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2015-2016学年广西桂林市第十八中学高二上学期段考数学(理)试卷


绝密★启用前

2015-2016 学年广西桂林市第十八中学高二上学期段考数学(理) 试卷
注意:①本试卷考试时间 120 分钟,满分 150 分; ②正式开考前,请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚,用 2B 铅笔在填涂区准确 涂好自己的考号,并检查是否完全正确; ③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应的位置上,直接在试卷上做答不得分。 一. 选择题(本题满分 60 分) 1. 若 a、b、c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 A. ac ? bc B.

c2 ?0 a?b

C. (a ? b)c 2 ? 0

D.

1 1 ? a b

2.在等比数列?an ?中,a4 a10 ? 9, 则a7 ? A.3 B. ? 3 C. ? 2 D. ? 3

3.在区间? 0, 4 ?内随机取数a,则使函数f ? x ? ? a x 为增函数的概率是 A. 3 4 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 2

? 1 ? 4.已知A ? ? x ? 1? , B ? ? x m ? x ? m ? 1? , 若x ? B是x ? A的充分非必要条件,则m的取值范围是 ? x ? A.?1, ? ?? B.? ??, ? 1? C. ? ??, ? 1? ? ?1, ? ?? D. ? ??, 0 ? ? ?1, ? ??

5.已知双曲线C : A. y ? ? 2 x

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的离心率为 3, 则C的渐近线方程为 a 2 b2 2 3 1 B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 2 3 2

6.执行如图所示的程序框图,输出的结果是 A.2 B.4 C.8 D.16

7.已知命题p : ?x ? R, 2 x ? 3x , 命题q : ?x ? R, x3 ? 1 ? x 2 , 则下列命题为 真命题的是 A. p ? q B. p ? ?q C.?p ? q D.?p ? ?q

8.已知F ? ?3,0 ? , 直线?:x ? 3, 则过点F 且与直线?相切的圆的圆心M的轨迹方程为 A.y 2 ? ?12 x B.x 2 ? ?12 y C.y 2 ? 12 x D.x 2 ? 12 y

9.设Sn是等差数列?an ?的前n项和,若a1 ? 0, S12 ? 0,若Sk 是数列?Sn ?中的最大项,则k ? A.5 B.6 C.7 D.8

1 2 10.已知a, b ? R ? , a ? b ? 1, 则 ? 的最小值为 a b A. 4 2 B. 3 ? 2 2 C.3 D.4

-1-

11.已知F1 , F2分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ?的左,右焦点,A是右顶点, 若存在过F1的直线 a 2 b2 交双曲线异于顶点的两点M , N , 使得?MAN ? 90? , 则该双曲线的离心率为 A. 2 B. 5 C. 3 D. 5 2

12.已知 a , b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, (sin A ? sin B)(a ? b) ? (sin C ? sin B)c ,

S?ABC ? 3, c ? 4b ,则函数 f ( x) ? bx2 ? ax ? c 的零点个数为
A. 0

B. 1

C. 2

D. 不确定

二. 填空题(本题满分 20 分)

? y ? 2x ?1 ? 0 y ? 13.已知x, y满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 的最大值为 x ?x ? 4 ?

14.如图所示,某几何体的三视图在网格纸上,且网格纸上小 正方形的边长为1,则该几何体的体积为

? 3? 15.在四边形ABCD中,AD ? CD, AD ? 10,AB ? 14,?BDA ? ,?BCD ? ,则BC ? 3 4
16.设椭圆 x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ?的左右焦点分别为F1、F2,焦距为2c.直线y ? 3 ? x ? c ? 与椭圆的一个 a 2 b2 交点为M,若?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 , 则椭圆离心率为

三. 解答题(本题满分 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知关于 x 的不等式 ax2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 (1)若不等式的解集是 x 1 ? x ? 5 ,求 a 的值; (2)若 a ? 1 ,求此不等式的解集.

?

?

18. (本小题满分 12 分)

已知F1 ? 2,0 ,F2

?

? ?

???? ??? ? 2,0 , 满足 PF2 ? PF1 ? 2的P的轨迹是曲线E.

?

?1? 求曲线E的方程; ? 2 ? 直线?:y ?
1 x ? 1与曲线E交于A、B两个不同点,求 AB . 2

19. 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为正方形, BC ? PD ? 2 , E 为 PC 的中点, CB ? 3CG
-2-

P

E

(1)求证: PC ? BC; (2)求三棱锥 C ? DEG 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , b sin A ? ? 3a cos B . (1)确定角 B 的大小; (2)若 ?ABC 的角平分线 BD 交线段 AC 于 D ,且 BD ? 1, S?ABC ? 3 ,记 ?BCD 和 ?ABD 的面积分别 为 S1 、 S 2 ,求

1 1 ? 2. 2 S1 S2

21. (本小题满分 12 分)
2 已知各项均为正数的数列?an ?的前n项和为Sn , 且2Sn ? an ? an ? n ? N ? ? .

?1? 求an; ? 2 ? 求数列? ?
? ? ?1?n an ? ? ?的前2n项和T2 n . a a 2 n ? 1 2 n ? 1 ? ? ? ?

22. (本小题满分 12 分)

-3-

已知椭圆E :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ?的左右焦点分别为F1、F2,离心率e ? , 点A在椭圆E上, 2 a b 2 3 且AF1 ? F1 F2 , 直线AF2在y轴上的截距为 . 4 ?1? 求椭圆E方程;

? 2 ? 点M ? x0 , y0 ? 在圆x 2 ? y 2 ? 3上,M 在第一象限,过M 作圆的切线交椭圆于P、Q两点,
问?F2 PQ的周长是否为定值?

桂林十八中 15-16 学年度上学期 14 级段考试卷

数学答案(理科)
一.选择题

CDACB CCABB AA 二.填空题(本题满分 20 分)
13.5
14.

?
3

15.8 2

16. ? 3

1

三.题(本题满分 70 分) 17.(本小题满分 10 分)
解: (1)由题意知 a

? 0 ,且 1 和 5 是方程 ax2 ? ? a ? 1? x ? 1 ? 0 的两根,

1 , a 1 解得 a ? 5
∴ 1? 5 ?

.

???? 4分
2

? ?ax ? 1??x ? 1? ? 0, ????1分 1? ? ? a? x ? ??x ? 1? ? 0 a? ?

(2)若 a ? 0 ,此不等式为 ax

? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 ,

-4-

? 1 1? 0 ? a ? 1时, ? 1, 此不等式解集为 ? x 1 ? x ? ?, ???? 2分 a a? ? ? ? 1 1 a ? 0时, ? 1, 此不等式解集为 ? x x ? , 或x ? 1?, ???? 2分 a a ? ?
若 a ? 0 ,此不等式解集为

?x x ? 1?

????1分

18.小题满分 10 分)
解: ?1?由已知得:曲线E是以F1 ,F2为焦点的双曲线, 且a ? 1, c ? 2, b ? c 2 ? a 2 ? 1, ?曲线E:x 2 ? y 2 ? 1???? 6分 1 ? 3 ? y ? x ?1 2 由 ,得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ? ? ? 2 4 2 2 ? ?x ? y ? 1 4 8 x1 ? x2 ? ? ,x1 x2 ? ? 3 3
2 ?8 ? 2 35 2 ? 1 ? ?? 4 ? ? ? AB ? ?1 ? k ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ?1 ? ? ?? ? ? ? 4 ? ? ? ???? 6分 ? ? 3? 3 ? 4?? ?? 3 ? ? 2

设A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ?,则

19(本小题满分 10 分) (Ⅰ)证明:? PD ? 平面 ABCD , ? PD ? BC ,又∵ ABCD 是正方形 ∴ BC ? CD ∵ PD ? CD ? D ∴ BC ? 平面 PCD ,∵ PC ? 面 PBC ???? 6分 ∴ PC ? BC BC ? PCD (Ⅱ)解:∵ 平面 , ∴ GC 是三棱锥 G ? DEC 的高 ∵ E 是 PC 的中点

P E

D G B

C

A 1 1 1 1 ? S ?EDC ? S ?EDC ? S ?PDC ? ? ( ? 2 ? 2) ? 1 2 2 2 2 1 1 2 2 ?VC ? DEG ? VG ? DEC ? GC ? S ?DEC ? ? ? 1 ? ???? 6分 3 3 3 9

20. (本小题满分 12 分)

解: ?1?.由已知得sin B sin A ? ? 3sin Acos B

? 0 ? A ? ? ,?sin A ? 0,?sin B ? ? 3 cos B,? tan B ? ? 3 ,
? 0 ? B ? ? ,? B ? 2? 3
????5分

? 2?由S?ABC ?
? ac =4

1 2? 3得 ac ? sin ? 3 2 3
,

? BD为?ABC的平分线

-5-

? ?ABD ? ?CBD ?

?
3

? S?ABC ? S?BCD ? S?ABD

?

1 2? 1 ? 1 ? ac ? sin ? a sin ? c sin 2 3 2 3 2 3 ? a ? c ? ac ? 4

在 ?BCD 中

S1 =

1 3 3 ?1 ? a ? a = 4 2 2

同理 S 2 ?

3 c 4
2

?

1 1 16 ? 1 1 ? 16 ? a ? c ? ? 2ac 16 ? 2? 8 ? 2 = ?? 2 ? 2 ?= ? ? ?1 ? ? ? ???? 7分 2 2 S1 S2 3 ?a c ? 3 (ac) 3 ? ac ? 3

21. (本小题满分 12 分)
20.解: ?1? 当n ? 1时,有2S1 ? a12 ? a1 ? a1 ? 1或a1 ? 0 ? 舍去 ?
2 ? 2 S ? an ? ?1 ? an ?1 当n ? 2时,有 ? n ?1 2 ? ? 2 S n ? an ? a n

2 2 ? 2an ? an ?1 ? an ?1 ? ? an ? an ?

2 2 ? an ?1 ? an ? an ?1 ? an,又 ? an ? 0

? an ?1 ? an ? 1 ? an ? n

? 数列?an ? 是以1为公差的等差数列???? 6分

? 2? ?

? ?1?

n

an

a2 n ?1a2 n ?1

?

? ?1? n ? ?1? ? 4 ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
n

n

1 ? ? 1 ? ? ? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ?

1 ?1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? 1? 1 1 ? 1? 1 1 ? T2 n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 4 ?1 3 ? 4 ? 3 5 ? 4 ? 5 7 ? 4 ? 2n ? 3 2n ? 1 ? 4 ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? 1 1 1 ?? ? ? 4 4 2n ? 1 1 1 ? ? ???? 6分 8n ? 4 4

22. (本小题满分 12 分)

3? 解: ?1? 设依题意得A ? ? ? c, ? , 2? ? c2 9 c 1 ? 2 ? 2 ? 1, 又 ? a 4b a 2 ? a ? 2, b ? 3 x2 y 2 椭圆E方程为 ? ?1 4 3

-6-

x12 y12 ? 2 ? 设P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? , 则 ? ? 1? x1 ? 2 ? 4 3 ? x2 ? 1 2 2 2 2 ? F2 P ? ? x1 ? 1? ? y12 ? ? x1 ? 1? ? 3 ?1 ? 1 ? ? ? x1 ? 4 ? 4 ? 4 ? ? F2 P ? 1 ? 4 ? x1 ? 2

? x2 ? 1 2 2 2 连接OM , OP,由相切知: PM ? OP ? OM ? x12 ? y12 ? 3 ? x12 ? 3 ?1 ? 1 ? ? 3 ? x12 4 ? 4 ? 1 ? PM ? x1 2

? F2 P ? PM ?

1 1 ? 4 ? x1 ? ? x1 ? 2 2 2 同理 QF2 ? QM ? 2

? F2 P ? F2Q ? PQ ? 2 ? 2 ? 4为定值.

-7-


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