x) 图像的下方,则实数 k 的取值范围是( )

A.

? ??

1 2

,

??

? ??

B.?1,

???

C. ????

1 2

,

??

? ??

D.??1, ???

12. 如 图 , 平 面 四 边 形 ABCD 中 , AC 与 BD 交 于 点 P , 若

3AP ? BD ? 3BC, AB ? AD ? 3BC , ?CAD ? ?ACB ? 5 ? ,则 CD ? ( )

6

AB

A . 21 B . 21 C . 2 6

3

4

3

D. 6 2

二、 填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13 . 函 数 f ? x? ? kx ? k ? ax?1 ?a ? 0且a ? 1? 的 图 象 必 过 定 点

__________________ .
14.某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3 ,则正视图中的 x 的值 2
是__________________

15. 平面几何中有如下结论:如图,设 O 是等腰直角 ?ABC 底边 BC 的中点, AB ?1,过点 O 的动 直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q, R ,则有
1 ? 1 ? 2 .类比此结论,将其拓展到空间,如图 AQ AR (2),设 O 是正三棱锥 A ? BCD底面BCD 的中心, AB, AC, AD 两两垂直, AB ?1,过点 O 的动平面与三棱 锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 Q, R, P;
则有_____________________ .
16.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2 ? 4x 相交于不同的 A,B 两点,且 OA ? OB ? ?4 , 则 ?OAB 的面积的最小值为______________.

三、解答题:(本大题 6 个小题,共 70 分).

17.已知数列?an? 的前 n

项和

Sn

?

1 8

n2

?

9 8

n

(n ? N*) 。

(Ⅰ)求数列?an? 的通项公式;

(Ⅱ)令 bn

?

16(an

1 ?1) (an?1

?1)

,求数列?bn? 的前 n

项和 Tn



18 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长均 2 , D 为棱 BB1 (不包括 端点)上一动点, E 是 AB 的中点. (Ⅰ)若 AD ? A1C ,求 BD 的长; (Ⅱ)当 D 在棱 BB1(不包括端点)上运动时,求平面 ADC1 与平面 ABC
的夹角的余弦值的取值范围.

19. 最近,“百万英雄”,“冲顶大会”等一些闯关答题类游戏风靡全国,既能答题,又能学知识,还 能挣奖金。若某闯关答题一轮共有 4 类题型,选手从.前.往.后.逐.类.回答,若中.途.回.答.错.误.,立马淘.汰. 只能观战;若能坚持到 4 类题型全部回答正确,就能分得现金并获得一枚复活币。每一轮闯关答题 顺序为:1.文史常识类;2.数理常识类;3.生活常识类;4.影视艺术常识类,现从全省高中生中调查 了 100 位同学的答题情况统计如下表:

题型及序号 通过人数 淘汰人数

1.文史常识类 90 10

2.数理常识类 80 10

3.生活常识类 60 20

4.影视艺术常识类 20 40

(Ⅰ)现用样本的数据特征估算整体的数据特征,从全省高中生挑选 4 位同学,记? 为 4 位同学获得 奖金的总人数,求? 的分布列和期望.
(Ⅱ)若王同学某轮闯关获得的复活币,系统会在下一轮游戏中自动使用,即下一轮重新进行闯关 答题时,若王同学在某一类题型中回答错误,自动复活一次,视为答对该类题型。请问:仍用样本 的数据特征估算王同学的数据特征,那么王同学在获得复活币的下一轮答题游戏中能够最终获得奖

金的概率是多少?

20.

已知椭圆

C:x a

2 2

?

y2 b2

?(1 a ? b ? 0)的离心率为

3 ,且经过点(1, 3 ).

2

2

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)经过点(0,2)与坐标轴不垂直的直线与椭圆 C 交于 P,Q 两点,点 B(0,? b),直线 BP, BQ 分

别与 x 轴交于 M , N 两点,记 ?BOM 和 ?BON 的面积分别为 S1,S2 ;那么 S1S2 是否为定值?若是,
求出此定值;若不是,请说明理由.

21.已知函数 f (x) ? aex , g(x) ? ln(ax) ? 5 , a ? 0 . 2
( Ⅰ ) 若 y ? f (x) 的 图 像 在 x ?1 处 的 切 线 过 点 (3,3) , 求 a 的 值 并 讨 论 h(x) ? xf (x) ? m(x2 ? 2x ?1)(m ? R) 在 (0, ??) 上的单调增区间; (Ⅱ)定义:若直线 l : y ? kx ? b 与曲线 C1 : f1(x, y) ? 0 、C2 : f2 (x, y) ? 0 都相切,则我们称直线 l 为曲线 C1 、 C2 的公切线.若曲线 y ? f (x) 与 y ? g(x) 存在公切线,试求实数 a 的取值范围.

选做题:(请在 22,23 题选做一题,共 10 分;若两题都做,以 22 题计分)

22.平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.直线 l 的极坐标方

程为: ?

?

1 sin??? ? ?

??

,椭圆

C:??? x ?? y

? ?

2

cos? 3 sin

?

.

(Ⅰ)求直线 l 与椭圆 C 直角坐标方程;

? 4?

(Ⅱ)若直线 l 与椭圆 C 交于 M , N 两点,点 P(0,2)求 PM ? PN .

23.已知函数 f (x) ? 2x ?3 ? 3, g(x) ? 2x ? a , a ? 0 . x
(Ⅰ)解不等式 f (x) ? 3x ;
(Ⅱ)记 M ? ?y | y ? f (x)?, N ? ?y | y ? g(x)?,若 M ? N ,求 a 的取值范围.

江西省重点中学盟校 20xx 届高三第一次联考

一、 选择题 1.(C) 2.(C) 7.(D) 8.(A)

数学(理科)试卷答案

3.(D) 4.(B) 9.(A) 10.(B)

5.(B) 11.(A)

6.(D) 12.(A)

二:填空题 (1,-1)32A1Q+A1R+A1P=3

42

三:解答题:

17.解:(Ⅰ)由题意知,当

n

?

2时,an

?

Sn

?

Sn?1

?

1 4

n

?1;

当n

? 1时,a1

?

S1

?

1 4

?1.符合上式。

所以

an

? 1 n ?1…………………6 分 4

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 bn

=

1 n

?

1 n ?1

1?
,∴Tn=

1 n ?1

?

n n ?1 .…………………12



18 证明:(Ⅰ),由 AC=BC,AE=BE,知 CE⊥AB,

又平面 ABC⊥平面 ABB1A1,所以 CE⊥平面 ABB1A1
而 AD?平面 ABB1A1,∴AD⊥CE,又 AD⊥A1C 所以 AD⊥平面 A1CE, 所以 AD⊥A1E.易知此时 D 为 BB1 的中点,故 BD=1.…………………5 分

(Ⅱ)以 E 为原点,EB 为 x 轴,EC 为 y 轴,

过 E 作垂直于平面 ABC 的垂线为 z 轴,

建立空间直角坐标系,设 BD=t,

则 A(-1,0,0),D(1,0,t),C1(0, 3 ,2),

AD =(2,0,t), AC1 =(1, 3 ,2),设平面 ADC1 的法向量 n =(x,y,z),



?? ?

n AD ? 2x ? tz ? 0

,取 x=1,得 n ? (1,

??n AC1 ? x ? 3y ? 2z ? 0

4? 3t

1 ,? 2), 3t

平面 ABC 的法向量 m =(0,0,1),设平面 ADC1 与平面 ABC 的夹角为θ ,

mn

∴cosθ =

=

mn

2

t

=

1? (

4? 3t

1 3

)2

?

4 t2

3= t2 ? 2t ? 7

3 (t ?1)2 ? 6

由于 t∈(0,2),故 cosθ ∈( 21 , 2 ]. 72

即平面 ADC1 与平面 ABC 的夹角的余弦值的取值范围为( 21 , 2 ].………………12 分 72
19. (Ⅰ)? ~B(4, 1) 5
分布列为

?

0

1

2

3

4

P

256

256

96

16

1

625

625

625

625

625

E(? ) ? 4 ……………………………………………6 分 5

(Ⅱ) P ? 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 ? 257 …………………………………………12 分 10 9 10 8 10 6 10 360

20.解:(Ⅰ) x2 ? y2 ? 1 …………………4 分 4

(Ⅱ)设 lPQ : y ? kx ? 2,P(x1, y1), Q(x2 , y2);

?y ? kx?

? ?

x

2

?

4

y

2

2 ?

4

?

0

?(4k

2

? 1)x 2

? 16 k x

? 12

?

0

?

? ??

x1

?

?

? ??

x1

x2

x2 ?

? 16 k ? 4k 2 ?1
12 4k 2 ?1

;……………6



B(0,?1) ? lBP :

y ?1?

y1 ?1 x ? x1

xM

?

x1 y1 ?

1

,同理

xN

?

x2 ; y2 ?1

xM xN

?

( y1

x1x2 ?1)( y2

? 1)

?

(k x1

x1x2 ? 3)(kx2

? 3)

?

k 2 x1x2

x1x2 ? 3k(x1

?

x2 ) ? 9

?

4 ;………10 3



?

S1S2

?

1 4

OB

2

?

xM

xN

? 1 ……………12 分 3

21.解:(Ⅰ)由 f (x) ? aex ,得 f '(x) ? aex .又 f (1) ? ae , 故在 x ?1的切线方程为 y ? ae ? ae(x ?1) .带入 (3,3) ,得 a ? 1 …………2 分
e f (x) ? ex?1 .从而, h(x) ? xex?1 ? m(x2 ? 2x ?1) , h '(x) ? (x ?1)(ex?1 ? 2m) . …………3 分

①当 m ? 0 时, h '(x) ? 0 , x ?(0, ??) .故 h(x) 的单调增区间为 (0, ??) ;

②当1? ln(?2m) ? 0 ,即 ? 1 ? m? 0 时,h '(x) ? 0 ,x ?(0, ??) .故 h(x) 的单调增区间为 (0, ??) ; 2e
③当1? ln(? 2m )? 0,即 m ? ? 1 时,由 h '(x ) ? 0得 x ? 1? ln(?2m) ,故 h(x) 的单调增区间为 2e
(1? ln(?2m), ??) .

综上,当 m ? ? 1 时, h(x) 的单调增区间为 (0, ??) ;当 m ? ? 1 时, h(x) 的单调增区间为

2e

2e

(1? ln(?2m), ??) .

…………6 分

(Ⅱ)设 f (x) ? aex 的切点横坐标为 x ? x1 , f '(x) ? aex ,

切线方程为 y ? aex1 ? aex1 (x ? x1) ……①



g(x)

?

ln(ax)

?

5 2

的切点横坐标为

x

?

x2



g

'(x)

?

1 x



切线方程为

y

?

ln(ax2 ) ?

5 2

?

1 x2

(x

?

x2 )

……②

…………7 分

联立①②,得

? ?? ? ???aex1

aex1 ? 1 x2
(1? x1) ? ln(ax2 )

?

3 2

,消去

x2



a

?

1 e x1

x1

?

3 2

x1 ?1

( x1

?

1)



考虑函数 ? ( x)

?

1 ex

x?3 2
x ?1

,?

'(x)

?

?

1 ex

(2x ?1)(x ? 2) . 2(x ?1)2

…………9 分

令? '(x) ? 0 ,得 x ? 1 或 2 . 2

当 x ? 1 或 x ? 2 时,? '(x) ? 0 ,函数 y ? ?(x) 在区间 (??, 1) ,(2, ??) 上单调递减,当 1 ? x ? 2

2

2

2

且 x ? 1时,? '(x) ? 0 ,函数 y ? ?(x) 在区间 ( 1 ,1) , (1, 2) 上单调递增. 2

?(1) ? 2

2 e

, ? (2)

?

1 2e2

.故当 a ? (0,

1 2e2 ]

[ 2 , ??) 时,方程 a ? 1

x1

?

3 2

有解,

e

ex1 x1 ?1

从而,函数 f (x) ? aex 与 g(x) ? ln(ax) ? 5 存在公切线. 2

…………12 分

22.(Ⅰ)直线 l : x ? y ? 2 ? 0 ,椭圆 C:x2 ? y2 ? 1;………………5 分 43

?

(Ⅱ)直线

l

:

??x ?

?

2t 2

代入椭圆 C:7t2 ?16t ? 8 ? 0

? ??

y

?

2? 2t 2

?

PM

?

PN

?

t1 ? t2

?

4

30 7

……………10 分

23.(Ⅰ) f (x) ? 3x ? 2x ?3 ? 3x ?3 ? 3?3x ? 2x ?3 ? 3x ?3 ? x ? 6 ……………5 分
5
? ? ? ? (Ⅱ) M ? ?3,??? , N ? ? ?,?2 2a ? 2 2a,??
? 2 2a ? 3 ? 0 ? a ? 9 …………………10 分 8
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