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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章2.2.2(二)_图文

2.2.2(二)

2.2.2 等差数列的前n项和(二)
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学习要求 1.熟练掌握等差数列前n项和的性质,并能灵活运用. 2.掌握等差数列前n项和的最值问题. 3.理解an与Sn的关系,能根据Sn求an.

2.2.2(二)

学法指导 1.任何一个数列{an}与它的前n项和Sn之间都有一个等量关系式, 此公式为:an=
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?S ? 1 ? ?Sn-Sn-1 ?

?n=1?, ?n≥2?

,题中已知一个数列的

前n项和,则可利用此公式求得此数列的通项公式,同时要注 意此公式是一个分段的函数,所以在使用此公式求解时,要分 类讨论. 2.数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解,这也是 利用函数解决数列问题的一个重要应用. 3.等差数列的前n项和与二次函数联系十分紧密,要辨析它们之 间的关系,从更高境界处理等差数列的前n项和问题.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.2(二)

1.前n项和Sn与an之间的关系
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对任意数列{an},Sn是前n项和,Sn与an的关系可以表示为 ? S1 ?n=1?, ? an=? ? Sn-Sn-1 ?n≥2?.n?a +a ? ? n?n-1? 1 n na1+ d 2 2.等差数列前n项和公式Sn=__________=____________. 2 3.若等差数列{an}的前n项和公式为Sn=An2+Bn+C,则A
d d a1- 2 0 2 =____,B=________,C=____.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.2.2(二)

4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值 时,n为 23或24 .
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解析 ∵a24=0,∴a1,a2,…,a23<0, 故S23=S24最小.

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2.2.2(二)

[问题情境] 1.如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式,那么这个数列确定了吗?
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如果确定了,那么如何求它的通项公式?应注意一些什么问题? 2.如果一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为常 数),那么这个数列一定是等差数列吗? 3.如果{an}是一个等差数列,那么{|an|}还是等差数列吗?如果不再 是等差数列,如何求{|an|}的前n项和? 这一节课我们就来解答上面的问题.

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探究点一 数列{an}的前n项和Sn与an的关系 问题

2.2.2(二)

我们已经知道,如果通项公式an已知,就能求出Sn;反

过来,如果已知数列{an}的前n项和Sn,能否求出它的通项 公式an?
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答 对所有数列都有:Sn=a1+a2+…+an-1+an,Sn-1=a1+ a2+…+an-1(n≥2).因此,当n≥2时,有an=Sn-Sn-1;当n= 1时,有a1=S1.所以an与Sn的关系为 an=
?S ,n=1, ? 1 ? ?Sn-Sn-1,n≥2. ?

注意这一关系适用于所有数列,并且如

果能统一用一个解析式an=f(n)(n∈N+)来表示,应当统一表示.

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探究

2.2.2(二)

如果数列{an}的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b,c为

常数),求通项公式an,并判断这个数列一定是等差数列吗?
答案 当n=1时,a1=S1=a+b+c;
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当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an2+bn+c)-[a (n-1)2+b(n-1)+c]= 2an-a+b.
?a+b+c ? ∴an=? ?2an-a+b ?

?n=1? . ?n≥2?

只有当c=0时,a1=a+b+c才满足an=2an-a+b,数列{an}才是 等差数列.

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探究点二 问题 =
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2.2.2(二)

等差数列前 n 项和的最值 n?n-1? d 2 d 由于 Sn=na1+ d= n +(a1- )n,当 d=0 时,Sn 2 2 2

d 2 na1;当 d≠0 时,此解析式可以看作二次项系数为___,一次项
d a1- 2 系数为______,常数项为 0 的二次函数,其图象为抛物线 y=
d 2 d x +(a1- )x 上的点集,坐标为(n,Sn)(n∈N*). 2 2 因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当 d>0 时,Sn 有最 小 值;当 d<0 时,Sn 有最 大 值;且 n 取最接近对称轴的 正整数时,Sn 取到最值.

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2.2.2(二)

探究

按要求,把下列表格填充完整,并观察使等差数列前

n项和Sn取到最值时序号n的规律.

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等差数列

基本量

前 n 项和 Sn

Sn 的最值 (Sn)min=1, 此时 n=__ 1

1 1,3,5,7,9,…,

1 a1=__,
d=__ 2

Sn=__ n

2

-5,-3, 2 -1,1,3,…,

-5 a1=__, 2 d=__

n -6n Sn=______

2

-9 (Sn)min=____,
此时 n=____ 3

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2.2.2(二)

4,2,0,-2, 3
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a1=___, 4 d=___ -2

-4,…,

-n +5n Sn=_______

2

(Sn)max=____, 6

2或3 此时n=______

4

-1,-2,-3, a1=___, -1 -4,-5,…, d=____ -1

1 1 -1 - n2- n (Sn)max=_____, 2 2 Sn=_________

此时n=____ 1

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2.2.2(二)

通过上面的例子,我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号 分界点处取到,据此完善下列结论:
本 大 课 这些项相加即得{Sn}的最____值. 时 负 栏 (2)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为____项(或0),所以将 目 小 开 这些项相加即得{Sn}的最____值; 关

(1)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为____项(或0),所以将 正

小 特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最____值;若a1<0,d< 大 0,则S1是{Sn}的最____值.

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典型例题

2.2.2(二)

例1 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2-3n,求通项公 式an.
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当n=1时,a1=S1=-1,

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5. 又∵a1=-1适合an=4n-5, ∴an=4n-5(n∈N*). 小结 已知前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1求得a1,

再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求an,最后验证a1是否符合an,若符 合则统一用一个解析式表示.

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2.2.2(二)

跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和Sn=3n,求an.


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当n=1时,a1=S1=3;
- -

n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n 1=2·n 1. 3
?3 ? ∴an=? n-1 ?2· ? 3

?n=1? ?n≥2?

.

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2.2.2(二)

例2 在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列 前n项和Sn的最小值.


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方法一

∵an=2n-14,∴a1=-12,d=2.

∴a1<a2<…<a6<a7=0<a8<a9<…. ∴当n=6或n=7时,Sn取到最小值. 易求S7=-42,∴(Sn)min=-42.

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2.2.2(二)

方法二 ∵an=2n-14,∴a1=-12. ? n?a1+an? 13 ?2 169 2 ∴Sn= =n -13n=?n- ? - . 2 2? 4 ?
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∴当n=6或n=7时,Sn最小,且(Sn)min=-42.

小结 在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出 某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后 面的各项皆取负(正)值,则从第1项起到该项的各项的和 为最大(小).由于Sn为关于n的二次函数,也可借助二次 函数的图象或性质求解.

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2.2.2(二)

跟踪训练2 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求Sn的最大 值.

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解 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质. 17 由S17=S9,得25×17+ 2 ×(17-1)d 9 =25×9+ ×(9-1)d, 2 n 解得d=-2,所以Sn=25n+2(n-1)(-2) =-(n-13)2+169, 由二次函数性质可知,当n=13时,Sn有最大值169.

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2.2.2(二)

方法二

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先求出d=-2,因为a1=25>0, 1 ? ?a =25-2?n-1?≥0, ?n≤132, ? n 由? 得? ?an+1=25-2n≤0, ? ?n≥121. 2 ? 所以当n=13时,Sn有最大值. 13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此Sn的最大值为169.

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2.2.2(二)

方法三

由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,

而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
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故a13+a14=0.由方法一知d=-2<0, 又因为a1>0,所以a13>0,a14<0, 故当n=13时,Sn有最大值. 13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此Sn的最大值为169.

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2.2.2(二)

例3 若等差数列{an}的首项a1=13,d=-4,记Tn=|a1|+|a2| +…+|an|,求Tn.
解 ∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n.
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当n≤4时,Tn=|a1|+|a2 |+…+|an |=a1+a2+…+an n?n-1? n?n-1? =na1+ d=13n+ ×(-4) 2 2 =15n-2n2; 当n≥5时,Tn=|a1|+|a2 |+…+|an |
=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an) =S4-(Sn-S4)=2S4-Sn ?13+1?×4 =2× -(15n-2n2) 2 =56+2n2-15n.

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2.2.2(二)

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?15n-2n2,n≤4; ? ∴Tn=? 2 ?2n -15n+56,n≥5. ?

小结 等差数列{an}前n项的绝对值之和,由绝对值的意义,应 首先分清这个数列的哪些项是负的,哪些项是非负的,然后再 分段求出前n项的绝对值之和.

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2.2.2(二)

跟踪训练3 已知等差数列{an}中,记Sn是它的前n项和,若S2= 16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
? ?2a +2×1d=16, 2 ? 1 解 由S2=16,S4=24,得? 4×3 ? ?4a1+ 2 d=24. ?
?2a +d=16, ? 1 即? ?2a1+3d=12. ? ?a =9, ? 1 解得? ?d=-2. ?

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所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n(n∈N*).

2.2.2(二)

①当n≤5时,Tn=|a1|+|a2 |+…+|an |=a1+a2+…+an=Sn=-n2 +10n.
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②当n≥6时,Tn=|a1|+|a2 |+…+|an |=a1+a2+…+a5-a6-a7-… -an=2S5-Sn =2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50,
?-n2+10n ? 故Tn=? 2 ?n -10n+50 ?

?n≤5?, ?n≥6?.

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2.2.2(二)

1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于
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( D )

A.n C.2n+1

B.n2 D.2n-1

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2.2.2(二)

2.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+ λ,则λ的值是 A.-2
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( B ) B.-1 D.1

C.0

解析 等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn, ∴λ=-1.

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2.2.2(二)

3.设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+ |a7|= 25 .
解析 |a1 |+|a2|+|a3 |+…+|a7 |
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=(-a1)+(-a2)+(-a3)+(a4+a5+a6+a7) =-(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6+a7) =-(-5-3-1)+(1+3+5+7) =5+3+1+1+3+5+7=25.

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2.2.2(二)

4.首项为正数的等差数列,前n项和为Sn,且S3=S8,当n=
5或6

时,Sn取到最大值.

解析 ∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0,
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∴a6=0.

∵a1>0,∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0.故当n=5或6 时,Sn最大.

2.2.2(二)

1.公式an=Sn-Sn-1并非对所有的n∈N*都成立,而只对n≥2
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的正整数才成立.由Sn求通项公式an=f(n)时,要分n=1 和n≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一 解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示.

2.2.2(二)

2.求等差数列前n项和的最值 (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n项和 的最值,但要注意n∈N*,结合二次函数图象的对称性来
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确定n的值,更加直观.
?a ≥0, ? n (2)通项法:当a1>0,d<0, ? ?an+1≤0 ? ?a ≤0, ? n 当a1<0,d>0,? ?an+1≥0 ?

时,Sn取得最大值;

时,Sn取得最小值.

3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an} 的正负项的分界点.


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