当前位置:首页 >> 数学 >>

51南通中学2012-2013学年高三(上)期中数学试卷(理科)

2012-2013 学年江苏省南通中学高三 (上) 期中数学试卷 (理 科)
一、填空题(每小题 5 分,共 70 分) 1. 分)已知集合 A={x||x﹣3|≤1},B={x|x ﹣5x+4≥0},则 A∩B= (5
2

{4} .

考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 2 分析: 根据题意,解|x﹣3|≤1 可得 2≤x≤4,即可得集合 A,解 x ﹣5x+4≥0 可得集合 B,由交 集的定义,即可得答案. 解答: 解:根据题意,对于集合 A,|x﹣3|≤1?2≤x≤4,则 A={x|2≤x≤4}, 对于集合 B,由 x ﹣5x+4≥0?x≤1 或 x≥4,则 B={x|x≤1 或 x≥4}, 则 A∩B={4}, 故答案为{4}. 点评: 本题考查集合交集的计算,关键是正确解出不等式,得到集合 A、B. 2. 分)已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”的否命题是 若 a+b+c≠3,则 (5 2 2 2 a +b +c <3 . 考点: 四种命题. 专题: 综合题. 分析: 若原命题是“若 p,则 q”的形式,则其否命题是“若非 p,则非 q”的形式,由原命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”,根据否命题的定义给出答案. 解答: :根据四种命题的定义, 解: 命题“若 a+b+c=3,则 a +b +c ≥3”的否命题是“若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3” 2 2 2 故答案为:若 a+b+c≠3,则 a +b +c <3 点评: 本题考查的知识点是四种命题, 熟练掌握四种命题的定义及相互之间的关系是解答本 题的关键.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3. 分)已知 (5

,则

=



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 计算题. 分析: 根据诱导公式可知 的值代入即可求得答案. 解答: 解: =sin( 故答案为:﹣

=sin (

﹣α﹣

) 进而整理后, sin , 把 (α+



﹣α﹣

)=﹣sin(α+

)=﹣

点评: 本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题.属基础题.
1

4. 分)函数 y=x﹣2lnx 的单调减区间为 (0,2) . (5 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间,可以先算出函数 f(x)=x﹣2lnx 的导数,再解不等式 f′(x)<0,可得出函数的单调减区间. 解答: 解:求出函数 f(x)=x﹣2lnx 的导数:

而函数的单调减区间就是函数的导数小于零的区间 由 f′(x)<0,得(0,2) 因为函数的定义域为(0,+∞) 所以函数的单调减区间为(0,2) 故答案为: (0,2) 点评: 本题的考点是利用导数研究函数的单调性,解题的关键是求导函数,在做题时应该避 免忽略函数的定义域而导致的错误.

5. 分)已知| |= (5 λ 的值为

,| |=3, 和 的夹角为 45°,若向量(λ + )⊥( +λ ) ,则实数 .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 先利用两个向量的数量积的定义求出 ? 的值,再由两个向量垂直的性质可得 (λ + )?( +λ )=0,解方程求得实数 λ 的值. 解答: 解:∵已知| |= ∴ ? = ,| |=3, 和 的夹角为 45°,

?3cos45°=3. + +1) (λ
2

由向量 (λ + ) ( +λ ) 可得 (λ + ) +λ ) 即 λ ⊥ , ? ( =0, 即 2λ+3(λ +1)+9λ=0,解得 λ= 故答案为 .
2



=0,



点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,两个向量垂直的性质,属于中档题. 6. 分)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4) (5 ,当 x∈(﹣2,0)时,f(x)=2 ,则 f(2012)﹣f(2013)=
x



2

考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,可得 f(0)=0;对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4) , 可得函数的周期为 4,由此可得结论. 解答: 解:由题意,函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴f(0)=0 ∵对任意 x∈R 都有 f(x)=f(x+4) ,∴函数的周期为 4,∴f(2012)=f(4×503)=f (0)=0 ∵当 x∈(﹣2,0)时,f(x)=2 ,∴f(﹣1)= ,∴f(1)=﹣ ∴f(2013)=f(4×503+1)=f(1)=﹣ ∴f(2012)﹣f(2013)= 故答案为: 点评: 本题考查函数的奇偶性与周期性,考查学生的计算能力,属于基础题. 7. 分) (5 ,设{an}是正项数列,其前 n 项和 Sn 满足:4Sn=(an﹣1) n+3) (a ,则数列{an}的 通项公式 an= 2n+1 . 考点: 数列的概念及简单表示法. 分析: 把数列仿写一个,两式相减,合并同类型,用平方差分解因式,约分后得到数列相邻 两项之差为定值,得到数列是等差数列,公差为 2,取 n=1 代入 4Sn=(an﹣1) n+3) (a 得到首项的值,写出通项公式. 解答: 解:∵4Sn=(an﹣1) n+3) (a , ∴4sn﹣1=(an﹣1﹣1) n﹣1+3) (a , 2 2 两式相减得整理得:2an+2an﹣1=an ﹣an﹣1 , ∵{an}是正项数列, ∴an﹣an﹣1=2, ∵4Sn=(an﹣1) n+3) (a , 令 n=1 得 a1=3, ∴an=2n+1, 故答案为:2n+1. 点评: 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的地 位.高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏.
x

8. 分)已知命题 p: (5
2

在 x∈(﹣∞,0]上有意义,命题 q:函数 y=lg

(ax ﹣x+a) 的定义域为 R. 如果 p 和 q 有且仅有一个正确, a 的取值范围 (﹣∞, ]∪ 则 (1,+∞) . 考点: 命题的真假判断与应用.
3

专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 2 由函数 在 x∈(﹣∞,0]上有意义可得 p;由函数 y=lg(ax ﹣x+a) 的定义域为 R.可得 ax ﹣x+a>0 恒成立,结合二次函数的性质可求 q,而 p 和 q 有 且仅有一个正确即是①p 正确而 q 不正确,②q 正确而 p 不正确,两种情况可求 a 的 范围 x 解答: 解:x∈(﹣∞,0]时,3 ∈(0,1], ∵函数 ∴1﹣a?3 ≥0,∴a≤
x 2

在 x∈(﹣∞,0]上有意义, ,

∴a≤1, 即使 p 正确的 a 的取值范围是:a≤1. 分) (2 由函数 y=lg(ax ﹣x+a)的定义域为 R.可得 ax ﹣x+a>0 恒成立 2 (1)当 a=0 时,ax ﹣x+a=﹣x 不能对一切实数恒大于 0. 2 (2)当 a≠0 时,由题意可得,△ =1﹣4a <0,且 a>0 ∴a> . 故 q 正确:a> . 分) (4
2 2

①若 p 正确而 q 不正确,则

,即 a≤ , 分) (6

②若 q 正确而 p 不正确,则

,即 a>1, 分) (8

故所求的 a 的取值范围是: (﹣∞, ]∪(1,+∞) . 故答案为: (﹣∞, ]∪(1,+∞) . 点评: 本题考查命题的真假判断和应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意函 数的定义域的合理运用. 9. 分)设函数 y=sinx(0≤x≤π)的图象为曲线 C,动点 A(x,y)在曲线 C 上,过 A 且 (5 平行于 x 轴的直线交曲线 C 于点 B(A、B 可以重合) ,设线段 AB 的长为 f(x) ,则函数 f (x)单调递增区间 [ ] .

4

考点: 正弦函数的图象;正弦函数的单调性. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 依题意,对 x∈[0, ]与 x∈[ ,π]讨论即可. 解答: 解:依题意得 f(x)=|AB|, (0≤|AB|≤π) . 当 x∈[0, ∴[0, 当当 x∈[ ∴[ ]时,|AB|由 π 变到 0,

]为 f(x)单调递减区间; ,π]时,|AB|由 0 变到 π,

,π]为 f(x)单调递增区间. ,π].

故答案为:[

点评: 本题考查正弦函数的图象与性质, 考查数形结合思想与分析问题的能力, 属于中档题.

10. 分) (5 (2010?苏州模拟)当 围是 .

时,

恒成立,则实数 a 的取值范

考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 由题意当 时, 成立问题,从而求解. 解答: 解:∵当 时, ∴﹣ ≤ax﹣2x ≤ ,
3

恒成立,可得﹣ ≤ax﹣2x ≤ ,化为两个恒

3

恒成立,

∴ax﹣2x + ≥0 和 ax﹣2x ﹣ ≤0,在[0, ]上恒成立;

3

3



,下求出 2x ﹣

2

的最大值和 2x +

2

的最小值,

∵ ∴a≥﹣ ; ∵

,∵2x ﹣

2



上增函数,∴2x ﹣

2

≤2× ﹣1=﹣ ,

,∵2x +

2

≥2× +1= ,∴a≤ ,

5

∴ 故答案为:

, .

点评: 此题考查绝对值不等式的性质及函数的恒成立问题,这类题目是高考的热点,难度不 是很大,要注意函数的增减性. 11. 分)已知存在实数 a,满足对任意的实数 b,直线 y=﹣x+b 都不是曲线 y=x ﹣3ax 的 (5 切线,则实数 a 的取值范围是 .
3

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 计算题. 分析: 由直线 y=﹣x+b 得直线斜率为﹣1,直线 y=﹣x+b 不与曲线 f(x)相切知曲线 f(x) 上任一点斜率都不为﹣1,即 f′(x)≠﹣1,求导函数,并求出其范围[﹣3a,+∞) , 得不等式﹣3a>﹣1,即得实数 a 的取值范围. 3 2 解答: 解:设 f(x)=x ﹣3ax,求导函数,可得 f′(x)=3x ﹣3a∈[﹣3a,+∞) , 3 ∵存在实数 a,满足对任意的实数 b,直线 y=﹣x+b 都不是曲线 y=x ﹣3ax 的切线, ∴﹣1?[﹣3a,+∞) ,∴﹣3a>﹣1,即实数 a 的取值范围为 故答案为: 点评: 本题考查导数知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.

12. 分) (5 (2008?辽宁)设

,则函数

的最小值为



考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据二倍角公式对函数进行化简,然后取点 A(0,2) ,B(﹣sin2x,cos2x)且在 2 2 x +y =1 的左半圆上,将问题转化为求斜率的变化的最小值问题,进而看解. 解答: 解:∵ , 取 A(0,2) ,B(﹣sin2x,cos2x)∈x +y =1 的左半圆,如图 易知 故答案为: . .
2 2

6

点评: 本小题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题. 考查知识的综合运用能力 和灵活能力. 13. 分)设实数 a>1,若仅有一个常数 c 使得对于任意的 x∈[a,3a],都有 y∈[a,a ]满 (5 足方程 logax+logay=c,这时,实数 a 的取值的集合为 {3} . 考点: 对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 x>0,y>0, ,作出其图象如图所示,进而得出 及 a>1,
2

c 只有一个值.解出即可. 解答: 解:∵logax+logay=c,∴x>0,y>0, 由图象可以看出:函数

. (a>1) ,作出其函数图象:

在区间[a,3a]上单调递减,

∴必有

及 a>1,c 只有一个值.解得 c=3,a=3.适合题意.

∴实数 a 的取值的集合为{3}.

点评: 由题意确定函数的单调性和画出其图象是解题的关键.
7

14. 分)已知函数 (5

,把函数 g(x)=f(x)﹣x+1

的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10= 45 . 考点: 数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: 函数 y=f(x)与 y=x 在(0,1], (1,2], (2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交点依 次为(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)(4,4) , , , , ,…, (n+1,n+1) .即方程 f(x) ﹣x=0 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的根依次为 3,4,…n+1.方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,…,可得数列通项公式. x﹣1 解答: 解:当 0<x≤1 时,有﹣1<x﹣1<0,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 , 当 1<x≤2 时,有 0<x﹣1≤1,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +1, x﹣3 当 2<x≤3 时,有 1<x﹣1≤2,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +2, x﹣4 当 3<x≤4 时,有 2<x﹣1≤3,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +3, x﹣n﹣1 以此类推,当 n<x≤n+1(其中 n∈N)时,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2 +n, x 所以,函数 f(x)=2 的图象与直线 y=x+1 的交点为: (0,1)和(1,2) , x 由于指数函数 f(x)=2 为增函数且图象下凸,故它们只有这两个交点. 然后: x ①将函数 f(x)=2 和 y=x+1 的图象同时向下平移一个单位, x 即得到函数 f(x)=2 ﹣1 和 y=x 的图象, 取 x≤0 的部分,可见它们有且仅有一个交点(0,0) . 即当 x≤0 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=0. ②取①中函数 f(x)=2 和 y=x 图象﹣1<x≤0 的部分, 再同时向上和向右各平移一个单位, 即得 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象, 此时它们仍然只有一个交点(1,1) . 即当 0<x≤1 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=1. ③取②中函数 f(x)=2 和 y=x 在 0<x≤1 上的图象, 继续按照上述步骤进行, 即得到 f(x)=2 +1 和 y=x 在 1<x≤2 上的图象, 此时它们仍然只有一个交点(2,2) . 即当 1<x≤2 时,方程 f(x)﹣x=0 有且仅有一个根 x=2. ④以此类推,函数 y=f(x)与 y=x 在(2,3], (3,4],…, (n,n+1]上的交点依次为(3,3)(4,4) , ,… (n+1,n+1) . 即方程 f(x)﹣x=0 在(2,3], (3,4],…(n,n+1]上的根依次为 3,4,…,n+1. 综上所述方程 f(x)﹣x=0 的根按从小到大的顺序排列所得数列为: 0,1,2,3,4,…, 其通项公式为:an=n﹣1, 前 n 项的和为 Sn= ∴S10=45.
8
x﹣2 x﹣1 x﹣1 x﹣1 x﹣2



故答案为:45. 点评: 本题考查了数列递推公式的灵活运用,解题时要注意分类讨论思想和归纳总结;本题 属于较难的题目,要细心解答. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分) (2009?江苏)设向量

(1)若 与 (2)求

垂直,求 tan(α+β)的值; 的最大值;

(3)若 tanαtanβ=16,求证: ∥ .

考点: 平面向量数量积坐标表示的应用; 平行向量与共线向量; 两向量的和或差的模的最值. 专题: 综合题. 分析: (1)先根据向量的线性运算求出 ,再由 与 垂直等价于 与 的 数量积等于 0 可求出 α+β 的正余弦之间的关系,最后可求正切值. (2)先根据线性运算求出 ,然后根据向量的求模运算得到| |的关系,最后根

据正弦函数的性质可确定答案. (3)将 tanαtanβ=16 化成弦的关系整理即可得到(4cosα)?(4cosβ)=sinαsinβ,正 是 ∥ 的充要条件,从而得证. 解答: 解: (1)∵ =(sinβ﹣2cosβ,4cosβ+8sinβ) 与 , 垂直,

∴4cosα(sinβ﹣2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0, 即 sinαcosβ+cosαsinβ=2(cosαcosβ﹣sinαsinβ) , ∴sin(α+β)=2cos(α+β) ,∴tan(α+β)=2. (2)∵ ∴| = ∴当 sin2β=﹣1 时,| (3)∵tanαtanβ=16,∴ ∴(4cosα)?(4cosβ)=sinαsinβ, |取最大值,且最大值为 |= , . =(sinβ+cosβ,4cosβ﹣4sinβ) ,

,即 sinαsinβ=16cosαcosβ,

9

即 =(4cosα,sinα)与 =(sinβ,4cosβ)共线, ∴ ∥ . 点评: 本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系.向量和三 角函数的综合题是高考的热点,要强化复习.

16. (14 分)已知函数 f(logax)=

,其中 a>0 且 a≠1.

(1)求函数 f(x)的解析式,并判断其奇偶性和单调性; 2 (2)对于函数 f(x) ,当 x∈(﹣1,1)时,f(1﹣m)+f(1﹣m )<0,求实数 m 的取值 范围; (3)当 x∈(﹣∞,2)时,f(x)﹣6 的值恒为负数,求函数 a 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据对数式与相应指数式的关系,由函数 f(logax)=
x



将括号中对应的对数式化为 x 后,解析式中 x 要化为 a ,求出解析式后,可根据奇偶 性的定义及导数法,求出函数的奇偶性和单调性; 2 (2)根据(1)中函数的性质,及 x∈(﹣1,1)可将不等式 f(1﹣m)+f(1﹣m ) 2 <0,化为﹣1<1﹣m<1﹣m <1,进而得到实数 m 的取值范围; (3)由当 x∈(﹣∞,2)时,f(x)﹣6 的值恒为负数,根据函数的单调性可得 f(2) ﹣6≤0 整理可得 a 的取值范围. 解答: 解: 由 (logax) (1) f = , 得 , …2’ 因为定义域为 R, =﹣f(x) 所以 f(x)为奇函数,…4’ 因为 ,

当 0<a<1 及 a>1 时,f′(x)>0, 所以 f(x)为 R 上的单调增函数;…6’ 2 2 2 (2)由 f(1﹣m)+f(1﹣m )<0,得 f(1﹣m)<﹣f(1﹣m )=f(m ﹣1), , 2 又 x∈(﹣1,1) ,则﹣1<1﹣m<1﹣m <1,得 1<m< ;…10’ (3)因为 f(x)为 R 上的单调增函数,所以当 x∈(0,2)时,f(x)﹣6 的值恒为 负数, 所以 f(x)﹣6<0 恒成立,
10

则 f(2)﹣6=
2

≤0,…12’

整理得 a ﹣6a+1≤0,所以 ≤a≤ , 又 a>0 且 a≠1,所以实数 a 的取值范围是[ ,1)∪(1,≤ ].…14’ 点评: 本题是函数奇偶性与单调性的综合应用,特别是后面抽象不等式及恒成立问题,难度 较大. 17. (16 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2﹣an,n=1,2,3,…. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (3)设 cn=n (3﹣bn) ,求数列{cn}的前 n 项和为 Tn. 考 数列的求和;数列的函数特性;等比数列的通项公式. 点: 专 计算题. 题: 分 析:(1)利用数列中 an 与 Sn 关系 (2)结合(1)所求得出 bn+1﹣bn= (3)由上求出 cn=n (3﹣bn)=

解决.

.利用累加法求 bn ,利用错位相消法求和即可.

解 解: (1)因为 n=1 时,a1+S1=a1+a1=2,所以 a1=1. 答:因为 Sn=2﹣an,即 an+Sn=2,所以 an+1+Sn+1=2. 两式相减:an+1﹣an+Sn+1﹣Sn=0,即 an+1﹣an+an+1=0,故有 2an+1=an. 因为 an≠0,所以 = ( n∈N ) .
* *

所以数列{an}是首项 a1=1,公比为 的等比数列,an= (2)因为 bn+1=bn+an( n=1,2,3,…) ,所以 bn+1﹣bn= b3﹣b2= ,b4﹣b3= ,…,bn﹣bn﹣1=

( n∈N ) . .从而有 b2﹣b1=1, ( n=2,3,…) .

将这 n﹣1 个等式相加,得 bn﹣b1=1+ +

+…+

=

=2



. ( n=1,2,3,…) .

又因为 b1=1,所以 bn=3﹣

11

(3)因为 cn=n (3﹣bn)= 所以 Tn= ① = ② ①﹣②,得 =











故 Tn= 3,…) .



=8﹣



=8﹣

( n=1,2,

点 评:本题考查利用数列中 an 与 Sn 关系 错位相消法求和,考查转化、变形构造、计算能力.

求数列通项,累加法、

18. (16 分) (2010?盐城三模)某广告公司为 2010 年上海世博会设计了一种霓虹灯,样式 如图中实线部分所示.其上部分是以 AB 为直径的半圆,点 O 为圆心,下部分是以 AB 为斜 边的等腰直角三角形, DF 是两根支杆, DE, 其中 AB=2 米, ∠EOA=∠FOB=2x 0<x< ( )现 .

在弧 EF、 线段 DE 与线段 DF 上装彩灯, 在弧 AE、 BF、 弧 线段 AD 与线段 BD 上装节能灯. 若 每种灯的“心悦效果”均与相应的线段或弧的长度成正比,且彩灯的比例系数为 2k,节能灯 的比例系数为 k(k>0) ,假定该霓虹灯整体的“心悦效果”y 是所有灯“心悦效果”的和. (1)试将 y 表示为 x 的函数; (2)试确定当 x 取何值时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳.

考点: 在实际问题中建立三角函数模型;三角函数的最值. 专题: 计算题;新定义. 分析: (1)由题意知,建立三角函数模型,根据所给的条件看出要用的三角形的边长和角 度,用余弦定理写出要求的边长,表述出函数式,整理变化成最简的形式,得到结果. (2)要求函数的单调性,对上一问整理的函数式求导,利用导数求出函数的单增区

12

间和单减区间,看出变量 x 取到的结果. 解答: (1)∵∠EOA=∠FOB=2x, 解: ∴弧 EF、AE、BF 的长分别为 π﹣4x,2x,2x 连接 OD,则由 OD=OE=OF=1,

∴ ∴ = (2)∵由 解得 即 又当 当 故当 , 时,y'>0,此时 y 在 时,y'<0,此时 y 在 时,该霓虹灯整体的“心悦效果”最佳. 上单调递增; 上单调递减. ,



; ,

点评: 本题是一道难度较大的题, 表现在以下几个方面第一需要自己根据条件建立三角函数 模型写出解析式,再对解析式进行整理运算,得到函数性质,这是一个综合题,解题 的关键是读懂题意.
3 2

19. (16 分) (2013?绵阳二模)已知函数 f(x)= x ﹣2x +3x(x∈R)的图象为曲线 C. (1)求曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围; (2)若曲线 C 上存在两点处的切线互相垂直,求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标取 值范围; (3)试问:是否存在一条直线与曲线 C 同时切于两个不同点?如果存在,求出符合条件的 所有直线方程;若不存在,说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数与方程的综合运用. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: (1)先求导函数,然后根据导函数求出其取值范围,从而可求出曲线 C 上任意一点 处的切线的斜率的取值范围; (2)根据(1)可知 k 与﹣ 的取值范围,从而可求出 k 的取值范围,然后解不等式 可求出曲线 C 的切点的横坐标取值范围; (3)设存在过点 A(x1,y1)的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B(x2,y2) , x1≠x2,分别求出切线,由于两切线是同一直线,建立等式关系,根据方程的解的情况 可得是符合条件的所有直线方程. 解答: (1)f'(x)=x2﹣4x+3,则 f′(x)=(x﹣2)2﹣1≥﹣1, 解:
13

即曲线 C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[﹣1,+∞) ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣(4 分) (2)由(1)可知, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 2 2 解得﹣1≤k<0 或 k≥1,由﹣1≤x ﹣4x+3<0 或 x ﹣4x+3≥1 得:x∈(﹣∞,2﹣ ]∪(1,3)∪[2+ ,+∞) ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) (3)设存在过点 A(x1,y1)的切线曲线 C 同时切于两点,另一切点为 B(x2,y2) , x1≠x2, 则切线方程是:y﹣( 化简得:y=( ﹣2 +3x1)=( +2 ﹣4x1+3) (x﹣x1) , ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣4x1+3)x+(﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(11 分) 而过 B(x2,y2)的切线方程是 y=( ﹣4x1+3)x+(﹣ +2 ) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(, 由于两切线是同一直线, 则有: ﹣4x1+3= ﹣4x1+3,得 x1+x2=4,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 又由﹣ +2 =﹣ +2 +x1x2+ , )+(x1﹣x2) 1+x2)=0 (x ﹣12=0

即﹣ (x1﹣x2) ( ﹣ ( +x1x2+

)+4=0,即 x1(x1+x2)+ ﹣12=0, ﹣4x2+4=0

即(4﹣x2)×4+

得 x2=2,但当 x2=2 时,由 x1+x2=4 得 x1=2,这与 x1≠x2 矛盾. 所以不存在一条直线与曲线 C 同时切于两点. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(16 分) 点评: 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,以及互相垂直的直线的斜率关 系,同时考查了运算能力,属于中档题. 20. (16 分)已知数列{an},{bn}满足 bn=an+1﹣an,其中 n=1,2,3,…. (Ⅰ)若 a1=1,bn=n,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若 bn+1bn﹣1=bn(n≥2) ,且 b1=1,b2=2. (ⅰ)记 cn=a6n﹣1(n≥1) ,求证:数列{cn}为等差数列; (ⅱ)若数列 中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次.求 a1 应满足的条件.

14

考 点 : 专 题 : 分 析 :

数列递推式;等差关系的确定.

计算题;压轴题;分类讨论.

(Ⅰ)根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{an}的通项公式; (Ⅱ) (ⅰ)先根据题中已知条件推导出 bn+6=bn,然后求出 cn+1﹣cn 为定值,便可证明 数列{cn}为等差数列; (ⅱ)数列{a6n+i}均为以 7 为公差的等差数列,然后分别讨论当 时,数列 是否满足题中条件,便可求出 a1 应满足的条件. 时和当

解 解: (Ⅰ)当 n≥2 时, 答 有 an=a1+(a2﹣a1)+(a3﹣a2)+…+(an﹣an﹣1) : =a1+b1+b2+…+bn﹣1(2 分) = 又因为 a1=1 也满足上式, 所以数列{an}的通项为 . 分) (4
*

. 分) (3

(Ⅱ)由题设知:bn>0,对任意的 n∈N 有 bn+2bn=bn+1,bn+1bn+3=bn+2 得 bn+3bn=1, 于是又 bn+3bn+6=1,故 bn+6=bn(5 分) ∴b6n﹣5=b1=1,b6n﹣4=b2=2,b6n﹣3=b3=2,b6n﹣2=b4=1, (ⅰ)cn+1﹣cn=a6n+5﹣a6n﹣1=b6n﹣1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4= (n≥1) , 所以数列{cn}为等差数列. 分) (7 (ⅱ)设 dn=a6n+i(n≥0)(其中 i 为常数且 i∈{1,2,3,4,5,6}) , , 所以 dn+1﹣dn=a6n+6+i﹣a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7(n≥0) 所以数列{a6n+i}均为以 7 为公差的等差数列. 分) (9 设 ,

(其中 n=6k+i(k≥0) 为{1,2,3,4,5,6}中的一个常数) ,i , 当 由 时,对任意的 n=6k+i 有 = ; (10 分) ;

,i∈{1,2,3,4,5,6}知

此时 重复出现无数次.

15



时,

=

①若 ②若 (12 分)

,则对任意的 k∈N 有 fk+1<fk,所以数列 ,则对任意的 k∈N 有 fk+1>fk,所以数列

为单调减数列; 为单调增数列;

(i=1,2,3,4,5,6)均为单调数列,任意一个数在这 6 个数列中

最多各出现一次, 即数列 中任意一项的值最多出现六次. 时,数列 中必有某数重复出现

综上所述:当 无数次. 当 a1?B 时,数列

中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. (14 分)

点 本题考查了等差数列的基本性质和数列的递推公式,考查了学生的计算能力和对数列的 评 综合掌握,解题时分类讨论思想和转化思想的运用,属于中档题. : 三、 (理科附加题) 21. (2012?西山区模拟)自圆 O 外一点 P 引圆的一条切线 PA,切点为 A,M 为 PA 的中点, 过点 M 引圆 O 的割线交该圆于 B、C 两点,且∠BMP=100°,∠BPC=40°,求∠MPB 的大 小.

考点: 与圆有关的比例线段;相似三角形的判定. 专题: 计算题. 2 2 分析: 根据 MA 为圆 O 的切线,由切割线定理得 MA =MB?MC.从而 MP =MB?MC.依据 相似三角形的判定方法得:△ BMP∽△PMC 得出∠MPB=∠MCP.最后在△ MCP 中, 即得∠MPB. 解答: 选修 4﹣1:几何证明选讲, 2 解:因为 MA 是圆 O 的切线,所以 MA =MB?MC(2 分) 2 又 M 是 PA 的中点,所以 MP =MB?MC
16

因为∠BMP=∠PMC,所以△ BMP∽△PMC(6 分) 于是∠MPB=∠MCP, 在△ MCP 中,由∠MPB+∠MCP+∠BPC+∠BMP=180°, 即 100°+2∠MPB+40°=180°; 得∠MPB=20°(10 分) 点评: 本题考查了圆当中的比例线段,以及三角形相似的有关知识点,属于中档题.找到题 中的相似三角形来得到角的相等,是解决本题的关键. 22. (2009?盐城一模)如图,已知 OA、OB 是⊙O 的半径,且 OA⊥OB,P 是线段 OA 上一点,直线 BP 交⊙O 于点 Q,过 Q 作⊙O 的切线交直线 OA 于点 E,求证: ∠OBP+∠AQE=45°.

考点: 圆周角定理. 专题: 证明题. 分析: 本题考查的知识点是圆周角定理,要证明:∠OBP+∠AQE=45°,我们可以连接 AB, 然后根据圆周角定理,得到∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠AQE,进行得到结论. 解答: 证明:连接 AB, 则∠AQE=∠ABP, 而 OA=OB, 所以∠ABO=45° 所以∠OBP+∠AQE =∠OBP+∠ABP =∠ABO =45° 点评: 根据求证的结论,使用分析推敲证明过程中所需要的条件,进而分析添加辅助线的方 法,是平面几何证明必须掌握的技能,大家一定要熟练掌握,而在(2)中根据已知 条件分析转化的方向也是解题的主要思想.解决就是寻找解题的思路,由已知出发, 找寻转化方向和从结论出发寻找转化方向要结合在一起使用. 23. (2011?许昌三模)选修 4﹣1:几何证明选讲 如图:⊙O 是等腰三角形 ABC 的外接圆,AB=AC,延长 BC 到点 D,使 CD=AC,连接 AD 交⊙O 于点 E,连接 BE 与 AC 交于点 F. (1)判断 BE 是否平分∠ABC,并说明理由 (2)若 AE=6,BE=8,求 EF 的长.

17

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 证明题. 分析: (1)BE 平分∠ABC.由已知中边的相等,可得∠CAD=∠D,∠ABC=∠ACB,再利 用同弧所对的圆周角相等,可得∠CAD=∠D=∠DBE,即有 ∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D,利用等量减等量差相等,可得∠EBD=∠D=∠ABE, 故得证. (2)由(1)中的所证条件∠ABE=∠FAE,再加上两个三角形的公共角,可证 △ BEA∽△AEF,利用比例线段可求 EF. 解答: (1)BE 平分∠ABC; 解: 证明:∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC ∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…(2 分) 又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC, ∴∠ABC=2∠EBC∴BE 平分∠ABC;…(5 分) (2)连接 EC,由(1)BE 平分∠ABC∴E 是弧 AC 的中点 ∴AE=EC=6 又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…(7 分) ∵A、B、C、E 四点共圆∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF ∴△AEF∽△DEC ∴ ∴ …(10 分)

点评: 本题考查了圆周角定理,以及等腰三角形的性质,等边对等角,角平分线的判定,还 有相似三角形的判定和性质等知识.本题解题的关键是正确读图,做题时最好自己作 图以帮助理解题意. 24. 某高三学生希望报名参加某 6 所高校中的 3 所学校的自主招生考试, 由于其中两所学校 的考试时间相同,因此该学生不能同时报考这两所学校.该学生不同的报考方法种数是 16 . (用数字作答) 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 分类讨论,报考的 3 所中,不含考试时间相同的两所与含考试时间相同的两所中的一
18

个,利用分类计数原理,可得结论. 解答: 解:由题意分两种情况: 3 若报考的 3 所中,不含考试时间相同的两所,则有 C4 =4 种报考方法, 1 2 若报考的 3 所中,含考试时间相同的两所中的一个,则有 C2 ?C4 =12 种报考方法, 由分类计数原理,可得该学生不同的报考方法种数 12+4=16 种, 故答案为:16 点评: 本题考查组合的运用,考查分类计数原理,属于基础题. 25. (2011?扬州三模)理科附加题: 已知 展开式的各项依次记为 a1(x) 2(x) 3(x) ,a ,a ,…an(x) n+1(x) ,a .

设 F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x) ,…+nan(x)+(n+1)an+1(x) . (Ⅰ)若 a1(x) 2(x) 3(x)的系数依次成等差数列,求 n 的值; ,a ,a n﹣1 (Ⅱ)求证:对任意 x1,x2∈[0,2],恒有|F(x1)﹣F(x2)|≤2 (n+2) . 考 点: 专 题: 分 析: 二项式定理;等差数列的性质. 证明题;综合题. (I)利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,求出前三项的系数,据 a1(x) , a2(x) 3(x)的系数依次成等差数列,列出方程求出 n 的值. ,a (II)先利用到序相加法求出 F(2)﹣F(0)的值,利用导数判断出 F(x)的单调性, 得证. ,k=1,2,3,…,n+1,
0

解 解: (Ⅰ)依题意 答: a1(x) 2(x) 3(x)的系数依次为 Cn =1, ,a ,a 所以 ,





解得 n=8; (Ⅱ)F(x)=a1(x)+2a2(x)+3a3(x) ,…+nan(x)+(n+1)an+1(x) = F(2)﹣F(0)=2Cn +3Cn …+nCn +(n+1)Cn 0 1 2 n﹣1 n 设 Sn=Cn +2Cn +3Cn …+nCn +(n+1)Cn , n n﹣1 2 1 0 则 Sn=(n+1)Cn +nCn …+3Cn +2Cn +Cn k n﹣k 0 1 2 n﹣1 n 考虑到 Cn =Cn ,将以上两式相加得:2Sn=(n+2) n +Cn +Cn …+Cn +Cn ) (C n﹣1 n﹣1 所以 Sn=(n+2)2 所以 F(2)﹣F(0)=(n+2)2 ﹣1 又当 x∈[0,2]时,F'(x)≥0 恒成立, 从而 F(x)是[0,2]上的单调递增函数, 所以对任意 x1,x2∈[0,2],|F(x1)﹣F(x2)|≤F(2)﹣F(0)═(n+2)2 ﹣1< n﹣1 (n+2)2 . 点 解决二项展开式的特定项问题常利用的工具是二项展开式的通项公式;求数列的前 n 评: 项和问题关键是利用数列的通项公式的形式,选择合适的方法.
19
n﹣1 1 2 n﹣1 n

20


相关文章:
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)...
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。江苏省南通中学 20122013 学年度第一学期期中考试 高三数学试卷(理)一...
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)...
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题_高考_高中教育_教育专区。江苏省南通中学 20122013 学年度第一学期期中考试 高三数学试卷(理)一、填空题:...
江苏省南通中学2018届高三上学期期中考试数学理试...
江苏省南通中学2018届高三上学期期中考试数学理试题 含答案 - 2018 届高三上学期数学期中测试(理科)试卷分为数学 I(必做题)和数学 II(附加题)两部分.共 ...
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(文)...
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题_数学_高中教育_教育专区。江苏省南通中学 20122013 学年度第一学期期中考试 高三数学试卷(文)一、填空题:...
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(文)...
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(文)试题_数学_高中教育_教育专区。江苏省南通中学 20122013 学年度第一学期期中考试 高三数学试卷(文)一、填空题:...
江苏省南通中学2012—2013学年度高三第一学期期中...
江苏省南通中学20122013学年度高三第一学期期中考试 数学文 - www.tesoon.com 天星教育网,因你而精彩!版权所有,侵权必究! 江苏省南通中学 2012—2013 学年度....
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)...
江苏省南通中学2013届高三上学期期中考试数学(理)试题 隐藏>> 江苏省南通中学 20122013 学年度第一学期期中考试 高三数学试卷一、填空题(每小题 5 分,共 70...
...年江苏省南通中学高三上学期期中数学试卷(理科...
【精编】2016-2017年江苏省南通中学高三上学期期中数学试卷(理科)(解析版) - 百 度 文 库 2016-2017 学年江苏省南通中学高三(上)期中数学试卷(理科) 一、...
2012-2013学年江苏省南通市海门中学高三(上)开学检...
2012-2013 学年江苏省南通市海门中学高三(上) 开学检测数学试卷一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把答案填在答题卡的相应位置. 1. 分...
江苏省南通市启东中学2012-2013学年高一数学下学期...
江苏省南通市启东中学2012-2013学年高一数学下学期期中试题(含解析)苏教版_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2012-2013 学年江苏省南通市启东中学高一(下)期中...
更多相关标签: