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江西省师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学四校2012-2013学年高二下学期期末联考数学(理)试题

江西省师大附中、临川一中、鹰潭一中、宜春中学四校 2012-2013 学年高二下学期期末联考 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | y ? ( ) B. ?1,3? C. (2,9] D. (3,9] ) A. ?1, 2? ,集合 B ? { y | y ? log3 x, x ? A}, 则 A ? (CU B) = ? x2 ?10 x ? 9}

2.设 i 为虚数单位,若复数 A. ?

1 2

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 的值为( 2?i 1 B. ?2 C. D. 2 2
C.

3

3.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.



9 2

B. 5

11 2

2 主视图

1 左视图

D. 6

4. 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知首项 a1 ?

1 , 且对任意正整数 m, n 3


1

1

俯视图

都有 am?n ? am ? an ,若 Sn ? k 恒成立,则实数 k 的最小值为( A.

1 3

B.

1 2

C.

3 2

D. 3

5.已知 ?ABC 为锐角三角形,若角 ? 终边上一点 P 的坐标为( sin A ? cos B,cos A ? sin C ) ,则 f (? ) =

sin(? ? ) cos(? ? ) 2 ? 2 的值为 ( | cos ? | | sin ? |
A. ?2 B. 0 6. 给出下列四个命题:

?

?

) D.与 ? 的大小有关

C. 2

①已知函数 f ( x) ? 2x ? 2? x , 则 y ? f ( x ? 2) 的图像关于直线 x ? 2 对称; ②平面内的动点 P 到点 F (?2,3) 和到直线 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹是抛物线; ③若向量 a, b 满足 a ? b ? 0, 则 a 与 b 的夹角为钝角;
x 4 ○存在 x0 ? (1, 2), 使得 ( x02 ? 3x0 ? 2)e 0 ? 3x0 ? 4 ? 0 成立,其中正确命题的个数是(

? ?

? ?

?

?



A.0

B.1

C.2

D.3

7.已知点 P 是曲线 C :

x2 ? y 2 ? 1 上的任意一点,直线 l : x ? 2 与双曲线 C 的渐近线交于 A, B 两点, 4


若 OP ? ?OA ? ?OB,(?, ? ? R, O 为坐标原点) ,则下列不等式恒成立的是(

??? ?

??? ?

??? ?

2 2 A. ? ? ? ?

1 2

B. ? 2 ? ? 2 ? 2

2 2 C. ? ? ? ?

1 2

D. ? 2 ? ? 2 ? 2

8. 若平面直角坐标系中两点 P 与 Q 满足:1 P 、 分别在函数 f ( x), g ( x) 的图像上;2 P 与 Q 关于点 1,1 ) ( ○ Q ○ 对称, 则称点对 P, Q ) ( 是一个 “相望点对” (规定: P, Q ) ( Q, P ) ( 与 是同一个 “相望点对”, ) 函数 y ? 与 y ? 2sin ? x ? 1(?2 ? x ? 4) 的图像中“相望点对”的个数是( A.8 B.6 C.4 D.2 )

x?2 x ?1

9. 已知函数 f ( x) ? 1 ? x ?

x 2 x3 x 4 x99 x 2 x3 x 4 x99 ? ? ?? ? , g ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ? ? , 2 3 4 99 2 3 4 99

设 F ? x ? ? f ( x ? 1) ? g ( x ? 1) 且函数 F ( x) 的零点在区间 [a, a ? 1] 或 [b, b ? 1](a ? b, a, b ? Z ) 内,则 a ? b 的 值为( ) A. ?2

y
B. 0 C. 2 D. 4

10. 在 函 数 y ? cos x( x ? [ ?

? ?

, ]) 的 图 像 与 x 轴 所 围 成 的 图 形 中 , 直 线 2 2

? ? ?? l : x ? t (t ? ? ? , ?) 从点 A 向右平行移动至 B , l 在移动过程中扫过平面图 ? 2 2?
形(图中阴影部分)的面积为 S ,则 S 关于 t 的函数 S ? f (t ) 的图像可表示为 ( )

A

?
A

?
2

B

? 2 x ?t A

x

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11. “求方程 (

5 x 12 x 5 12 ) ? ( ) ? 1 的解”有如下解题思路:设 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ,因为 f ( x) 在 R 上单调递减, 13 13 13 13

且 f (2) ? 1, 所以原方程有唯一解为 x ? 2. 类比上述解题思路,不等式

x6 ? (2x ? 3)3 ? 3 ? 2x ? x2 的解集为

开始 . 输入 x

12.随机输入整数 x ? [1,12], 执行如右图所示的程序框图, 则输出的 x 不小 于 39 的概率为 .

n ?1
开始

13.已知点 P 是面积为 1 的 ?ABC 内一点(不含边界) ,若 ?PAB, ?PBC ,

n ? n ?1


?PCA 的面积分别为 x, y , z , 则

y?z 1 ? 的最小值为 x y?z

n?3
. 开始 否 输出 x

x ? 2x ?1

14. 若数列 {an } 满足: a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a2n?1 ? a2n ? ? , 则称数列 {an } 为“正弦数列” ,现将 1, 2,3, 4,5 这五个数排成一个“正弦 数列” ,所有排列种数记为 a ,则二项式 ( x ? 结束

a 6 ) 的展开式中含 x 2 项的系数为 x



三、选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两题都做,按第一题评阅计分,本题共 5 分. 15.(1) (坐标系与参数方程选做题)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,并取相等 的长度单位建立极坐标系,若直线 l : ? cos(? ?

?
4

) ? 2 与曲线 C1 : ?

? x ? 4 cos ? ( ? 为参数)相交于 ? y ? 4 sin ? ? 3

A, B 两点,则线段 AB 长度为_________.
(2) (不等式选做题)若存在实数 x ,使不等式 | 2 x ? 3 | ? | 2 x ? 1|? 3a ? a 成立,则实数 a 的取值范围为
2

_________. 四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)
2 2 在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,满足 2CA ? CB ? c ? (a ? b) .

??? ??? ? ?

(1)求角 C 的大小;
2 (2)求 2 3 cos

A 4? ? sin( ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小. 2 3

17.(本小题满分 12 分) 某中学为了增强学生对消防安全知识的了解,举行了一次消防知识竞赛,其中一道题是连线题,要求将 4 种不同的消防工具与它们的 4 种不同的用途一对一连线,规定:每连对一条得 10 分,连错一条得-5 分,某 参赛者随机用 4 条线把消防工具与用途一对一全部连接起来.

(1)求该参赛者恰好连对一条的概率; (2)设 X 为该参赛者此题的得分,求 X 的分布列与数学期望. 18.(本小题满分 12 分) 如图所示,在边长为 3 的等边 ?ABC 中,点 D, E 分别是边 AB, AC 上的点,且满足

AD CE 1 ? ? , 现将 DB EA 2

?ADE 沿 DE 折起到 ?A1DE 的位置,使二面角 A1 ? DE ? B 成直二面角,连结 A1B, AC . 1
(1)求证: A D ? 平面BCED ; 1 (2)在线段 BC 上是否存在点 P ,使直线 PA1 与平面 A BD 所成的角为 60? ? 1 若存在,求出 PB 的长;若不存在,请说明理由. D E 19.(本小题满分 12 分)
1 2 已知数列 {an } 具有性质:○ a1 为整数;○对于任意的正整

A

A1

D B

E

B

C

C 数 n, 当 an 为 偶 数 时 ,

an ?1 ?

an a ?1 ; 当 an 为奇数时, an ?1 ? n . 2 2

(1)若 a1 为偶数,且 a1 , a2 , a3 成等差数列,求 a1 的值; (2)若 a1 为正整数,求证:当 n ? 1 ? log2 a1 (n ? N? ) 时,都有 an ? 0 . 20.(本小题满分 13 分) 定义:在平面直角坐标系中,以原点为圆心,以 a ? b 为半径的圆 O 为椭圆 C :
2 2

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? a 2 b2

的“准圆”.已知椭圆 C : (1) 求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 的离心率为 ,直线 l : 2 x ? y ? 5 ? 0 与椭圆 C 的“准圆”相切. 2 a b 3

(2) 设点 P 是椭圆 C 的 “准圆” 上的一个动点, 过动点 P 作斜率存在且不为 0 的两条不同的直线 l1 , l2 , 得 l1 , l2 与椭圆都相切,试判断 l1 与 l2 是否垂直?并说明理由. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ?

使

a ? a ? R ? ,设 F ? x? ? f ? x ? ? g ? x ? , G ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? x

(1) 求函数 F ? x ? 的单调区间;

(2) 若以函数 y ? F ( x) ? x ? (0,2) ? 图像上任一点 P ? x0 , y0 ? 为切点的切线斜率为 k ? 的取值范围;

1 恒成立,求实数 a 2

(3) 当 a ? 1 时, 对任意的 x1, x2 ? ? 0,2? , x1 ? x2 , 且 已知存在 x0 ? ? x1 , x2 ? 使得 G / ? x0 ? ? 求证: x0 ?

G ? x2 ? ? G ? x1 ? , x2 ? x 1

x1 x2

参考答案 1-5 CDBBC 6-10 CACBD

?? ? ?? 3 ? 2sin ? A ? ? 3? ?
?0 ? A ?
当 A?

(9 分)

?
3

,?

?
3

? A?

?
3

?

?
3

2 6 A 4? ? ? 2 3 cos 2 ? sin( ? B) 的最大值为 2 ? 3 ,取得最大值时, A ? B ? 2 3 6
17、解: (1) P ?
1 C4 ? 2 4 ? 2 1 ? ? 4 A4 24 3

?

?

即A?

?

2? 3

2 时, 2 3 cos

A 4? ? ? sin( ? B) 的最大值为 2 ? 3 ,此时 B ? 2 3 6
(12 分)

(4 分)

? X 的分布列为 ?20 X P

?5
1 3

10
1 4

20
1 24
(10 分) (12 分)

3 8

3 1 1 1 35 EX ? ? ?20 ? ? ? ? ?5 ? ? ? 10 ? ? 20 ? ?? 8 3 4 24 6 A D CE 1 = ? 18、 (1) 等边三角形 ABC 的边长为 3, 解: ? 且 D B EA 2
由余弦定理得 DE ? 3 ,? AD ? DE ? AE
2 2 2

? , AD ? 1, AE ? 2 在 ?ADE 中, DAE ? 60 , ?

?

? AD ? DE ,折叠后有 A1D ? DE

(3 分)

? 二面角 A1 ? DE ? B 为直二面角,? 平面 A1DE ? 平面 BCED
又? 平面 A DE ? 平面 BCED ? DE , A1D ? 平面 A DE , A1D ? DE 1 1

? A1D ? 平面 BCED

(5 分)

(2)假设在线段 BC 上存在点 P ,使得直线 PA1 与平面 A BD 所成的角为 60? 由(1)证明, 1 可知 DE ? DB , A D ? 平面BCED ,以 D 为坐标原 点,以射线 DB, DE, DA 分别为 x 轴, y 轴, z 轴的 1 1 正半轴,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,如图过点 P 作 PH ? BD ,垂足为 H ,连接 A H , PH 1 设 PB ? 2a ? 0 ? 2a ? 3? ,则 BH ? a, PH ? 3a, DH ? 2 ? a

? A1 ? 0, 0,1? , P 2 ? a, 3a, 0 , E 0, 3, 0 ???? ? PA1 ? a ? 2, ? 3a,1

?

? ?

?

(7 分)

A1

z

?

? ? ?
(9 分) H B P (11 分) C D E
?

???? ? ED ? 平面A1BD , 平面A1BD 的一个法向量为 DE ? 0, 3, 0

y

? PA1 与 平面A1BD 所成的角为 60

???? ???? PA1 ? DE 3a 3 5 ? ? sin 60 ? ???? ???? ? ? ,解得 a ? 4 2 PA1 DE 4a 2 ? 4a ? 5 ? 3
? PB ? 2a ? 5 ,满足 0 ? 2a ? 3 ,符合题意 2

x

? 在线段 BC 上存在点 P ,使得直线 PA1 与平面 A1BD 所成的角为 60? ,此时 PB ?
19、解: (1)设 a1 ? 2k , a2 ? k ,? a1 , a2 , a3 成等差数列,? 2k ? a3 ? 2k ,? a3 ? 0

5 2

(12 分) (2 分) (4 分)

a2 k ? ? 0,? k ? 0, 此时 a1 ? 0 2 2 a ?1 k ?1 1 ? ? 0,? k ? 1, 此时 a1 ? 2 ○当 k 为奇数时, a3 ? 2 2 2
1 ○当 k 为偶数时, a3 ?

综合上述,可得 a1 的值为 2 或 0 (2)? n ? 1 ? log2 a1 ,? n ? 1 ? log2 a1 ,? a1 ? 2n?1

(6 分) (7 分)

? an ? 2 a n 为偶数 ? 又由定义可知, an ?1 ? ? ? an ? 1 a 为奇数 n ? 2 ?

? an ?1 ?

an a 1 , ? n ?1 ? 2 an 2

(9 分)

? an ?

an an?1 a2 1 1 ? ? ? a1 ? n?1 a1 ? n?1 ? 2n?1 ? 1 an?1 an?2 a1 2 2

? an ? N ,? an ? 0
综上可知,当 n ? 1 ? log2 a1 (n ? N? ) 时,都有 an ? 0 (12 分)

(2)由(1)知椭圆 C 的“准圆”方程为 x2 ? y 2 ? 5 设点 P ? x0 , y0 ? ,则 x02 ? y02 ? 5 设经过点 P ? x0 , y0 ? 与椭圆 C 相切的直线为 y ? k ? x ? x0 ? ? y0 (7 分)

? y ? k ? x ? x0 ? ? y0 2 ? 2 2 联立 ? 消去 y ,得 ? 2 ? 3k ? x ? 6k ? kx0 ? y0 ? x ? 3 ? kx0 ? y0 ? ? 6 ? 0 x2 y 2 ? ?1 ? 3 2 ?
2 2 2 由 ? ? 0 ,化简得 x0 ? 3 k ? 2 x0 y0 k ? x0 ? 3 ? 0

?

?

?

?

(10 分)

设直线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k2 .

? 直线 l1 , l2 与椭圆 C 相切

? k1 , k2 满足方程 ? x0 2 ? 3? k 2 ? 2 x0 y0 k ? ? x0 2 ? 3? ? 0 ? k1 ? k2 ? ?1,故直线 l1 与 l2 垂直
21、解: (1)由题意可知 F ? x ? ? f ? x ? ? g ( x) ? ln x ? (13 分)

a ? x ? 0? x
(1 分)

? F ' ? x? ?

1 a x?a ? ? 2 x x2 x

1 ○当 a ? 0 时, F ' ? x ? ? 0 在 ?0,??? 上恒成立 ? F ? x? 的增区间为 ?0,??? 2 ○当 a ? 0 时,令 F ' ? x ? ? 0 得 x ? a ;令 F ' ? x ? ? 0 得 0 ? x ? a

? F ? x ? 的增区间为 ? a, ??? , 减区间为 ? 0, a ?
综合上述可得:当 a ? 0 ,增区间为 ? 0,??? ; 当 a ? 0 时,增区间为 ? a, ??? , 减区间为 ? 0, a ? (4 分)

?h' ? x ? ? 0
要证 x0 ?

? h ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上是减函数,即 G' ? x ? 在 ? 0, 2 ? 上是减函数

x1 x2 ,只需证 G ' ? x0 ? ? G '

?

x1 x2 ,即证 G ' ? x0 ? ? G '

?

?

x1 x2 ? 0

?

? 对任意 x1, x2 ? ? 0,2? ,存在 x0 ? ? x1, x2 ? 使得 G' ? x ? ?

G ? x2 ? ? G ? x1 ? x2 ? x1

? G ' ? x0 ? ? G '

?

x1 x2

?

ln x2 ln x1 ? 1 ? ln x1 x2 x2 x1 ? ? x2 ? x1 x1 x2

? x ?x ? 1? x x 1 ? x1 ? x2 ? ln 2 ? ? x2 ? x1 ? 2 ? x2 ? 1? ln x2 ? ? x2 ? 1? 2 x1 1 ? 1 ? ? ? ? 1 ? x1 x2 ? x2 ? x1 ? ?x ? x1 x2 ? 2 ? 1? ? x1 ?
? 0 ? x1 ? x2 ? 2
? x1 ? x2 ? 0, x2 ?1 x1 ? x2 ?1 ? 0 x1

?x ? 2 ? 2 ? 1? x ? x ?x ? 1? x x ? ? 只需要证 ? 2 ? 1? ln 2 ? ? 2 ? 1? ? 0 ,即要证: ln 2 ? ? 1 x2 x1 2 ? x1 ? x1 ? x1 ? ?1 x1


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