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七年级数学竞赛讲座:第十三讲 从三角形内角和谈起

第十三讲 从三角形内角和谈起 三角形的内角和等于 180°(也称一个平角)是三角形的一个基本性质.从它出发可引出下面 两个事实: (1)三角形的外角等于此三角形中与它不相邻的两个内角和. 如图 1-35 所示.延长三角形的三条边,由三角形一条边 及另一条边的延长线所成的角称为该三角形的一个外角.如图 1-35 中的∠1,∠2,∠3, ∠4,∠5,∠6.由于 ∠1+∠ABC=180°(平角), 又 ∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°, 所以 ∠1=∠BAC+∠BCA. 同法可证 ∠3=∠BAC+∠ABC, ∠5=∠ABC+∠ACB. (2)n 边形的内角和等于(n-2)×180°. 如图 1-36 所示.以 n 边形 A1A2?An 的某一个顶点(如 A1)为共同顶点,将这个 n 边形 “分割成” n-2 个三角形△A1A2A3,△A1A3A4,?, △A1An-1An.由于每一个三角形的 内角和等于 180°,所以,这 n-2 个三角形的内角和(即 n 边形的内角和)为(n- 2)×180°(详证见后面例 6). 三角形内角和等于 180°这个事实有着广泛的应用. 例 1 如图 1-37 所示.平面上六个点 A,B, C,D,E,F 构成一个封闭折线图形.求: ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F. 分析 所求的六个角分布在三个三角形中,但需减去顶点位于 P,Q,R 处的三个内角, 由图形结构不难看出,这三个内角可以集中到△PQR 中. 解 在△PAB,△RCD,△QEF 中, ∠A+∠B+∠APB=180°, ① ∠C+∠D+∠CRD=180°, ② ∠E+∠F+∠EQF=180°. ③ 又在△PQR 中 ∠QPR+∠PRQ+∠PQR=180°.④ 又 ∠APB=∠QPR,∠CRD=∠PRQ, ∠EQF=∠PQR(对顶角相等). ①+②+③-④得 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°. 说明 依据图形的特点,利用几何图形的性质将分散的角集中到某些三角形之中,是利 用三角形内角和性质的前提. 例 2 求如图 1-38 所示图形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的大小. 分析 如果我们注意力放在三角形内角和上,那么 ∠ABE=∠ABO+∠OBE, ∠AEB=∠AED+∠OEB. 而∠ABE,∠AEB 属于△ABE,∠OBE,∠OEB 属于△OBE,再注意到△OBE 及△ODC 中,因 ∠BOE=∠COD(对顶角),因而, ∠D+∠C=∠OBE+∠OEB.从而,可求出题中五角和. 解法 1 连接 BE.在△COD 中, ∠C+∠D+∠COD=180°. ① 在△ABE 中, ∠A+∠ABE+∠AEB=180°. ② ①+②得 (∠A+∠C+∠D)+∠COD+∠ABE+∠AEB=360°. ③ 又 ∠ABE=∠ABO(即为∠B)+∠OBE, ∠AEB=∠AEO(即为∠E)+∠OEB. 故③式可化为 (∠A+∠B+∠C+∠D+∠E) +(∠COD+∠OBE+∠OEB)=360°.④ 由于 ∠COD=∠BOE(对顶角相等), 在△BOE 中 ∠COD+∠OBE+∠OEB =∠BOE+∠OBE+∠OEB =180°. 由④得 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 解法 2 如果我们注意到三角形外角的性质,结合图形(图 1-39)会发现在△OCD 中有 ∠1=∠C+∠D,△APE 中∠2=∠A+∠E,在△BOP 中∠1+∠2+∠B=180°,从而有 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°. 说明 本例解法 2 比解法 1 简洁,因为我们应用了关于三角形外角的性质. 例 3 如图 1-40 所示.在△ABC 中,∠B 的平分线与∠C 的外角平分线交于 D,且 ∠D=30°.求∠A 的度数. 分析∠D 位于△BCD 中,∠A 位于△ABC 中,它们位于两个不同的三角形之中,欲利用三 角形内角和定理解决问题, 就必须寻求两个三角形中内角之间的关系, 角平分线的条件为我 们提供了信息,事实上∠ 解 由已知,∠D=30°.在△BCD 中, ∠CBD+∠BCD=180°-30°=150°.① 因为 BD 是∠ABC 的平分线,所以 又因为 CD 是∠ACE 的平分线,所以 从而 由①,②,③ 即 所以 所以 ∠A=60°. 说明 解决本题的关键在于两条角平分线架起了△ABC 与△BCD 之间的桥梁, 完成了从已 知向未知的过渡.细心审题,发现已知与所求之间的联系,常是解题的重要前提. 例 4 如图 1-41 所示.∠A=10°,∠ABC=90°, ∠ACB=∠DCE,∠ADC=∠EDF,∠CED=∠FEG.求∠F 的度数. 分析 如果我们能注意到所给的一系列等角条件正反映了内角与外角的关系,问题就不 难解决.例如在∠ACB=∠DCE 中,∠ACB 是△ABC 的一个内角,∠DCE 是△ACD 的外 角.∠ADC=∠EDF 及∠CED=∠FEG 两个等式两边的角也是类似情况,这就为我们利用外角定 理解题创造了机会. 解 在△ABC 中,∠A=10°,∠ABC=90°,所以∠ACB=80°.因为 ∠DCE=∠ACB=80°, 在△ACD 中,∠DCE 是它的一个外角,所以 ∠DCE=∠A+∠ADC, 80°=10°+∠ADC, 所以 ∠ADC=70°,∠EDF=∠ADC=70°. 在△ADE 中,∠EDF 是它的一个外角,所以 ∠EDF=∠A+∠AED, 70°=10°+∠AED, 所以 ∠AED=60°,∠FEG=∠AED=60°. 在△AEF 中,∠FEG 是它的一个外角,所以 ∠FEG=∠A+∠F, 所以 ∠F=∠FEG-∠A=60°-10°=50°. 例 5 如图 1-42 所示. △ABC 的边 BA 延长线与外角∠ACE 的平分线交于 D. 求证: ∠BAC >∠B. 分析 三角形的外角定理的意义中已暗含着“三角形的外角大于三角形中与此外角不相 邻的内角”的意义

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