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2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学及答案-宁夏卷


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2007 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)

理 科 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.第 II 卷第 22 题为选考题, 其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准 考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 , , xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n

? ( xn ? x)2 ]

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积、 h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4πR2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3 πR 3

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则( A. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 C. ?p : ?x ? R , sin x ? 1 )

B. ?p : ?x ? R , sin x ≥1 D. ?p : ?x ? R , sin x ? 1

,,b ? (1 , ? 1) ,则向量 2.已知平面向量 a ? (11) ? 1) A. (?2, 1) B. (?2, , 2) D. (?1

1 3 a? b?( 2 2



, 0) C. (?1

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3.函数 y ? sin ? 2 x ?

? ?

π? ? π ? ? 在区间 ? ? ,π ? 的简图是( 3? ? 2 ?
1



y
? ? 3

y

1
? 6

? ? 2

O
?1

?

x

?

? ?? O 3 2

?1

? 6

? x

A.

B.

y

y
?
? 3

1
? ? 2 ? ? O 6

?

x

?

?1

? 2

? 6

1
? 3

O

? x

?1
D.

C. 4.已知 ?an ? 是等差数列, a10 ? 10 ,其前 10 项和

开始

S10 ? 70 ,则其公差 d ? (
2 A. ? 3 1 B. ? 3



k ?1 S ?0


2 D. 3 5 .如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ?
( ) A.2450 C.2550
2

1 C. 3

B.2500 D.2652

k ≤ 50?

? 是
S ? S ? 2k

6.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F , 点P ,y1 ),P2 ( x2,y2 ) , P ,y3 ) 在抛物线上, 1 ( x1 3 ( x3 且 2 x2 ? x1 ? x3 , 则有( A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP 2 ? FP 1 ? FP 3 ) B. FP 1 ? FP 2 D. FP2
2 2 2

输出 S 结束

k ? k ?1

? FP3

2

? FP · FP3 1

7.已知 x ? 0 , y ? 0 , x,a,b,y 成等差数列, x,c,d,y 成等比数列,则 最小值是( ) A. 0 B. 1

( a ? b) 2 的 cd

C. 2

D. 4

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8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出 的尺寸(单位: cm) ,可得这个几何体的体积是 ( )

4000 3 cm A. 3 8000 3 cm B. 3
C. 2000cm D. 4000cm 9. 若
3

20

20 正视图

20 侧视图

3

10 10 20 俯视图

c os2 ? 2 o s ?? s i n , 则c ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?


? 的值

为( A. ?

7 2
1 x

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

7 2


10.曲线 y ? e 2 在点 (4,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( A.

9 2 e 2
甲的成绩

B. 4e

2

C. 2e

2

D. e

2

11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 乙的成绩 10 5 环数 频数 7 6 8 4 9 4 10 6 环数 频数 丙的成绩 7 4 8 6 ) 9 6 10 4 环数 频数 7 5 8 5 9 5

s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有(
A. s3 ? s1 ? s2 C. s1 ? s2 ? s3 B. s2 ? s1 ? s3 D. s2 ? s3 ? s1

12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且 底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等. 设四棱锥、 三棱锥、 三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h ? ( A. 3 :1:1 B. 3 : 2 : 2 ) D. 3 : 2 : 3

C. 3 : 2 : 2

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 第 13 题-第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须做 答,第 22 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

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13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 .

( x ? 1)( x ? a) 为奇函数,则 a ? . x ?5 ? 10i ? 15. i 是虚数单位, . (用 a ? bi 的形式表示, a,b ? R ) 3 ? 4i
14.设函数 f ( x) ? 16.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个 班,不同的安排方法共有 种. (用数字作答) 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D .现 测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

S

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边 三角形, ?BAC ? 90° , O 为 BC 中点. (Ⅰ)证明: SO ? 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 A ? SC ? B 的余弦值. 19. (本小题满分 12 分)

O
B A

C

在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 同的交点 P 和 Q . (I)求 k 的取值范围;

x2 ? y 2 ? 1有两个不 2

(II)设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 A,B ,是否存在常数 k ,使得向量

OP ? OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由.

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20. (本小题满分 12 分) 如图, 面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M , 可按下面方法估计 M 的面积: 在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计

m S ,假设正方形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投 n 掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. C D (I)求 X 的均值 EX ; (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际
值为

????) 内的概率. 值之差在区间 (?0.03,
附表: P(k ) ?

M

?C
t ?0

k

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
2424

A

B

k

2425 0.0423

2574 0.9570

2575 0.9590

P(k )

0.0403

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 (I)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e . 2

22.请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 P 如图,已知 AP 是 O 的切线, P 为切点, AC 是 O 的割线,与 O 交于 B,C 两点,圆心 O 在 ?PAC 的 内部,点 M 是 BC 的中点. ,P,O,M 四点共圆; (Ⅰ)证明 A (Ⅱ)求 ?OAM ? ?APM 的大小.

A B M

O

C

22.B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

O1 和 O2 的极坐标方程分别为 ? ? 4cos ?,? ? ?4sin ? .
(Ⅰ)把

O1 和 O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; O1 , O2 交点的直线的直角坐标方程.

(Ⅱ)求经过

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22.C(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 ;不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ?1 ? x ? 4 . (I)解不等式 f ( x) ? 2 ; (II)求函数 y ? f ( x) 的最小值.

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理科数学试题参考答案
一、选择题 1.C 2.D 7.D 8.B 二、填空题 13. 3 14. ?1 三、解答题

3.A 9.C 15. 1 ? 2i

4.D 10.D 16.240

5.C 11.B

6.C 12.B

17.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ?

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s · sin ? ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s · tan ? sin ? . sin(? ? ? )
S

在 Rt△ ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ?

18.证明: (Ⅰ) 由题设 AB= AC = SB= SC ? SA , 连结 OA ,△ ABC 为等腰直角三角形,所以 OA ? OB ? OC ?

2 ,且 SA 2
O
B

M

AO ? BC ,又 △ SBC 为等腰三角形,故 SO ? BC ,且

C
A

SO ?

2 SA ,从而 OA2 ? SO2 ? SA2 . 2

所以 △ SOA 为直角三角形, SO ? AO . 又 AO BO ? O . 所以 SO ? 平面 ABC . (Ⅱ)解法一: , OM 取 SC 中 点 M , 连 结 A M , 由 ( Ⅰ ) 知 S O? O M? S , C A ?M .S C

O , C

? SA

A得 C ,

∴ ?OMA 为二面角 A ? SC ? B 的平面角. 由 AO ? BC,AO ? SO,SO BC ? O 得 AO ? 平面 SBC .
所以 AO ? OM ,又 AM ?

3 SA , 2

故 sin ?AMO ?

AO 2 6 . ? ? AM 3 3
3 . 3

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

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解法二: 以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角坐标系

O ? xyz .
, 0, 0) ,则 C (?1 , 0,, 0) A(0, 1 ,, 0) S (0, 0, 1) . 设 B(1

1? 1? ?1 ?1 ? 1 1? SC 的中点 M ? ? , 0, ? , MO ? ? , 0, ? ?, MA ? ? , 1 , ? ?, SC ? (?1 , 0, ? 1) . 2? 2? ?2 ?2 ? 2 2?

∴MO · SC ? 0, MA · SC ? 0 .
故 MO ? SC,MA ? SC,< MO, MA ? 等 于 二 面 角

z

S

A ? SC ? B 的平面角.

M

cos ? MO , MA ??

MO · MA MO· MA

?

3 , 3

O

C
A y

所以二面角 A ? SC ? B 的余弦值为

3 . 3

x

B

19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,

代入椭圆方程得

x2 ? (kx ? 2) 2 ? 1 . 2


整理得 ?

?1 ? ? k 2 ? x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 ?2 ?

直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 ? ? 8k ? 4 ?
2

?1 ? ? k 2 ? ? 4k 2 ? 2 ? 0 , ?2 ?

解得 k ? ?

? ? 2? ? 2 2 2 ? , ? ∞? 或k ? .即 k 的取值范围为 ? ?∞, ? ? ? ? ? ?. 2 ? ? 2 2 2 ? ?

(Ⅱ)设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2,y1 ? y2 ) , 由方程①, x1 ? x2 ? ?

4 2k . 1 ? 2k 2



又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 . 而 A( 2 ,, 0) B(01) ,, AB ? (? 21) ,.



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所以 OP ? OQ 与 AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ) , 将②③代入上式,解得 k ?

2 . 2

由(Ⅰ)知 k ? ?

2 2 或k ? ,故没有符合题意的常数 k . 2 2

20.解: 每个点落入 M 中的概率均为 p ? 依题意知 X ~ B ?10000, ? . (Ⅰ) EX ? 10000 ?

1 . 4

? ?

1? 4?

1 ? 2500 . 4

(Ⅱ)依题意所求概率为 P ? ?0.03 ?

? ?

X ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? , 10000 ?

X ? ? P ? ?0.03 ? ? 4 ? 1 ? 0.03 ? ? P(2425 ? X ? 2575) 10000 ? ? ?
2574

t ? 2426 2574

?C

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t
t ? ? C10000 ? 0.25t ? 0.7510000?1 t ?0 2425

?

t ? 2426

?C

t 10000

? 0.25 ? 0.75
t

10000 ?t

? 0.9570 ? 0.0423 ? 0.9147 .
21.解: (Ⅰ) f ?( x) ?

1 ? 2x , x?a 3 . 2

依题意有 f ?(?1) ? 0 ,故 a ? 从而 f ?( x) ?

2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? . 3 3 x? x? 2 2

3 ? 3 ? f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ∞? ,当 ? ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ; 2 ? 2 ?
当 ?1 ? x ? ?

1 时, f ?( x) ? 0 ; 2

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当x??

1 时, f ?( x) ? 0 . 2

从而, f ( x ) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

(Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 (?a, ? ∞) , f ?( x) ?
2 2

2 x 2 ? 2ax ? 1 . x?a

方程 2 x ? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a ? 8 . (ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 . 若a ?

2 , x ? (? 2,∞ ? ) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1)2 . x? 2

当x?? 无极值.

? ? 2? ? 2 2 ? ? ? , ? ∞ 时,f ?( x) ? 0 , 当 x ? ? ? 2, 所以 f ( x ) ? ? ? ? ? ? 2 ? 时,f ( x) ? 0 , 2 2 ? ? ? ?

若 a ? ? 2 , x ?( 2 ,∞ ? ) , f ?( x) ? (ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

( 2 x ? 1)2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2

2 或 a ? ? 2 , 则 2 x2 ? 2a x? 1 ? 0 有两个不同的实根

x1 ?

?a ? a 2 ? 2 ?a ? a 2 ? 2 , x2 ? . 2 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点,故 f ( x ) 无极 值. 当a ?

2 时, x1 ? ?a , x2 ? ?a , f ?( x ) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点,由根值

判别方法知 f ( x ) 在 x ? x1,x ? x2 取得极值. 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,∞ ? ).

f ( x) 的极值之和为
1 e f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln 2 2
. 22.A

P

A B

O
M

C

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(Ⅰ)证明:连结 OP,OM . 因为 AP 与 O 相切于点 P ,所以 OP ? AP . 因为 M 是 O 的弦 BC 的中点,所以 OM ? BC . 于是 ?OPA ? ?OMA ? 180° . ,P,O,M 四点共圆. 由圆心 O 在 ?PAC 的内部, 可知四边形 APOM 的对角互补, 所以 A ,P,O,M 四点共圆,所以 ?OAM ? ?OPM . (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A 由(Ⅰ)得 OP ? AP . 由圆心 O 在 ?PAC 的内部,可知 ?OPM ? ?APM ? 90° . 所以 ?OAM ? ?APM ? 90° . 22.B 解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单 位. (Ⅰ) x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,由 ? ? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? . 所以 x 2 ? y 2 ? 4 x . 即 x ? y ? 4x ? 0 为
2 2 2 2

O1 的直角坐标方程. O2 的直角坐标方程.

同理 x ? y ? 4 y ? 0 为

(Ⅱ)由

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x1 ? 0,? x2 ? 2 ? 解得 ? . ? ? 2 2 ? ? y1 ? 0, ? y2 ? ?2 ?x ? y ? 4 y ? 0



0) 和 (2, ? 2) .过交点的直线的直角坐标方程为 y ? ? x . O1 , O2 交于点 (0,
y

22.C解: (Ⅰ)令 y ? 2x ?1 ? x ? 4 ,则

1 ? x≤? , ? ? x ? 5, 2 ? 1 ? y ? ?3 x ? 3, ? ? x ? 4, . . . . . . . . . . . . . . .3 分 2 ? ? x ? 5, x ≥ 4. ? ?

y?2
O 1 ? 2
4

x

2) 和 ? , 作出函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图象,它与直线 y ? 2 的交点为 (?7, 2? .
所以 2x ?1 ? x ? 4 ? 2 的解集为 (? x, ? 7)

?5 ?3

? ?

?5 ? ? x?. ? , ?3 ?
1 时, y ? 2x ?1 ? x ? 4 取得最小 2

(Ⅱ)由函数 y ? 2x ?1 ? x ? 4 的图像可知,当 x ? ?

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值?

9 . 2


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