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电磁场与电磁波课件 第3章1


第三章 静态电磁场 及其边值问题的解
李婷

主要内容
静电场分析 恒定电场分析 恒定磁场分析 惟一性定理 镜像法

3.1 静电场分析
静电场分析的基本变量
一个源变量 ρ 两个场变量 r 电场强度 E =

r q r 电通密度(或电位移矢量) D = e 2 R 4πR r r D = εE

q r e 2 R 4πεR

3.1.1 静电场的基本方程和边界条件 1. 基本方程
r r ∫ E ? dl = 0
l

∫S

r r D ? dS = Σq

积分形式 微分形式 本构方程

r ??D = ρ

r ?× E = 0
r r D = εE

2. 边界条件
v D 的法向分量边界条件 (the normal component)

D2n ? D1n = ρ s
ρ s 为分界面上自由电荷面密度,不包括极化电荷。 为分界面上自由电荷面密度,不包括极化电荷。
v 若边界面上不存在自由电荷, 法向连续。 若边界面上不存在自由电荷,则 D法向连续。

D1n = D2n

ε 1 E1n = ε 2 E2 n
D1t D2t

v E 的切向分量边界条件 (the tangential component)

E1t = E2t

v 在两种媒质分界面上, 切向连续。 在两种媒质分界面上, E 切向连续。

ε1

=

ε2

3.1.2 电位函数
电位:静电场中,单位正电荷自某点移至 无限远处电场力所作的功,称为该点的电 位。 ∞ r r 定义式:? = ∫ E ? dl
P

r r 如果Q点是电位参考点,则 ? P = ∫ E ? dl
P

Q

电位是相对值。 通常只要全部电荷都处在有限空间区域内, 选取无限远作为参考点,可带来很大的方 便。 点电荷在真空中产生的电位 ∞ r ∞ qdR q r q 1 ?=∫ e ? dl = ∫ = 2 R 2 4πε 0 R 4πε 0 R 4πε 0 r r r ?电位的计算也满足叠加原理 ?以无穷远为参考点时, n个点电荷产生的电位:

qi ?= ∑R 4πε 0 i =1 i

1

n

体电荷,面电荷和线电荷分布形成的电位:

? = ? = ? =

1 4 πε 1 4 πε 1 4 πε
0 0 0

∫ τ ∫
S

ρdτ
R

σ dS
R


l

ρ l dl
R

1. 电场强度与电位的关系
在球坐标系中 ?? r 1 ?? r 1 ?? r ?? = er + eθ + eφ ?r r ?θ r sin θ ?φ
r ? ? q ?r q r ?er = ? ?? = ? e = ?E 2 r ? 4πε r ? ?r ? 4πε 0 r 0 ?
?=
q 4πε 0 r

r E = ???

r 电位与电场强度的关系 E = ??? r r Σq 利用 ∫ S E ? dS = ε ,已知电荷求场强。如果高 斯面找不出来,或高斯面不规则,矢量积 分就很困难 r 这时就可以用 E = ??? 求场强 注意:
如果已知φ求E,则E是唯一的 如果已知E求φ,则φ不是唯一的。必须通过无 穷远点的φ=0来确定唯一的φ。

无限长线电荷的电位

ρl v er 2πε 0 r ρl ? ?P = (ln rQ ? ln rP ) 2πε 0
v E=

v E
P' Q

电位参考点不能位于无穷远点, 电位参考点不能位于无穷远点,否则表 达式无意义。 达式无意义。 根据表达式最简单原则,选取r =1柱面 根据表达式最简单原则,选取 柱面 为电位参考面, 为电位参考面,即 rQ = 1 得:

P

ρl ?P = ? ln rP 2πε 0

无限长线电流在空间中产生的电位

2. 电位的微分方程 电位的微分方程
r ρ 高斯定理的微分形式 ?? E =

r 电位与电场强度的关系 E = ???

ε0

ρ 真空中的泊松方程 ? ? = ? ε0 当 ρ = 0时,即场中无电荷分布,则
2

? ? =0
2

真空中的拉普拉斯方程

电位边界条件 (electric potential boundary condition)
在介质边界两边,电位分布同样遵照某种规律变化, 在介质边界两边,电位分布同样遵照某种规律变化,这种 变化规律即为电位的边界条件。 变化规律即为电位的边界条件。

v ?? ?? v ?? v ? E = ??? = ? et ? en ? Et = ? ?t ?t ?n ? ? ? v v v ? ? E = Et et + En en ? ? E = ? ?? ? n ?n ?

电位边界条件

D2n ? D = ρs?ε2E2n ?ε1E1n = ρs? ε 2 1n

?? 2 ?? ? ε1 1 = ρ S ?n ?n ??1 ?? 2 ? = 0 ? ?1 ? ? 2 = 0 E1t ? E2t = 0 ? ?t ?t

) n由2→1

电位的边界条件
?? 2 ??1 ε2 ? ε1 = ρS ?n ?n
?? 2 ??1 ε2 ? ε1 =0 ?n ?n ??1 ε1 = ?ρS ?n

?1 = ? 2

如果分界面上没有自由面电荷,则
?1 = ? 2

如果第二种媒质为导体,则
?1 = 常数


半径为a的带电导体球,已知球体电位为U (无穷远处电位为0),计算球内外空间的 电位函数和电场强度。 解:球外空间的电位满足拉普拉斯方程, 边界条件是r=a,φ=U;r→∞,φ=0。电位 及其电场均具有对称性,建立球坐标系

解:导体球是等势体。 导体球是等势体。

= ?? ??U 1a 时:?2v ? 1 ? ?? 1 ? 2? r ? 2? = ≤2 ? ( r E = ??? 2 0 )+ = ? ( sinθ )+ 2 ? 2 2 ? ?r r ?r r ? sinθ ?θ ?θ r ? sin θ ? φ r > a 时: c1 ? 1 d 2 d? ? ?? 2? = 0 ? r 2 dr (r dr ) = 0 ?? = ? r + c2 ? ? ? aU ? ? ?? r = a = U ? ? = ?? r = a = U ? ?? r = a = U r ? ? ? ?? r →∞ = 0 ?? r →∞ = 0 ?? r →∞ = 0 ? ? ? v v e? v ? eθ ? ? aU v )( ) + + E = ??? = ?(er ?r r ?θ r sin θ ?? r v aU = er 2 r

例:两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处,在两板之间的 ? 2?S0的均匀电荷分布。求两导体平板之间的电 ? 2? ? 2? 2 2 x=b处有一面电荷密度为ρ + ? ? =0 ??= 2 + 2 =0 2 ?x ?y ?z 位和电场。 y 解:在两块无限大接地导体平板之间,除x=b处有均 匀电荷分布外,其余空间无电荷分布,所以电位满足 拉普拉斯方程
?1 ( x) ? 2 ( x)
O b a x

d ?1 ( x) =0 2 dx 方程的解为
2

?21 = ? 2 d ? 2 ( x) ??1 = 0 ?? 2 ε 1dx 2 ? ε 2 = ρS
?n ?n
? 2 ( x) = C2 x + D2

?1 ( x) = C1 x + D1
利用边界条件

x = 0 ?1 (0) = 0 x = a ? 2 (a ) = 0 x = b ?1 (b) = ? 2 (b) ?? ( x) ?? ( x) ? ε0 2 = ρS 0 x = b ε0 1 ?x ?x

D1 = 0

C2 a + D2 = 0 C1b + D1 = C2b + D2

ρS 0 C1 ? C2 = ε0

C1 =

ρ S 0 ( a ? b) ε 0a ρ S 0b ε 0a

D1 = 0

C2 = ?
最后得

D2 =

ρ S 0b ε0
?1 ( x) = C1 x + D1 ? 2 ( x) = C2 x + D2

?1 ( x) =

ρ S 0 ( a ? b) x ε 0a

? 2 ( x) =

ρ S 0b (a ? x) ε 0a

r r d? ( x ) r ρ ( a ? b) = ?ex 1 = ?ex S 0 E1 ( x) = ???1 ( x) dx ε 0a r r d? 2 ( x ) r ρ S 0 b = ex E2 ( x) = ??? 2 ( x) = ?ex ε 0a dx

例:有一厚度为d,体密度为ρ的均匀带电无限大平板。求 空间I、II、III区域内的电位与电场强度分布。
解题步骤: 直角坐标系 建立坐标系 选择电位参考点 坐标原点 列方程,求解 根据边界条件确定待定常数
y I ?1 ( x) -d/2 II III ?3 ( x) d/2 x

? 2 ( x)
O

d 2?1 ( x ) =0 2 dx
方程的解为

d 2? 2 ( x) ρ =? dx 2 ε0

d 2?3 ( x) =0 2 dx

?1 ( x) = C1 x + D1

ρ 2 ? 2 ( x) = ? x + C2 x + D2 2ε 0

?3 ( x) = C3 x + D3

ρ ? ?=? ε0
2

? 2? = 0

? 2? ? 2? ? 2? ? 2? = 2 + 2 + 2 ?x ?y ?z

利用边界条件

?1 = ? 2 ??1 ?? 2 d ?ε2 = ρS x=? ?1 = ? 2 ε 1
?n 2 d ??1 ?? 2 x=? ε0 ? ε0 =0 2 ?x ?x d x= ? 2 = ?3 2 d ?? 2 ??3 x= ε0 ? ε0 =0 2 ?x ?x
x = 0 ?2 = 0 ?? 2 x=0 =0 ?x

?n

d ρd 2 d ? C1 + D1 = ? ? C2 + D2 2 8ε 0 2 ρd C1 = + C2 2ε 0 d ρd 2 d ? + C2 + D2 = C3 + D3 8ε 0 2 2 ρd ? + C 2 = C3 2ε 0

D2 = 0 C2 = 0
y I ?1 ( x) -d/2 II III ?3 ( x) d/2 x

?1 ( x) = C1 x + D1 ? 2 ( x) = ? ρ 2 x + C2 x + D2 2ε 0
?3 ( x) = C3 x + D3

? 2 ( x)
O

所以

ρd ρd 2 ?1 ( x) = x+ 2ε 0 8ε 0 ρ 2 ? 2 ( x) = ? x 2ε 0 ρd ρd 2 ?3 ( x) = ? x+ 2ε 0 8ε 0
电场强度为

y I ?1 ( x) -d/2 II

? 2 ( x)
O

III ?3 ( x) d/2 x

r r d? ( x ) r ρd = ?ex 1 = ?ex E1 ( x) = ???1 ( x) dx 2ε 0 r r d? 2 ( x) r ρd = ex x E2 ( x) = ??? 2 ( x) = ?ex ε0 dx r r d? ( x) r ρd = ex E3 ( x) = ???3 ( x) = ?ex 3 dx 2ε 0

3.1.3 电容(capacity) 电容( )
由物理学得知, 由物理学得知,平板电容器正极板上携带的 的比值是一个常数, 电量 q 与极板间的电位差 U 的比值是一个常数, 此常数称为平板电容器的电容, 此常数称为平板电容器的电容,即电容为 电容
q C= U

电容的单位F(法拉)太大。 电容的单位 (法拉)太大。例如半径大如地 球的弧立导体的电容只有0.708 × 10 ?3 F。实际中, 。实际中, 微法) 皮法) 通常取 ?F (微法)及 pF (皮法)作为电容单 位。
1?F = 10 ?6 F, 1 pF = 10 ?12 F

1. 双导体的电容计算
常用传输线,如平行板线、平行双导线、 常用传输线,如平行板线、平行双导线、同轴电 缆都是双导体系统 通常, 通常,它们的纵向尺寸远大于横向尺寸 因而,可作为平行平面电场(二维场)来研究, 因而,可作为平行平面电场(二维场)来研究, 只需计算传输线单位长度的电容。 只需计算传输线单位长度的电容。 计算步骤如下: 计算步骤如下:
根据导体的几何形状, 根据导体的几何形状,选取适当的坐标系 假定两导体上分别带电荷+q和 假定两导体上分别带电荷 和-q 根据假定的电荷求出E 根据假定的电荷求出 r 2 r 由 ∫1 E ? dl 求得电位差 求出比值C=q/U 求出比值

例 已知同轴线的内导体半径为 a,外导体的内半径为 ,内外导体之 ,外导体的内半径为b, 试求单位长度内外导体之间的电容。 间填充介质的介电常数为 ε 。试求单位长度内外导体之间的电容。 由于电场强度一定垂直于导体表面,因此, 解 由于电场强度一定垂直于导体表面,因此, 同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。 同轴线中电场强度方向一定沿径向方向 。 又
a

因结构对称,可以应用高斯定律。 因结构对称,可以应用高斯定律。
b

ε

设内导体单位长度内的电量为q, 设内导体单位长度内的电量为 ,围绕 内导体作一个圆柱面作为高斯面S, 内导体作一个圆柱面作为高斯面 ,则



S

E ? dS =

q

ε
b

E=
q

q er 2πεr

那么内外导体之间的电位差 U 为 因此同轴线单位长度内的电容为

U = ∫ Edr =
a

?b? ln? ? 2πε ? a ?

C=

q 2πε = U ?b? ln? ? ?a?

的带电导体球, 例:半径为a的带电导体球,求该导体球的电容。 半径为 的带电导体球 求该导体球的电容。 解:导体球是等势体,设导体球的电位是U。 导体球是等势体,设导体球的电位是 。 r > a 时:

c1 ? 1 d 2 d? ? ?? 2? = 0 ? r 2 dr (r dr ) = 0 ?? = ? r + c2 ? ? ? aU ? ? ?? r = a = U ? ? = ?? r = a = U ? ?? r = a = U r ? ? ? ?? r →∞ = 0 ?? r →∞ = 0 ?? r →∞ = 0 ? ? ? v v e? v ? eθ ? ? aU v v aU )( ) = er 2 = ?(er + + E = ??? ?r r ?θ r sin θ ?? r r r r aU r U σ = D r=a = ε0 D = ε0E = ε0 2 er r a

q C= U

q = 4πa2 ?σ = 4πaε0U

q ∴ C = = 4πε0a U

2. 部分电容
对于多导体之间的电容计算, 需要引入部分 对于多导体之间的电容计算 , 需要引入 部分 概念。 电容概念 多导体系统中, 电容概念。多导体系统中,每个导体的电位不仅 与导体本身电荷有关, 与导体本身电荷有关,同时还与其他导体上的电 荷有关,因为周围导体上电荷的存在必然影响周 荷有关, 围空间静电场的分布, 围空间静电场的分布,而多导体的电场是由它们 共同产生的。所谓部分电容,是指多导体系统中, 共同产生的。所谓部分电容,是指多导体系统中, 部分电容 一个导体在其余导体的影响下, 一个导体在其余导体的影响下,与另一个导体构 成的电容。 成的电容。

部分电容
若电容器由多个导体构成。则电容器之间、 若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容 单个导体上的电量 q = C? 两个导体存在,且考虑大地影响时,相当于3个导体的情况, 两个导体存在, 且考虑大地影响时 ,相当于 3 个导体的情况, 其中一个导体上的电量为

q1 = C12 ( ?1 ? ? 2 ) + C11?1

其中C 为导体1 间的电容, 其中 12为导体1,2间的电容,C11为导体与大地间的电容 N个导体存在 , 导体 上的电量与它和其它导体之间的电位差 个导体存在, 个导体存在 导体i上的电量与它和其它导体之间的电位差 包括大地)有关, (包括大地)有关,即有 ?2 C C
12 23

?1
C11

?3
C33

C13

C22

C 式中: 导体与地之间电容, 式中: ii 导体与地之间电容,称导体自电容 导体之间的电容, Cij 导体之间的电容,称导体互电容
说明: C 说明: ij = C ji

3.1.4 电场能量
1. 空间总电场能量 分布电荷总能量
空间电荷分布为 ρ ( r ),在空间中产生电位为? ( r )。 空间中总电场能量为: 空间中总电场能量为:

v

v

1 v v We = ∫ ρ (r )? (r )dV 2 V
关于空间总电场能量的说明: 关于空间总电场能量的说明:
此公式只适用于静电场能量求解; 此公式只适用于静电场能量求解; 公式中

v ρ (r ) 为空间中自由电荷分布; 为空间中自由电荷分布;

1 不表示电场能量密度; ρ?不表示电场能量密度; 2

为整个空间,但可退化到电荷分布区域。 积分范围 V 为整个空间,但可退化到电荷分布区域。

带电导体系统总能量
若电量为q的电荷分布在导体上, 若电量为 的电荷分布在导体上,导体电位为 ? ,则空间中总静 的电荷分布在导体上 电场能量为: 电场能量为:

对带电多导体系统

1 We = q? 2

q 式中: 导体上所带电量; 式中: i 为 i 导体上所带电量;

1 We = ∑ qi?i 2 i

?i 为 i 导体电位; 导体电位;
注意:上面所有的电荷都是指自由电荷,不包括束缚电荷。 注意:上面所有的电荷都是指自由电荷,不包括束缚电荷。

2. 电场能量密度

1 we = D ? E 2
对于各向同性的线性介质, 对于各向同性的线性介质, = ε E ,代入后得 D

1 we = ε E 2 2
则电场的总能量为

?1 ? We = ∫ ? D ? E ? dV V 2 ? ?

例 同轴线内外导体半径分别为 ,b,导体间部分填充介质, 同轴线内外导体半径分别为a, ,导体间部分填充介质, 如图所示。已知内外导体间电压为U。 介质介电常数为 ε ,如图所示。已知内外导体间电压为 。 导体间单位长度内的电场能量。 求:导体间单位长度内的电场能量。 解:设同轴线内导体单位长度带电量为 ρl

v 连续。 由边界条件知在边界两边 E 连续。 r r ∫ S D? dS = Σq ? θ1rlε E + (2π ? θ1 )rlε 0 E = Q v ρl v ?E= er [θ1ε + (2π ? θ1 )ε 0 ]r b v ρl b v ? U = ∫ E dr = ln a [θ1ε + (2π ? θ1 )ε 0 ] a

a

ε

θ1

b

ε0

[θ1ε + (2π ? θ1 )ε 0 ]U ? ρl = ln b ? ln a v U v ?E= er (ln b ? ln a)r

两种方法求电场能量: 两种方法求电场能量:

或应用导体系统能量求解公式

[θ1ε + (2π ? θ1 )ε 0 ]U ]U 1 ρl = We = ∑ qiU i ? Wel = 1 ρlU ln b ? ln a 2 i 2 1 U2 = [θ1ε + (2π ? θ1 )ε 0 ] 2 (ln b ? ln a ) 知识延展: 知识延展: 1 1 We = QU ? We = CU 2 2 2

对于由导体系统组成的电容器, 对于由导体系统组成的电容器,其总电场能量可采用如下方法求解

3.2 导电媒质中的恒定电场分析
恒定电场:恒定电流(运动电荷)产生的电场。 恒定电场:恒定电流(运动电荷)产生的电场。

一、恒定电场的基本方程 v v 恒定电场的基本量: 恒定电场的基本量:E J ?ρ v =0 v ?ρ ?t →? 电流连续性方程: 电流连续性方程: J + ? = 0 ??? J = 0 ?t v 恒定电场仍然是保守场, 恒定电场仍然是保守场,因此 ? × E = 0
小结: 小结:恒定电场基本方程为

v ? ?? J = 0 v ? ?? × E = 0 ?

?

∫ J ? dS = 0 ∫ E ? dl = 0
S

l

恒定电场中的基本方程

∫ E ? dl = 0 ∫ J ? dS = 0
l
S

?× E = 0
??J = 0

ρ ? ? =? ε0 E = ???
2

J = σE

二、恒定电场边界条件
用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知, 用类比关系推导恒定电场边界条件。比较可知,将静电场 v v 则两者基本方程形式完全相同。 基本方程中的 D 代换为 J ,则两者基本方程形式完全相同。 v J 的边界条件

v v v v ) J dS = 0 ? ( J1 ? J 2 ) n = 0 ∫S

v E 的边界条件 v ) v ) v v ∫ E dl = 0 ? E1 × n = E2 × n
l

? J1n = J 2 n

? E1t = E2t

电位边界条件

??2 ??1 = σ1 ? σ2 ?n ?n ?
? ? ?1 ? ? 2 = 0 ?

讨论: 讨论:

v v 在理想导体表面上,J 和 E 都垂直于边 在理想导体表面上,
界面。 界面。

tanθ1 σ1 = tanθ2 σ2 若 σ2 →∞ ,则 θ1 → 0 。

) v n J 1

θ1

v E1

σ1 σ2

v θ2 v E2 J 2

静电场和恒定电场性质比较: 静电场和恒定电场性质比较:
相同点: 相同点: 场性质相同,均为保守场。 场性质相同,均为保守场。 场均不随时间改变。 场均不随时间改变。 均不能存在于理想导体内部。 均不能存在于理想导体内部。

不同点: 源不同。静电场的源为静止电荷, 不同点: 源不同。静电场的源为静止电荷,恒定电场的源为 运动电荷。 运动电荷。 存在区域不同。静电场只能存在于导体外, 存在区域不同。静电场只能存在于导体外,恒定电 场可以存在于非理想导体内。 场可以存在于非理想导体内。


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