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北师大版高中数学必修4第三章

北师大版高中数学必修 4 第三章 《三角恒等变形》

高一数学备课组

复备人_____________

北师大版高中数学必修 4 第三章 《三角恒等变形》教案
扶风高中高一数学备课组 §3.1 一、教学目标: 【知识与技能】 (1)能根据三角函数的定义,导出同角三角函数的基本关系; (2)能正确运用进行三角函 数式的求值运算; (3)能运用同角三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值,并从中 了解一些三角运算的基本技巧; (4) 运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数恒等式的 证明。 【过程与方法】 回忆初中所学的几个三角函数之间的关系, 用高中所学的同角三角函数之间的关系试着进行 证明;掌握几种同角三角函数关系的应用;掌握在具体应用中的一定技巧和方法;理解并掌 握同角三角关系的简单变形;提高学生恒等变形的能力,提高分析问题和解决问题的能力。 【情感态度价值观】 通过本节的学习, 使同学们加深理解基本关系在本章中的地位; 认识事物间存在的内在联系, 使学生面对问题养成勤于思考的习惯; 培养学生良好的学习方法, 进一步树立化归的数学思 想方法。 二、教学重、难点 重点: 同角三角函数之间的基本关系,化简与证明。 难点: 化简与证明中的符号,同角三角函数关系的灵活运用。 三、学法与教学用具 在初中, 学生已经见过同角三角函数之间的关系, 在高中就要求学生能对这些关系进行证明, 最主要的还是在于运用。主要有三方面的应用,即计算、化简、证明。正因为这样,本节课 通过例题讲评和学生练习的形式开展教学。 教学用具:投影机、三角板 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过, 只不过当时应用不是很多, 那么到底有哪 些?它们成立的条件是什么?学习实践中, 你还发现了哪些关系?今天这节课, 我们就来讨 论这些问题。 同角三角函数的关系(2 课时)

第一课时 【探究新知】 在初中我们已经知道,对于同一个锐角α,存在关系式:

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1
理论证明: (采用定义)

sin ? ? tan ? cos ?

1? ? x 2 ? y 2 ? r 2

y x , cos? ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 r r ? sin ? y x y r y 2 ? 当? ? k? ? (k ? Z )时, ? ? ? ? ? ? tan? 2 cos? r r r x x 且 sin ? ?

注意:1?“同角”的概念与角的表达形式无关,

如: sin 2 3? ? cos2 3? ? 1

? 2 ? tan ? ? 2 cos 2 sin

2?上述关系(公式 2)都必须在定义域允许的范围内成立。 3?据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三角函数值,且因为利用“平 方关系”公式,最终需求平方根,会出现两解,因此应尽可能少用(实际上,至多只要用一 次) 。 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评

3 ,且α在第三象限,求 cosα和 tanα. 5 3 16 解:∵ sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 ∴cos2α=1-sin2α=1-(- )2= 5 25 4 sin ? 3 又∵α在第三象限,cosα<0 ∴cosα=- ,tanα= = 5 cos ? 4
例 1.已知 sinα=- 例 2.已知 cos? ? m (m ? 0, m ? ?1), 求?的其他三角函数值。 解:若?在第一、二象限,则

sin ? ? 1 ? m 2
若?在第三、四象限,则

tan? ?

1 ? m2 m

sin ? ? ? 1 ? m

2

1 ? m2 tan? ? ? m

例 3.化简: 1 ? sin 2 440? 解:原式 ? 1 ? sin 2 (360 ? ? 80 ? ) ? 1 ? sin 2 80 ? ? 例 4.求证:

cos 2 80 ? ? cos 80 ?

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

证一: 左边 ?

cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) 1 ? sin 2 ? cos2 ?
? 等式成立
(利用平方关系)

?

1 ? sin ? ? 右边 cos ?

证二:? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) ? 1 ? sin 2 ? ? cos2 ?

且 1 ? sin ? ? 0, cos? ? 0

?

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

(利用比例关系)

证三:?

cos? 1 ? sin ? cos2 ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) cos2 ? ? (1 ? sin 2 ?) ? ? ? 1 ? sin ? cos? (1 ? sin ?) cos? (1 ? sin ?) cos?
? cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?
(作差)

cos2 ? ? cos2 ? ? ?0 (1 ? sin ?) cos?
2.学生课堂练习 教材 P113 练习 1 和 P114 练习 2 五、归纳整理,整体认识

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布置作业 教材 P115 习题中 3-1 七、课后反思 1—6

(第二课时) 一、复习回顾 1. sin 2 ? ? cos2 ? ? 1

sin ? ? tan ? cos ?
2.条件

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 成立条件为任意角

sin ? ? ? tan ? 成立条件为 ? ? k? ? (k ? Z ) cos ? 2
二、新授

例5 化简:1 ? cos 2 6200 解:因为 sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 6200 ? sin 2 6200 =|sin6200 | =|sin2600 | =sin800
1 ? cos 2 ? 例6 化简: ? 2 cos ? 1 ? sin ? 解:因为 cos ? ? 0 原式= sin ? | sin ? | ? | cos ? | cos ? 2 tan ? , 当2k? ? ? ? 2k? ? 0, 当2k? ? sin ?

? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ?

?
2 (k ? Z )

?
2

? ? ? 2 k? ? ?

3? ? 2 tan ? , 当2k? ? ? ? ? ? 2k? ? 2 3? 0, 当2k? ? ? ? ? 2k? ? 2? 2

cos ? 1+ sin ? 例7 求证: = 1-sin ? cos ?

cos ? 1+ sin ? 证法1: 1- sin ? cos ? cos 2 ? ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) = ( 1- sin ? ) cos ? ? cos 2 ? ? (1 ? sin 2 ? ) ( 1- sin ? ) cos ?

cos 2 ? ? cos 2 ? ? ( 1- sin ? ) cos ? ?0

证法2:左边=

cos ? cos 2 ? = 1-sin ? ( 1-sin ? ) cos ?

1 ? sin 2 ? ? ( 1-sin ? ) cos ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) = ( 1-sin ? ) cos ? 1 ? sin ? ? cos ? =右边

证法3:因为(1 ? sin ? )(1 ? sin ? )=1 ? sin 2 ? = cos 2 ? 又1 ? sin ? ? 0, cos ? ? 0,将上式两边同除以(1 ? sin ? ) cos ? 得 cos ? 1+sin ? = 1-sin ? cos ?
三、练习 P114 四、小结 注意:1 的变化 式子成立的条件 五、作业 P115 A 6 1、2

六、课后反思

3.2.1 两角差的余弦函数 3.2.2 两角和的正、余弦函数 一.教学目标: 【知识与技能】 (1)能够推导两角差的余弦公式; (2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式; (3)能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明; (4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (5)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 【过程与方法】 通过创设情境: 通过向量的手段证明两角差的余弦公式, 让学生进一步体会向量作为一种有 效手段的同时掌握两角差的余弦函数, 然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、 两角和的 正、余弦公式;讲解例题,总结方法,巩固练习. 【情感态度价值观】 通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识; 理解掌握两角和 与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程. (3)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 思考:如何求 cos(450-300)的值. 【探究新知】 1 .思考 : 如何用任意角α与β 的正弦、余弦来表示 cos( α - β ) ?你认为会是 cos( α β)=cosα-cosβ吗? [展示课件]在直角坐标系作出单位圆,利用向量的方法求解(如教材图 3-2).

学生思考:以上推导是否有不严谨之处? 教师引导学生分析其中的过程发现: 上述证明仅仅是对α与β为锐角的情况, 但α与β为任 意角时上述过程还成立吗? 当α-β是任意角时, 由诱导公式总可以找到一个角θ∈[0, 2π) , 使 cosθ=cos(α-β) 若 θ∈[0,π ],则 OA ? OB = cosθ=cos(α-β) 若θ∈[π,2π),则 2π -θ∈[0,π ],且 OA ? OB =cos(2π-θ)=cosθ=cos(α-β). 结论归纳: 对任意角α与β都有 cos (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? +sin ? 〃sin ? 这个公式称为:差角的余弦公式 C? ? ? 注意:1.公式的结构特点 2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦,就可以求出 cos(α-β) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.利用差角余弦公式求 cos 150 的值 分析: cos 150 = cos (45 ? 30) 0 = cos (60 ? 45) 0 = cos (135? 120) 0 思考:你会求 sin 750 的值吗? 例 2.已知 cos ? ? ?
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

3 ? ? , ? ? ( , ? ) ,求 cos ( ? ? ) 的值. 5 2 4

【巩固深化,发展思维】 1.cos 1750 〃cos 550 +sin 1750 〃sin 550 = . .

2.cos (? ? 210 ) 〃cos (? ? 240 ) +sin (? ? 210 ) 〃sin (? ? 240 ) = 3.已知 sin??sin?=? [展示投影]思考: 如何利用差角余弦公式导出下列式子: cos (? ? ? ) = cos ? 〃cos ? - sin ? 〃sin ? sin (? ? ? ) =sin ? 〃cos ? ? cos sin (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? -cos

1 1 ? ? ,cos??cos?= ,??(0, ),??(0, ),求 cos(???)的值. 2 2 2 2

? 〃sin ? ? 〃sin ?

(可让学生自己讲解,教师只是适当点拨而已) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 3.已知 sin ? ? 的值. 思考题:已知 ? 、 ? 都是锐角, cos ? ? [学习小结] ①.两角差的余弦公式:cos (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? +sin ? 〃sin ? ②.两角和的余弦公式:cos (? ? ? ) = cos ? 〃cos ? - sin ? 〃sin ? 两角和的正弦公式: sin (? ? ? ) =sin ? 〃cos ? ? cos 两角差的正弦公式: sin (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? -cos ③.注意公式的结构特点 五、评价设计 1.作业:习题 3-2 A 组第 1,2,3 题. 2. (备选题) :求证:cos?+ 3 sin?=2sin( 证一:左边=2(
? +?) 6

4 ? 5 3? ? ? ( ,? ) , ), 求 cos (? ? ? ) , , cos ? ? ? , ? ? (? , sin (? ? ? ) 5 2 13 2 4 5 ,cos (? ? ? ) ? ? , 求 cos ? . 5 13

C? ?? C? ? ? S? ? ? S? ? ?

? 〃sin ? ? 〃sin ?

? ? 1 3 cos?+ sin?)=2(sin cos?+cos sin?) 6 6 2 2 ? =2sin( +?)=右边 (构造辅助角) 6 ? ? 1 3 cos?+cos sin?)=2( cos?+ sin?) 6 6 2 2

证二:右边=2(sin

= cos?+ 3 sin?=左边 3、进一步理解这四个公式的特点. 六、课后反思:

3.2.3 两角和与差的正切函数(1 课时) 一、教学目标: 【知识与技能】 (1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式; (2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明; (3)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (4)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 【过程与方法】 借助两角和与差的正、 余弦公式推导出两角和与差的正切公式, 让学生进一步体会各个公式 之间的联系及结构特点;讲解例题,总结方法,巩固练习. 【情感态度价值观】 通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识; 理解掌握两角和 与差的三角的各种变形,提高逆用思维的能力. 二、教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法:通过通过类比分析、探索、掌握两角和与差的正切 公式的推导过程。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距。 教学用具:电脑、投影机 四、教学设想 【探究新知】 1.两角和与差的正切公式 T?+? ,T???

问: 在两角和与差的正、余弦公式的基础上, 你能用 tan?,tan?表示 tan(?+?)和 tan(???) 吗?(让学生回答) [展示投影] ∵cos (?+?)?0
sin( ? ? ? ) sin? cos ? ? cos? sin ? ? tan(?+?)= cos( ? ? ? ) cos? cos ? ? sin? sin ?

当 cos?cos??0 时

分子分母同时除以 cos?cos?得:

tan(?+?)=

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

以??代?得:

tan(???)=

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

2.运用此公式应注意些什么?(让学生回答) [展示投影] 注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。即:tan?,tan?,tan(?〒?)

只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来解;2?注意公式的结 构,尤其是符号。 ) [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 1.求 tan15?,tan75?及 cot15?的值:
3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 解:1? tan15?= tan(45??30?)= 6 3 3? 3 1? 3 1? 3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 2? tan75?= tan(45?+30?)= 6 3 3? 3 1? 3 1?

3? cot15?= cot(45??30?)= 例 2.(见课本 P119 例 4)

1? 3 3 ?1

?

4?2 3 ? 2 ? 3 (为什么?) 2

例 3.已知 tan?= ,tan?=?2 求 cot(???),并求?+?的值,其中 0?<?<90?, 90?<?<180?. 解:cot(???)=
1 tan( ? ? ?) ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? ? tan ? 7

1 3

tan ? ? tan ? ? ∵ tan(?+?)= 1 ? tan ? tan ?

1 ?2 3 ? ?1 1 1 ? ? (?2) 3

又∵0?<?<90?, 90?<?<180? ∴?+?=135? 例 4. 求下列各式的值:1? 解:1?原式=

∴90?<?+?<270?

1 ? tan 75? 1 ? tan 75?

2? tan17?+tan28?+tan17?tan28?

tan 45? ? tan 75? ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 1 ? tan 45? tan 75? tan17? ? tan 28? 1 ? tan17? tan 28?

17? ? 28? ) ? 2? ∵ tan(

∴tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1? tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 [展示投影]练习 教材 P120 第 1、2、3、4 题. [学习小结] 1.必须在定义域范围内使用上述公式。即:tan?,tan?,tan(?〒?)只要有一个不存在就 不能使用这个公式,只能(也只需)用诱导公式来解; 2.注意公式的结构,尤其是符号。 五、评价设计 作业:习题 3-2 A 组第 4、5、6、7、8 题. 六、课后反思:

3.2 二倍角的正、余弦和正切 一.教学目标: 1.【知识与技能】 (1)能够由和角公式而导出倍角公式;

3.3 半角的三角函数(两课时)

(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理 能力; (3)能推导和理解半角公式; ( 4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与 意识. 并培养学生综合分析能力. 2.【过程与方法】 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式, 领会从一般化归为特殊的数学思想, 体 会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法 .通过做练习, 巩固所学知识. 3.【情感态度价值观】 通过本节的学习, 使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识; 理解掌握三角函数 各个公式的各种变形,增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆 用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角公式,领会从一般化归为特 殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 2、提出问题:公式中如果 ? ? ? ,公式会变得如何?

3、让学生板演得下述二倍角公式:

sin 2? ? 2 sin ? cos?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 注意:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次) 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

? ? 是 的倍角. 4 8

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用. 2

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充)

例 1.(公式巩固性练习)求值: ①.sin22?30’cos22?30’=

1 2 sin 45? ? 2 4

②. 2 cos

2

? ? 1 ? cos ? ? 2 8 4 2

③. sin

2

? ? ? cos 2 ? ? cos ? ? ? 2 8 8 4 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 cos ? 2 sin cos ? sin ? cos cos cos ? 4 sin cos 24 24 12 12 12 6 2 48 48 24 12

④. 8 sin

例 2.化简 ①. (sin

5? 5? 5? 5? ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 5? ? cos2 5? ? ? cos 5? ? 3 12 12 12 12 12 12 6 2

? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos 2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2 1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? ③. 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?
②. cos
4

④. 1 ? 2 cos2 ? ? cos 2? ? 1 ? 2 cos2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 2 例 3、已知 sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) ,求 sin2?,cos2?,tan2?的值。 13 2 5 ? 12 2 , ? ? ( , ?) 解:∵ sin ? ? ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 13 2 13

∴sin2? = 2sin?cos? = ?

120 169 119 2 cos2? = 1 ? 2 sin ? ? 169 120 tan2? = ? 119

[展示投影]思考: 你能否有办法用 sin?、 cos?和 tan?表示多倍角的正弦、 余弦和正切函数? 你的思路、方法和步骤是什么?试用 sin?、cos?和 tan?分别表示 sin3?,cos3?,tan3?. [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 4. cos20?cos40?cos80? =
1 sin 40 ? cos 40 ? cos 80 ? sin 20? cos 20? cos 40? cos80? 2 ? sin 20? sin 20 ?

1 1 sin 160 ? sin 80 ? cos 80 ? 1 8 4 ? ? ? 8 sin 20 ? sin 20 ?

例 5.求函数 y ? cos2 x ? cos x sin x 的值域. 解: y ?

1 ? cos2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2

————降次

[展示投影]学生练习: 教材 P123 练习第 1、2、3 题 [展示投影]思考(学生思考,学生做,教师适当提示) 你能够证明: sin

? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? , cos 2 ? , tan 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ? ? 证:1?在 cos2? ? 1 ? 2 sin 2 ? 中,以?代 2?, 代? 即得: 2 ? ? 1 ? cos ? 2 cos ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ∴ sin 2 2 2 ? 2?在 cos 2? ? 2 cos2 ? ? 1 中,以?代 2?, 代? 即得: 2 ? ? 1 ? cos ? 2 cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ∴ cos 2 2 2 1 ? cos ? 2 ? ? 3?以上结果相除得: tan 2 1 ? cos ?
2

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 注意:1?左边是平方形式,只要知道

? 角终边所在象限,就可以开平方。 2 ? 2?公式的“本质”是用?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切 2
3?上述公式称之谓半角公式(课标规定这套公式不必记忆)

sin

? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ?? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos?
? sin ? 1 ? cos ? ? ? (课后自己证) 2 1 ? cos ? sin ?

4?还有一个有用的公式: tan

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补充) 例 6.已知 cos ? ? 例 7.求 cos

? 的值. 8

7 ? ? ? ,求 sin , cos , tan 的值. 25 2 2 2

例 8.已知 sin ? ? ? [展示投影]练习

4 3? ? ? ? ) ,求 sin , cos , tan 的值. , ? ? (? , 5 2 2 2 2

教材 P125 练习第 1、2、3 题. [学习小结] 1.公式的特点要嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如:

? ? 是 的倍角. 4 8

2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角——升次). 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用. 2 ? 4.半角公式左边是平方形式,只要知道 角终边所在象限,就可以开平方;公式的“本质” 2 ? 是用?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切. 2 cos 2 ? ? sin 2 ? ?
5.注意公式的结构,尤其是符号. 五、评价设计 作业:习题 3-3 A 组第 1、2、3、4 题. 六、课后反思:

1 ? cos 2? , 2

第三章 [第一部分:基础知识] 基本公式 一、两角和与差公式及规律

三角恒等变形复习课(2 课时)

常见变形

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? . tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 tan ? tan ?
二、二倍角公式及规律

(1) tan ? ,tan ? 的和(差)与积互相转化 : tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 tan ? tan ? ).

? 1 ? tan ? (2)特例 : tan( ? ? ) ? . 4 1 tan ?
常见变形

sin 2? ? 2sin ? cos ? .

? cos ? ?

sin 2? sin 2? ? ? ,sin ? ? . 1 ? sin ? ? (sin ? cos ) 2 . 2 cos ? 2 cos ? 2 2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

? ? 2 cos 2 . ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? ? ?2sin 2 ? . ? ? 2

? 2 ? 1 ? cos ? . ?cos 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? . ?sin 2 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? tan 2 ? 1 ? cos ? . ?

? 2 ? 1 ? cos ? . ?cos 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 cos . ? ? ? 2 ? 1 ? cos ? 2 ? 1 ? cos ? ? ? ? . ?sin 2 2 2 ? ? ? 2sin . 四、学习本章应注意的问题 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? 2 ? tan 2 ? 1 ? cos ? . ?. 1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础,应记准该公式的形式
2 tan ? tan 2? ? . 1 ? tan 2 ?
2、倍角公式

cos2? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 有升、降幂的功能,如果升幂,则角减

半,如果降幂,则角加倍,根据条件灵活选用. 3、公式的“三用” (顺用、逆用、变用)是熟练进行三角变形的前提.

[第二部分:基本技能与基本数学思想方法] 整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手,寻求三角变形的思 维指向; 角度配凑方法 如

? ? (? ? ? ) ? ? ? ? ? ( ? ? ? ) ?

? ??
2

?

? ??
2

?

? ??
2

?

? ??
2

??

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 2(
等; 方程思想; 消参数思想; “1”的代换; 关于 sin ? ? cos ? 与sin ? cos ? 间的互相转化;

? ??
2

?

? ??
2

) ? 2(

? ??
2

?

? ??
2

)?

关于 sin ? ,cos ? 的齐次分式、二次齐次式与 tan ? 间的互相转化; 配凑辅助角公式:

? sin ? ? cos ? ? ? 2 sin(? ?

?
4

).

? sin ? ? 3 cos ? ? ?2sin(? ? ). 6 ? 3 sin ? ? cos ? ? ?2sin(? ? ). 3
一般地, a sin ? ? b cos ? ?

?

?

a 2 ? b2 sin(? ? ? ). 其中

a ? , ?cos ? ? a 2 ? b2 ? ? b ?sin ? ? . ? a 2 ? b2 ?
9、关于已知条件是 ?

?a sin ? ? b sin ? ? m 的求值、化简、证明的变形及其思维方法。其中 ?a cos ? ? b cos ? ? n

? , ? 是任意角;等等。

[第三部分:应用举例](供选用)

[例1]已知

f ( x) ?

sin(3? ? x) cos( x ? ? ) tan( x ? ? ) cot( cos(n? ? x)

n? ? x) 2 , (n ? Z )

52? ); 3 3? 4 ) ? , 求 f (? ) 的值. 若 cos(? ? 2 5
求 f( [分析]求三角函数式的值,一般先化简,再代值计算.

[略解]当 n ? 2k (n ? Z ) 时,

f ( x) ?

? sin x cos x tan x cot x ? ? sin x; cos x
当 n ? 2k ? 1(k ? Z ) 时, f ( x) ?

? sin x cos x tan x( ? tan x) ? ? sin x tan 2 x. cos x 3? 4 cos(? ? ) ? ? sin ? ,? sin ? ? ? . 2 5

故当 n 为偶数时,

52? 52? 4? 3 ) ? ? sin ? ? sin ? , 3 3 3 2 4 f (? ) ? ? sin ? ? ; 5 f(
当 n 为奇数时,

52? 52? 52? 4? 4? 3 3 ) ? ? sin tan 2 . ? ? sin tan 2 ? , 3 3 3 3 3 2 sin 2 ? 9 f (? ) ? ? sin ? tan 2 ? ? ? sin ? ? ? . 2 cos ? 16 f(
3sin ? ? sin 3? 的值. 3cos ? ? cos 3?

[例2]已知 tan ? ? 3, 求

[分析]已知三角函数式的值,求其它三角函数式的值的基本思路:考虑已知式与待求式之 间的相互转化. [略解]原式=

3sin ? ? (3sin ? ? 4sin 3 ? ) 3cos ? ? (4cos3 ? ? 3cos ? )

sin ? (3 ? 2sin 2 ? ) 2cos3 ? sin ? (sin 2 ? ? 3cos 2 ? ) ? 2cos3 ? 1 ? tan ? (tan 2 ? ? 3) 2 ? 18. ?
[例3]已知 sin(? ? ? ) ? 求 tan ? cot ? 的值;

2 1 ,sin(? ? ? ) ? . 3 5

当 ? ? ? ? (?

? ?

, ), ? ? ? ? (? , ) 时,求 sin 2? 的值. 2 2 2 2

? ?

[分析]从角度关系分析入手,寻求变形的思维方向.

[略解] (1)

2 ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? , ? ? 3 ? 1 [方法1] ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? , ? 5 ? 13 7 ? sin ? cos ? ? , cos ? sin ? ? . 30 30
从而, tan ? cot ? ?

sin ? cos ? 13 ? . cos ? sin ? 7 sin ? cos ? , cos ? sin ?

[方法2]设 x ? tan ? cot ? ?

sin(? ? ? ) 10 ? ,且 sin(? ? ? ) 3 sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) cos ? cos ? tan ? ? tan ? ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan ? ? tan ? cos ? cos ? tan ? ?1 x ?1 tan ? ? ? , tan ? x ? 1 ?1 tan ?
? x ? 1 10 13 ? , ? tan ? cot ? ? x ? . x ?1 3 7

(2)由已知可得

sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )sin(? ? ? ) ? 4 6? 5 . 15
1 1 , cos(? ? ? ) ? , 求 tan ? tan ? 的值. 2 2

[例 4]已知 cos(? ? ? ) ?

[ 分析 ] 根据问题及已知条件可先“化切为弦” 。由 tan ? tan ? ?

sin ? sin ? ,只需求出 cos ? cos ?

sin ? sin ? 和 cos ? cos ? ,问题即可迎刃而解.
[略解]

1 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , ? ? 2 ? ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? 1 , ? 3 ? 5 1 ? cos ? cos ? ? ,sin ? sin ? ? ? . 12 12
? tan ? tan ? ? sin ? sin ? 1 ?? . cos ? cos ? 5

[点评] 对公式整体把握,可“居高临下”的审视问题。 [例 5]已知 sin ? ? cos ? ?

1 1 , cos ? ? sin ? ? , 求 sin(? ? ? ) 的值. 2 3

[ 分析 ] 要 想求出 sin(? ? ? ) 的 值,即 要求出 sin ? cos ? ? cos ? sin ? 的 值, 而要出现

sin ? cos ? 和 cos ? sin ? ,只需对条件式两边平方相加即可。
[ 略解 ] 将两条件式分别平方,得

1 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? , 4 1 cos 2 ? ? 2 cos ? sin ? ? sin 2 ? ? . 9
将上面两式相加,得

13 , 36 59 ? sin(? ? ? ) ? . 72 2 ? 2sin(? ? ? ) ?
[ 例 6]已知方程 mx2 ? (2m ? 3) x ? (m ? 2) ? 0 有两根 tan ? , tan ? ,求 tan(? ? ? ) 的最小 值. [分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出 tan(? ? ? ) 关于 m 的解析式。 [ 略解]

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 3 ? m ? . 1 ? tan ? tan ? 2



?m ? 0, ? 2 ? ? (2m ? 3) ? 4m(m ? 2) ? 0,
m?

9 3? m 3 , 且m ? 0. ? ?? . 4 2 4 3 故 tan(? ? ? ) 的最小值为 ? 。 4 ? ? 3? ? 3 3? 5 , cos( ?? ) ? , sin( ?? )? 求 , sin(? ? ? ) 的 [ 例 7] 已知 0 ? ? ? , ? ? ? 4 4 4 4 5 4 13
解得 值. [分析]注意到 (

3? ? 3? ? ? ? ? ) ? ( ? ? ) ? ? (? ? ? ), 可通过 ( ? ? ) 与 ( ? ? ) 的正、余弦 4 4 4 4 2

值来求出 sin(? ? ? ) 的值。 [略解] 由已知可得

sin(? ? ? ) ? sin[(

3? ? ? ? ? ) ? ( ?? ) ? ] 4 4 2 3? ? ? ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4 3? ? 3? ? ? ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? . 13 5 13 5 65
( )

[例 8]

sin 7 ? cos15 sin 8 的值等于 cos 7 ? sin15 sin 8
B. 2 ? 3 C.

A. 2 ? 3

2? 3 2

D.

2? 3 2

[分析]从角度关系分析入手,尝试配凑已知角、待求角、特殊角之间的和、差、倍、半表示 式。 [略解]

原式 ?

sin(150 ? 80 ) ? cos150 sin 80 cos(150 ? 80 ) ? sin150 sin 80

sin150 cos80 ? cos150 sin 80 ? cos150 sin 80 ? cos150 cos80 ? sin150 sin 80 ? sin150 sin 80 tan 450 ? tan 300 ? tan150 ? tan(450 ? 300 ) ? 1 ? tan 450 tan 300 ? 2 ? 3.
故选 B.

[例 9]求函数 f ( x) ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin( x ? 800 ) 的最小值。 [分析]注意到 ( x ? 800 ) ? ( x ? 200 ) ? 600 ,故可把 x ? 800 用 x ? 200 表示。 [略解]

f ( x) ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin[( x ? 200 ) ? 600 ] ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin( x ? 200 ) cos 600 ? 8cos( x ? 200 )sin 600 ? 7sin( x ? 200 ) ? 4 3 cos( x ? 200 ) ? 97 sin( x ? 200 ? ? ).
7 ? ?cos ? ? 97 , ? 其中 ? 故函数的最小值为 ? 97 。 ?sin ? ? 4 3 . ? 97 ?
[例 10] 已知 a, ? 满足方程 a cos x ? b sin x ? c, 其中 a , b, c 为常数,且 a 2 ? b 2 ? 0 。 求证:当 a ? ? 时, 4 cos 2

?

(a ? c) 2 cos ? . 2 2 a 2 ? b2
2

?

[分析]从角度关系分析入手,先将

? ? 、 转化为 a, ? 。 2 2

[略解]由 b sin x ? c ? cos x, 两边平方,并化简得

(a2 ? b2 )cos2 x ? 2ac cos x ? c2 ? b2 ? 0. ①
依题意, cos ? , cos ? 是方程①的两个实根。

? cos ? ? cos ? ?
4 cos 2

2ac c2 ? b2 cos ? ? cos ? ? . a 2 ? b2 a 2 ? b2

?
2

cos 2

?
2

? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? )
= 1 ? cos ? ? cos ? ? cos ? cos ? =

(a ? c) 2 a2 ? b2

x y [例 11]若 cos ? ? sin ? ? 1(1), 且 a b

x y x2 y 2 sin ? ? cos ? ? 1(2), 求证: 2 ? 2 ? 2 . a b a b

[分析] 比较条件式与已知式,可以发现需要消去 ? . [证明] (1)? cos? ? (2) ? sin ? 得

x ? cos ? ? sin ? ┅┅(3) a

(1)? sin ? ? (2) ?cos? 得
y ? sin ? ? cos ? ┅┅(4) b

(3)2 ? (4)2 得
作业设计:

x2 y 2 ? ?2. a 2 b2

1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划. 2、完成教材 P133-134 中 A 组习题. 3、 (选做)复习题 3 的 B 组试题. [课后反思]


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