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(课堂设计)2014-2015高中数学 1.1.7 柱、锥、台和球的体积(1)学案 新人教B版必修2


1.1.7

柱、锥、台和球的体积(1)
自主学习

学习目标 1.了解柱、锥、台的体积计算公式,并学会运用这些公式解决一些简单问题. 2.结合祖暅原理等内容的学习,了解我国古代数学家在数学发展上做出的杰出贡献, 培养爱国主义思想,逐步培养热爱科学的态度. 自学导引 1.祖暅原理 (1)祖暅原理:____________,则积不容异,这就是说,夹在两个________平面间的两 个几何体,被__________这两个平面的________平面所截,如果截得的两个截面的面积总 ________,那么这两个几何体的体积相等. (2)应用祖暅原理可以说明:等__________、等______的两个柱体或锥体的体积相等. 2.柱、锥、台、球的体积 (1)柱体的体积等于它的底面积 S 和高 h 的积,即 V 柱体=______.底面半径是 r,高是 h 的圆柱体的体积的计算公式是 V 圆柱=__________. (2)如果一个锥体的底面积是 S,高是 h,那么它的体积是 V 锥体=__________.如果圆锥 的底面半径是 r,高是 h,则它的体积是 V 圆锥=__________. (3)如果一个台体的上、下底面面积分别为 S′、S,高为 h,那么它的体积是 V 台体= __________________. 如 果 圆 台 的 上 、 下 底 面 半 径 分 别 是 r′ 、 r , 高 是 h , 则 它 的 体 积 是 V 圆 台 = ________________. 对点讲练 知识点一 求台体的体积 例1 已知正三棱台(上、下底是正三角形,上底面的中心在下底面的投影是下底面中

心)的上、下底面边长分别是 2 cm 与 4 cm,侧棱长是 6 cm,试求该三棱台的体积与表面积.

点评 在解决棱锥、 棱台的侧面积、 表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直 角三角形中求解,为此在解此类问题时,要注意直角三角形的应用. 2 变式训练 1 一个正四棱台的斜高为 12 cm,侧棱长为 13 cm,侧面积为 720 cm ,求它 的体积.

知识点二 求锥体的体积 例 2 三棱锥的顶点为 P,已知三条侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直,若 PA=2,PB=3, PC=4.求三棱锥 P-ABC 的体积.

点评 三棱锥又称四面体, 由于它的每一个面均可作为棱锥的底面, 因此, 灵活性较大, 通过变换底面与对应的顶点,找出较易求出面积的底面和对应的高,从而求出体积,这种方 法又称等体积变换.

变式训练 2 已知正三棱锥 P-ABC(如图所示), 侧棱 PA、 PB、 PC 两两互相垂直, AB= 2, 求此三棱锥的体积.

知识点三 综合应用 例3 已知正三棱锥 V—ABC(底面是等边三角形,顶点在底面的射影是底面的中心)的

主视图,俯视图如图所示,其中 VA=4,AC=2 3,求该三棱锥的表面积与体积.

点评 把几何体的表面积与体积的计算与三视图结合考查是高考的一个热点, 解决此类 问题的关键是正确地观察三视图, 把它还原为直观图, 特别要注意从三视图中得到几何体的 度量,再结合表面积或体积公式解题. 变式训练 3 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.2π +2 3 2 3 C.2π + 3

B.4π +2 3 2 3 D.4π + 3

1.在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角 三角形中求解,为此在解此类问题时,要注意直角三角形的应用. 2.有关旋转体的表面积和体积的计算要充分利用其轴截面,就是说将已知条件尽量归 结到轴截面中求解.而对于圆台有时需要将它还原成圆锥,再借助相似的相关知识求解. 3.柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为 1 1 S′=S S′=0 V 柱体=Sh ― ― → V 台体= h(S+ SS′+S′) ― ― → V 锥体= Sh. 3 3 课时作业 一、选择题 1.圆台上、下底面面积分别是 π ,4π ,侧面积是 6π ,这个圆台的体积是( 2 3 7 3 7 3 π B.2 3π C. π D. π 3 6 3 2.圆柱的侧面展开图是长 12 cm,宽 8 cm 的矩形,则这个圆柱的体积为( A. A. C. 288 3 cm π 288 3 192 3 cm 或 cm π π B. 192 3 cm π
3

)

)

D.192π cm

1 3.如图,某几何体的主视图与左视图都是边长为 1 的正方形,且体积为 ,则该几何体 2 的俯视图可以是( )

1 4.一个水平放置的圆柱形储油桶,桶内有油部分所在圆弧占底面圆周长的 ,则油桶直 4 立时,油的高度与桶的高度的比值是( A. 1 4 1 1 B. - 4 2π C. 1 8 ) D. 1 1 - 2π 8 )

5.一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A.2π +2 3 2 3 C.2π + 3 题 答 号 案 1

B.4π +2 3 2 3 D.4π + 3 2 3 4 5

二、填空题 6. 圆台的上、 下底面半径和高的比为 1∶4∶4, 母线长为 10, 则圆台的体积为________. 7.如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=6,AD=4,AA1=3.分别过 BC,A1D1 的 两个平行截面将长方体分成三部分,其体积分别记为 V1=VAEA1—DFD1,V2=VEBE1A—FCF1D1, V3=VB1E1B—C1F1C,若 V1∶V2∶V3=1∶4∶1,则截面 A1EFD1 的面积为________.

三、解答题 8.一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m):

(1)试画出它的直观图; (2)求它的表面积和体积.

9.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,主视图是一个底边长为 8、高为 4 的等 腰三角形,左视图是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

(1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

【答案解析】 自学导引 1.(1)幂势既同 平行 平行于 任意 相等 (2)底面积 高 2.(1)Sh π r h
2

1 (2) Sh 3

1 2 πrh 3

1 1 2 2 (3) h(S+ SS′+S′) π h(r +rr′+r′ ) 3 3 对点讲练 例1 解

如图所示,O′、O 分别是上、下底面的中心,连接 OO′、O′B′、OB, 在平面 BCC′B′内过 B′作 B′D⊥BC 于 D,在平面 BOO′B′内作 B′E⊥OB 于 E. ∵△A′B′C′是边长为 2 的等边三角形,O′是中心, 2 3 2 3 ∴O′B′= ×2× = , 3 2 3 4 3 2 3 同理 OB= ,则 BE=OB-O′B′= . 3 3 2 3 在 Rt△B′EB 中,BB′= 6,BE= , 3 ∴B′E= 42 42 ,即棱台高为 cm. 3 3

所以三棱台的体积为 1 42 3 3 V 棱台= × ( ×16+ ×4+ 3 3 4 4 = 7 14 3 (cm ). 3 3 3 ×16× ×4) 4 4

1 由于棱台的侧面是等腰梯形,∴BD= ×(4-2)=1. 2 在 Rt△B′DB 中,BB′= 6,BD=1, ∴B′D= 5,即梯形的高为 5 cm. 所以棱台的表面积 S=S 上底+S 下底+S 侧 = 3 3 1 ×4+ ×16+3× ×(2+4)× 5 4 4 2
2

=5 3+9 5 (cm ). 2 所以棱台的表面积是(5 3+9 5) cm , 7 14 3 体积是 cm . 3 变式训练 1 解 设该棱台的上、下底面边长分别为 b 和 a,高为 h,斜高为 h′,侧棱 长为 l,

? ? 1 则由题意得?l =h′ +[ ?a-b?] 2 1 ? ?h′ =h +[2?a-b?]
2 2 2 2

1 S侧= ?4a+4b?·h′ 2
2

.

2

∵h′=12,l=13,S 侧=720,

? ? 1 ∴?13 =12 + ?a-b? 4 1 ? ?12 =h +4?a-b?
2 2 2 2 2

1 720= ×4?a+b?×12 2
2

a=20 ?b ,∴? =10 ?h= 119



1 2 2 ∴V 正四棱台= × 119×(20 +20×10+10 ) 3 = 700 3 119(cm ), 3

700 3 即此四棱台的体积为 119 cm . 3 例2 解 如图,在长方体中,PA、PB、PC 两两互相垂直,显然 AP⊥平面 BPC.

∴AP 是三棱锥 A-PBC 的高. 1 ∵S△BPC= ·BP·PC 2 1 = ×3×4=6, 2 ∴V 三棱锥 P-ABC=V 三棱锥 A-PBC 1 = S△BPC·AP 3 1 = ×6×2=4. 3 变式训练 2

解 ∵三棱锥 P-ABC 为正三棱锥,∴△ABC 为正三角形, PA=PB=PC, ∵侧棱 PA、PB、PC 两两互相垂直, 且 AB= 2, ∴可建立如图所示的正方体, 则 PA⊥平面 PBC,PA=PB=PC=1. 1 1 ∴V= Sh= S△PBC·PA 3 3

1 1 1 = × ×1×1×1= . 3 2 6 例3 解

由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图所示,且 VA=VB=VC=4,AB=BC=AC= 2 3, 取 BC 的中点 D,连接 VD, 则 VD= VB -BD = 4 -? 3? = 13, 1 1 ∴S△VBC= ×VD×BC= × 13×2 3= 39, 2 2 1 3 2 S△ABC= ×(2 3) × =3 3, 2 2 ∴三棱锥 V—ABC 的表面积为 3S△VBC+S△ABC=3 39+3 3=3( 39+ 3). 点 V 在底面 ABC 上的射影为 H,则 A,H,D 三点共线, VH 即为三棱锥 V—ABC 的高, VH= VD -HD =
2 2 2 2 2 2 2 2

?1 ? 2 2 VD -? AD? ?3 ?

= ? 13? -1 =2 3, 1 1 ∴VV—ABC= S△ABC·VH= ×3 3×2 3=6, 3 3 所以正三棱锥的体积是 6. 变式训练 3 C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成,圆柱的底面半径为 1,高为 1 2 3 2 2,体积为 2π ,四棱锥的底面边长为 2,高为 3,所以体积为 ×( 2) × 3= ,所以 3 3 2 3 该几何体的体积为 2π + .] 3 课时作业 1.D [上底半径 r=1,下底半径 R=2,因为 S 侧=6π ,设母线为 l,则 π (1+2)·l =6π .∴l=2. 所以高 h= l -?R-r? = 3. 1 7 3 ∴V= π · 3×(1+1×2+2×2)= π .] 3 3 6 2.C [若底面圆周长为 12,则 2π r=12,所以 r= , π 288 3 ? 6 ?2 所以 V=π ·? ? ·8= (cm ). π ?π ?
2 2

4 若底面圆周长为 8,则 2π r=8,所以 r= , π 192 ? 4 ?2 3 所以 V=π ·? ? ·12= (cm ).] π ?π ? 3.C [当俯视图为 A 中正方形时,几何体为边长为 1 的正方体,体积为 1;当俯视图 1 π 为 B 中圆时,几何体为底面半径为 ,高为 1 的圆柱,体积为 ;当俯视图为 C 中三角形时, 2 4 1 几何体为三棱柱,且底面为直角边长为 1 的等腰直角三角形,高为 1,体积为 ;当俯视图 2 1 π 为 D 中扇形时,几何体为圆柱的 ,且体积为 .] 4 4

?1 2 1 2? 4.B [设圆柱桶的底面半径为 R,高为 h,油桶直立时油面的高度为 x,则? π R - R ? 2 ? ?4
h=π R x, x 1 1 所以 = - .] h 4 2π 5.C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为 1 2 3 2 2π ,四棱锥的底面边长为 2,高为 3,所以体积为 ×( 2) × 3= ,所以该几何体 3 3 2 3 的体积为 2π + .] 3 6.224π 解析
2

如图为圆台的轴截面, 设圆台上、 下底半径及圆台的高分别为 x,4x,4x, 则在三角形 ABC 2 2 2 中,AC=4x,BC=4x-x=3x,AB=10,由于 AB =AC +BC , 2 2 2 ∴16x +9x =25x =100,∴x=2, 从而可知圆台的上、下底面半径及高分别为 2,8,8. 1 ∴圆台的体积 V= (S′+ S′S+S)h 3 1 2 2 2 2 = (π ×2 + π ×2 ×π ×8 +π ×8 )×8=224π . 3 7.4 13 解析 本题主要考查棱柱的概念和棱柱的体积公式.长方体体积为 72,则 VAA1E—DD1F =12, ∴S△AA1E=3,∴AE=2. ∴A1E= 13,∴S 矩形 A1EFD1=4 13. 8.解 (1)直观图如图所示.

(2)方法一

由三视图可知该几何体是长方体被截去一个角,且该几何体的体积是以

3 A1A,A1D1,A1B1 为棱的长方体的体积的 , 4 在直角梯形 AA1B1B 中,作 BE⊥A1B1, 则 AA1EB 是正方形, ∴AA1=BE=1. 在 Rt△BEB1 中,BE=1,EB1=1, ∴BB1= 2. ∴几何体的表面积 S=S 正方形 AA1D1D+2S 梯形 AA1B1B+S 矩形 BB1C1C+S 正方形 ABCD+S 矩形 A1B1C1D1 1 2 =1+2× ×(1+2)×1+1× 2+1+1×2=7+ 2(m ). 2 3 3 3 ∴几何体的体积 V= ×1×2×1= (m ), 4 2 3 3 2 ∴该几何体的表面积为(7+ 2)m ,体积为 m . 2 方法二 几何体可以看作是以 AA1B1B 为底面的直四棱柱,其表面积求法同方法一, V 直四棱柱 D1C1CD-A1B1BA=Sh 1 3 3 = ×(1+2)×1×1= (m ). 2 2 3 3 2 ∴几何体的表面积为(7+ 2)m ,体积为 m . 2 9.解 (1)

由该几何体的俯视图、主视图、左视图可知,该几何体是四棱锥,且四棱锥的底面 ABCD 是边长为 6 和 8 的矩形,高 PO=4,O 点是 AC 与 BD 的交点. ∴该几何体的体积 1 V= ×8×6×4=64. 3 (2)如图所示,侧面 PAB 中,PE⊥AB,则 PE= PO +OE = 4 +3 =5, 1 1 ∴S△PAB= ×AB×PE= ×8×5=20, 2 2 侧面 PBC 中,PF⊥BC, 则 PF= PO +OF = 4 +4 =4 2.
2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 ∴S△PBC= ×BC×PF= ×6×4 2=12 2, 2 2 ∴该几何体的侧面积 S=2(S△PAB+S△PBC)=40+24 2.


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