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2.1.1第1课时 参数方程的概念、圆的参数方程


第二讲 参数方程

一 曲线的参数方程 第1课时 参数方程的概念、圆的参数
方程

【自主预习】 1.曲线的参数方程的定义 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的 坐标x,y都是某个变数t的函数________①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点M(x,y)都在这
?x ? f ? t ? , ? ? y ? g(t)

条曲线上,那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程.变 参数 数t叫做参变数,简称_____.

2.圆的参数方程 圆心和半径 圆心O(0,0), 圆的坐标方程 x2+y2=r2 圆的参数方程
? x ? rcos?, ? ? y ? rsin? ? x ? a ? rcos?, ? ? y ? b ? rsin?

半径r
圆心C(a,b),

半径r

(x-a)2+(y-b)2=r2

【即时小测】
x ? ?1 ? 2cos?, 1.曲线 ? (θ 为参数)围成图形的面积等 ? ? y ? 3 ? 2sin?

于(
A.π

)
B.2π C.3π D.4π

? x ? ?1 ? 2cos?, 【解析】选D.曲线 ? ? y ? 3 ? 2sin?, x ? 1 ? 2cos?, 即? (θ为参数)表示圆心为(-1,3),半径 ? ? y ? 3 ? 2sin?,

为2的圆,所以面积等于4π.

? x ? t ? 1, 2.已知 ? (t为参数),若y=1,则x=________. 2 ?y ? t

【解析】若y=1,则t2=1,则t=〒1,x=0或2. 答案:0或2

【知识探究】 探究点 参数方程的概念、圆的参数方程

1.曲线的参数方程中参数的实际意义是什么? 提示:在曲线的参数方程中,参数可以有明确的几何意 义,也可以有明确的物理意义,如时间、旋转角等.当然 也可以是没有实际意义的变数.

2.圆的参数方程中参数的几何意义是什么?
? x ? rcos?, 提示:(1)圆的参数方程 ? 中参数θ的几何意 ? y ? rsin?

义: 射线Ox绕点O逆时针旋转到OM(M(x,y) 是圆上的任意一点)位置时转过的角度. 如图所示.

? x ? a ? rcos?, (2)圆的参数方程 ? 中参数θ的几何意义: ? y ? b ? rsin?

如图所示,设其圆心为C,CM0∥x轴,则参数θ的几何意 义是CM0绕点C逆时针旋转到CM(M(x,y)是圆上的任意一 点)位置时转过的角度.

【归纳总结】 1.曲线的参数方程的理解与认识 (1)参数方程的形式:曲线上点的横、纵坐标x,y都是变 量t的函数,给出一个t能唯一地求出对应的x,y的值,因 而得出唯一的对应点;但是横、纵坐标x,y之间的关系 并不一定是函数关系.

(2)参数的取值范围:在表示曲线的参数方程时,必须指 明参数的取值范围.因为取值范围不同,所表示的曲线 也会有所不同.

2.参数方程与普通方程的统一性

(1)参数的作用:参数是间接地建立横、纵坐标x,y之间
的关系的中间变量,起到了桥梁的作用. (2)参数方程与普通方程的转化:曲线的普通方程是相

对参数方程而言的,普通方程反映了坐标变量x与y之间
的直接联系,而参数方程是通过变数反映坐标变量x与y

之间的间接联系.

特别提醒:普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同 表达形式,参数方程可以与普通方程进行互化.

类型一

参数方程的表示与应用

? x ? 1 ? 2t, 【典例】已知曲线C的参数方程是 ? (t为参 2 ? y ? at ,

数,a∈R)点M(-3,4)在曲线C上. (1)求常数a的值. (2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上.

【解题探究】典例中如何求常数的值?如何判断点与曲

线的位置关系?
提示:为了求常数的值,只需将点M的横坐标和纵坐标分 别代入参数方程中的x,y,消去参数t,求a即可.要判断

点与曲线的位置关系,只要将点的坐标代入曲线的参数
方程检验即可,若点的坐标是方程的解,则点在曲线上,

否则,点不在曲线上.

【解析】(1)将点M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程
? x ? 1 ? 2t, ? 2 y ? at , ? ??3 ? 1 ? 2t, 得 ? 2 4 ? at , ?

消去参数t,解得a=1.

? x ? 1 ? 2t, (2)由上述可得,曲线C的参数方程是 ? 2 y ? t , ? ?1 ? 1 ? 2t, 将点(1,0)的坐标代入参数方程得 ? 得t=0, 2 ?0 ? t ,

因此点(1,0)在曲线C上.
?3 ? 1 ? 2t, 将点(3,-1)的坐标代入参数方程得 ? 2 ? 1 ? t , ?

方程组无解,因此点(3,-1)不在曲线C上.

【方法技巧】点与曲线的位置关系 (1)动点的轨迹:满足某种约束条件的动点的轨迹形成 曲线,点与曲线的位置关系有两种:点在曲线上,点不在 曲线上.

(2)对于曲线C的普通方程f(x,y)=0,若点M(x1,y1)在曲 线上,则点M(x1,y1)的坐标是方程f(x,y)=0的解,即有 f(x1,y1)=0.若点N(x2,y2)不在曲线上,则点N(x2,y2)的 坐标不是方程f(x,y)=0的解,即有f(x2,y2)≠0.

(3)对于曲线C的参数方程 ? ?
? y1 ? g(t)

?x ? f ? t ? ,

x1 ? f ? t ? , y1)在曲线上,则 ? 对应的参数t有解,否则无解, ?

? ?y ? g ? t ?,

(t为参数)若点M(x1,

即参数t不存在.

2 ? x ? t ? 1, (t为 【变式训练】已知曲线C的参数方程为 ? ? y ? 2t

参数).

(1)判断点A(1,0),B(3,2)与曲线C的位置关系. (2)若点M(10,a)在曲线C上,求实数a的值.

【解析】(1)把点A(1,0)的坐标代入方程组,解得t=0, 所以点A(1,0)在曲线上.
?3 ? t 2 ? 1, 把点B(3,2)的坐标代入方程组,得 ? ?2 ? 2t ? t ? ? 2, 即? 故方程组无解,所以点B不在曲线上. ? t ? 1,

?10 ? t 2 ? 1, (2)因为点M(10,a)在曲线C上,所以 ? 解得 a ? 2t, ? ? t ? 3, ? t ? ?3, 所以a=〒6. 或? ? ?a ? 6 ?a ? ?6.

类型二

求曲线的参数方程

【典例】长为3的线段两端点A,B分别在x轴正半轴和y
??? ? ??? ? 轴正半轴上滑动, AB ? 3AP, 点P的轨迹为曲线C.

(1)以直线AB的倾斜角α 为参数,求曲线C的参数方程. (2)求点P到点D(0,-2)距离的最大值.

【解题探究】典例中点P是线段AB的几等分点?如何建 立点的坐标的参数方程?如何求距离的最大值? 提示:点P是线段AB的一个三等分点,利用三角函数建立 点的坐标的参数方程.建立距离的目标函数,转化为二 次函数求最大值.

【解析】(1)设P(x,y),由题意,得
2 x ? AB cos ? ? ? ? ? ? ?2cos ?, 3 1 y ? AB sin ? ? ? ? ? ? sin ?, 3 ? x ? ?2cos ?, ? 所以曲线C的参数方程为 ? (?为参数, <?<?) 2 ? y ? sin ?.

(2)由(1)得|PD|2=(-2cosα)2+(sinα+2)2= 4cos2α+sin2α+4sinα+4=-3sin2α+4sinα+8=
2 2 28 ?3(sin? ? ) ? . 3 3 当 sin ? ? 2 时,|PD|取得最大值 2 21 . 3 3

【方法技巧】求曲线的参数方程的注意事项 (1)求曲线的参数方程关键是确定参数,本题以线段所 在直线的倾斜角为参数,通过解直角三角形得到曲线上 动点坐标的三角函数方程.

(2)求两点间距离的最大值的关键是利用参数方程建立 目标函数,通过配方法求函数的最值,要注意函数的定 义域.

【变式训练】1.若x=t-1(t为参数),求直线x+y-1=0的 参数方程. 【解析】把x=t-1代入x+y-1=0,得y=-t+2,
x ? t ?1 , 所以直线x+y-1=0的参数方程为 ? (t为参数) ? ? y ? ? t ? 2.

2.已知边长为a的等边三角形ABC的顶点A在y轴的非负 半轴上移动,顶点B在x轴的非负半轴上移动,求顶点C在 第一象限内的轨迹的参数方程.

【解析】如图,设C(x,y),∠ABO=θ, 过点C作x轴的垂线段CM,垂足为M. 2? ? ?, 则 ?CBM ? 3
2? ? x ? acos ? ? acos( ? ?), ? 3 所以 ? ? ? y ? asin( 2? ? ?) ? 3 ?

? (θ为参数,0≤θ≤ )为所求. 2

类型三

圆的参数方程与应用
? x ? ?4 ? cos t, ? ? y ? 3 ? sin t

【典例】(2016·漳州高二检测)已知曲线C1:
? x ? 8cos?, (t为参数),C2: ? (θ 为参数). ? y ? 3sin?

(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什 么曲线.

? (2)若C1上的点P对应的参数为t= ,Q为C2上的动点, 2 ? x ? 3 ? 2t, 求PQ中点M到直线C3: ? (t为参数)距离的最小值. ? y ? ?2 ? t

【解题探究】(1)如何根据参数方程判断曲线的形状? 提示:将参数方程化为普通方程再判断曲线形状. (2)如何求点到直线距离的最小值? 提示:利用参数方程化为三角函数的最小值求解.

x ? ?4 ? cos t, (t为参数) 【解析】(1)由曲线C1:? ?
? x ? 4 ? cos t, 得? 利用三角函数的平方和公式消去参数t, ? y ? 3 ? sin t,

? y ? 3 ? sin t

得C1:(x+4)2+(y-3)2=1, 曲线C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆.
2 2 x y 同理,得C2: ? ? 1,曲线C2为中心是坐标原点,焦点 64 9

在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆.

(2)当t= ? 时,P(-4,4),Q(8cosθ,3sinθ),
2

故 M( ? 2 ? 4cos?, 2 ? 3 sin?).
2

C3为直线x-2y-7=0, M到C3的距离d= 5 |4cosθ-3sinθ-13|=
5 8 5 当cos(θ+φ)=1时,d取得最小值 5 . 5 |5cos(θ+φ)-13|, 5

【方法技巧】 (1)圆的参数方程中的参数是角,所以圆上的点的坐标 是三角函数. (2)与距离有关的最大值或最小值问题,常常利用圆的 参数方程转化为三角函数解决.

【变式训练】 1.(2016·合肥高二检测)设曲线C的参数方程为
? x ? 2 ? 3cos?, (θ 为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则 ? ? y ? ?1 ? 3sin? 曲线C上到直线l距离为 7 10 的点的个数为 ( ) 10

A.1

B.2

C.3

D.4

? x ? 2 ? 3cos?, 【解析】选B.曲线C: ? (θ为参数)的普通方 ? y ? ?1 ? 3sin?

程为(x-2)2+(y+1)2=9, 表示圆心C(2,-1),r=3的圆, 由于圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离为
d? 2?3? 2 10 7 7 10 ? ? , 10 10

又r-2d= 3 ? 14 10 ? 30 ? 14 10 ? 0, 所以r-d<d,
10 所以圆C上到l距离为 7 10 的点有2个. 10 10

2.已知点

1 3 P( , ), 2 2

? x ? cos ?, (?为参数)上的动点, Q是圆 ? ? y ? sin ?

则|PQ|的最大值是________.

【解析】由题意,设点Q(cosθ,sinθ),
3 2 2 则 PQ ? (cos ? ? 1 ) ? (sin ? ? ) 2 2

? 2 ? 3sin ? ? cos ? ? ? 2 ? 2sin(? ? ) , 6

故|PQ|max= 答案:2

2 ? 2 ? 2.

自我纠错

参数方程表示曲线的判断
1 ? ?x ? t ? , t ? ? ?y ? 2

【典例】(2016·漳州高二检测)参数方程为 (t为参数)表示的曲线是 A.一条直线 C.一条射线 ( )

B.两条直线 D.两条射线

【失误案例】

分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:出错的根本原因是忽视了参数的取值范围从而导 致缩小了x的取值范围. 正确解答过程如下:

1 ? x?t? , ? 【解析】选D.由参数方程 ? t (t为参数),得t≠0, ? ?y ? 2 1 当t>0时,x=t+ ≥2; t 当t<0时,x= t ? 1 ? ?( ? t ? 1 ) ? ?2. t ?t

所以参数方程化为普通方程为 y=2(x≤-2或x≥2),所以表示两条射线.


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