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2014《成才之路》高一数学(人教A版)必修4课件:2-2-1 向量加法运算及其几何意义


成才之路· 数学
人教A版 ·必修4

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第二章
平面向量

第二章 平面向量

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第二章
2.2 平面向量的线性运算

第二章 平面向量

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第二章
2.2.1 向量加法运算及其几何意义

第二章 平面向量

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课前自主预习

课堂典例讲练

课后强化作业

第二章

2.2 2.2.1

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课前自主预习

第二章

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温故知新 1.向量的有关概念:
既有大小又有方向 (1)所谓向量是______________________的量,其三要素

始点,大小,方向 是____________________. 大小相等,方向相同 (2)相等向量应满足______________________,所谓共线 方向相同或相反 向量是指___________________的向量.

第二章

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→ 2.如图所示,D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,若|BC → → 1 ,|BE|= 1 . |=2,则|DF|=

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3.下列说法正确的是________(填序号). ①若|a|=0,则a=0 ②若|a|=|b|,则a=b ③若|a|=|b|,则a∥b ④若a∥b,则a=b ⑤若a=b,则|a|=|b| ⑥若|a|>|b|,则a>b
[答案] ①⑤

第二章

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4.设O为正六边形ABCDEF的中心,在如图所标出的向量 中, → (1)找出与FE共线的向量; → (2)找出与FE相等的向量; → → (3)向量OA与BC相等吗?

第二章

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[解析]

→ → → (1)OA,BC (2)BC

(3)不相等,方向不同.

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新课引入 飞机从北京到上海,再从上海到香港,两次位移的结果与 飞机直接从北京到香港的位移显然是相同的,物理中把后一次 位移称为前两次位移的和,类似地,我们可以获得向量的加法 运算,类比实数的减法运算,还可以得到向量的减法运算.

第二章

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自主预习 1.向量的加法
和 (1)定义:求两个向量____的运算,叫做向量的加法.两 向量 个向量的和仍然是一个______.

(2)三角形法则:如图甲所示,已知非零向量a,b,在平 → → → 面内任取一点,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做向量a与b的
向量和 和,记作a+b.这种求________的方法叫做向量加法的三角形

法则.

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(3)平行四边形法则:已知两个不共线向量 a、b(如图乙所 → → → → 示),作AB=a,AD=b,则 A、B、D 三点不共线,以AB,AD为 → 邻边作平行四边形 ABCD, 则向量 AC =a+b, 这种作两个向 量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.

第二章

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[拓展]①向量加法的多边形法则:n个向量经过平移,顺 次使前一个向量的终点与后一个向量的起点重合,组成一组 向量折线,这n个向量的和等于折线起点到终点的向量.这个 法则叫做向量加法的多边形法则.多边形法则实质就是三角 形法则的连续应用. ②三角形法则和平行四边形法则就是向量加法的几何意 义. (4)规定:a+0=0+a=a. (5)结论:|a+b|≤|a|+|b|.
第二章 2.2 2.2.1

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如图所示,已知向量 a、b、c 不共线,求作向量 a+b+c.

第二章

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[解析]

a、b、c 不共线中隐含着 a,b,c 均为非零向量,

因为零向量与任一向量都是共线的.利用三角形法则或平行四 边形法则作图. → 解法一:(三角形法则):如图(1)所示,作AB=a,BC=b, → → → → → → 则AC=a+b, 再作CD=c, 则AD=AC+CD=(a+b)+c, 即AD =a+b+c.

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解法二:(平行四边形法则):∵a、b、c 不共线,如图(2) 所示. → → 在平面内任取一点 O,作OA=a,OB=b, → → 以OA、OB为邻边作?OADB, → → 则对角线OD=a+b,再作OC=c, → → 以OC、OD为邻边作?OCED. → 则OE=a+b+c.

第二章

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2.向量加法的交换律 → → 已知向量 a、b,如图所示,作AB=a,BC=b,如果 A、B、 → C 不共线,则AC=a+b.

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→ → 作AD=b,连接 DC,如果我们能证明DC=a,那么也就证 明了加法交换律成立. → → 由作图可知,AD=BC=b,所以四边形 ABCD 是平行四边 → 形, 这就证明了DC=a, a+b=b+a.向量的加法满足交换律. 即

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3.向量加法的结合律 → → → 如图,作AB=a,BC=b,CD=c,由向量加法的定义,知 → → → AC=AB+BC=a+b, → → → BD=BC+CD=b+c, → → → → → → 所以AD=AC +CD=(a+b)+c,AD=AB+BD=a+(b+ c).

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从而(a+b)+c=a+(b+c),即向量的加法满足结合律.

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→ → → 化简PB+OP+BO=________.
[答案] 0

→ → → → → → → → [解析] PB+OP+BO=(OP+PB)+BO=OB+BO=0.

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课堂典例讲练

第二章

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思路方法技巧
命题方向 1 向量的三角形法则

如下图中(1)、 (2)所示, 试作出向量 a 与 b 的和.

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[分析]

依据向量加法的三角形法则,在平面上任取一点

O,以O为起点作出一个向量等于a,再以终点为起点作下一 个向量等于b,可得出a+b.

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[解析]

如下图中(1)、(2)所示,

→ → → 首先作OA=a,然后作AB=b,则OB=a+b.

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(1)如图,已知a、b,求作a+b.

(2)如图所示,已知向量a、b、c,试作出向量a+b+c.

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[解析]

(1)

→ ①AC=a+b

→ ②AC=a+b

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(2)[分析]

本题是求作三个向量的和向量的问题,首先应

作出两个向量的和,由于这两个向量的和仍为一个向量,然 后再作出这个向量与另一个向量的和,方法是多次使用三角 形法则或平行四边形法则.

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[解析]

作法 1:如图 1 所示,首先在平面内任取一点 O,

→ → → 作向量OA=a,接着作向量AB=b,则得向量OB=a+b;然后 → → 作向量BC=c,则向量OC=(a+b)+c=a+b+c 即为所求.

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→ 作法 2: 如图 2 所示, 首先在平面内任取一点 O, 作向量OA → → =a,OB=b,OC=c,以 OA、OB 为邻边作?OADB,连接 OD, → → → 则OD=OA+OB=a+b.再以 OD、OC 为邻边作?ODEC,连接 → → → OE,则OE=OD+OC=a+b+c 即为所求.

第二章

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规律总结:应用三角形法则、平行四边形法则作向量和 时需注意的问题: ①三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首 尾相连”.即n个向量首尾相连的向量的和对应的向量是第一 个向量的起点指向第n个向量的终点的向量. ②平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时 要求两个向量的起点重合.

第二章

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③当两个向量不共线时,两个法则实质上是一致的,三 角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半, 在多个向量的加法中,利用三角形法则更为简便.如本题作 法1比作法2简单.

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命题方向 2

向量的加法运算
化简下列各式:

→ → → → (1)AB+BC+CD+DA; → → → → (2)(AB+MB)+BO+OM.

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[解析] → +CA=0;

→ → → → → → → → → (1)AB+BC+CD+DA(AB+BC)+(CD+DA)=AC

→ → → → → → → → → (2)(AB+MB)+BO+OM=(AB+BO)+(OM+MB)=AO+ → → OB=AB.

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→ → → (1)在正六边形ABCDEF中, AB =a, AF =b,则 AC = → → ________,AD=________,AE=________. → → → → → (2)AB+DF+CD+BC+FA=________.
[答案] (1)2a+b,2a+2b,a+2b (2)0

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[解析]

(1)如右图,连结FC交AD于点O,连结OB,由平面几何知 识得四边形ABOF,四边形ABCO均为平行四边形. → → → 根据向量的平行四边形法则,有AO=AB+AF=a+b.

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→ → → 在平行四边形ABCO中, AC = AB + AO =a+a+b=2a+ → → → → b.AD=2AO=2a+2b.而FE=AO=a+b, → → → 由三角形法则得:AE=AF+FE=b+a+b=a+2b. → → → → → → → → → → (2)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+CD+DF+FA=0.

第二章

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建模应用引路
命题方向 3 向量加法的实际应用
如图,在重 300 N 的物体上拴两根绳子,这两根绳 子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为 30° 、60° ,求当整 个系统处于平衡状态时,两根绳子拉力的大小.

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[解析]

如图,作?OACB,使∠AOC=30° ,∠BOC=60° ,

→ → → OA和OB分别表示两根绳子的拉力,则OC表示这两根绳子拉力 → 的合力,则|OC|=300 N.

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在△OAC 中,∠ACO=∠BOC=60° ,∠OAC=90° . 3 → → 则|OA|=|OC|cos30° =300× =150 3(N), 2 1 → → |AC|=|OC|sin30° =300× =150(N), 2 → → 即|OB|=|AC|=150(N). 则可得与铅垂线成 30° 角的绳子的拉力是 150 3N, 与铅垂 线成 60° 角的绳子的拉力是 150N.

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规律总结:解决与向量有关的实际应用题,应本着如下 步骤解题: 弄清实际问题 → → → 数学问题 向量运算 → → 正确画出图形 回扣实际问题

用向量表示实际量

→ 作出解答

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在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶,速度为v1= 2 3 km/h,河水流动的速度v2=2.0km/h,试求小船过河实际 行驶速度的大小和方向.

第二章

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[解析]

→ 如图,设 OA 表示小船垂直于河岸行驶的速度,

→ → → → OB 表示水流的速度,以OA 、OB 为邻边作?OACB,则OC 就是 小船实际航行的速度.

第二章

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在Rt△OBC中, → | BC |=|v1|=2 |OB―→|2+|BC―→|2 = ?2 3?2+2.02=4. |BC| 因为tan∠BOC=|OB|= 3, 所以∠BOC=60° .所以小船实际航行速度的大小约为 4km/h,方向与水流方向约成60° 角. → → 3 ,| OB |=|v2|=2.0,所以| OC |=

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名师辨误作答
试证,对于任意给定向量 a,b,均有||a|-|b||≤|a +b|≤|a|+|b|.

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[错解]

→ → → 如图所示,设OA=a,AB=b,则OB=a+b

→ → → → → 由三角形的性质知||OA|-|AB||<|OB|<|OA|+|AB| 即||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b| ∴命题成立. [辨析] 错解没有考虑 a、b 的所有可能情形,只就 a 与 b

不共线时,用三角形的性质得出结论.以偏概全致误.

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[正解]

(1)若a,b中有一个为0时,则结论显然成立.

→ → → (2)若a、b都不是0,作OA=a,AB=b,则OB=a+b ①当a、b不共线时,据三角形的性质知, → → → → → ||OA|-|AB||<|OB|<|OA|+|OB| 即||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,如图(1)

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→ → → ②当a、b共线时,若a,b同向,则|OB|=|OA|+|AB|,即|a +b|=|a|+|b|,如图(2) → → → 若a、b反向,则||OA|-|AB||=|OB|,即 ||a|-|b||=|a+b|,如图(3) 综上知,||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

第二章

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第二章

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