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2015年2月甘肃省河西五地市高三第一次联考数学(理科)试题


2015 年 2 月甘肃省河西五地市高三第一次联考 数学(理科)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,总分 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 6 0 分) 一.选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合 M ? {x | x ? 3 x ? 2 ? 0} ,集合 N ? ? x ( ) ? 4? , 则 M ? N ? ( )
2
x

? ?

1 2

? ?

A. {x | x ? ?2} 2.下面是关于复数 z ?

B. {x | x ? ?1}

C. {x | x ? ?1}

D. {x | x ? ?2}

2 的四个命题: 1? i

p1 : z ? 2 ,
其中真命题为( A. p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i
) B. p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为 ? 1 ? i

p4 : z 的虚部为

C. p2 , p4

D. p3 , p4

3.已知平面向量 a与b 的夹角为 A. B. 3 )

? , 且 b ? 1, a ? 2b ? 2 3 , 则 a ? ( ) 3
C. 3 D. 2

4.下列推断错误的是(
2

A.命题“若 x ? 3 x ? 2 ? 0, 则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 则 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 ”
2 B.命题 p : 存在 x 0 ? R ,使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则非 p : 任意 x ? R ,都有 x 2 ? x ? 1 ? 0

C.若 p 且 q 为假命题,则 p, q 均为假命题 D.“ x ? 1 ”是“ x ? 3 x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

5.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为( )

4

3 3

A. 12 3

正视图

B. 36 3

侧视图

C. 27 3

D. 6

俯视图

6.等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于( )

A. 4

B. 5

C. 6

D. 1 ? lg 4

?y ? 5 ? 7.若实数 x、y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0. 则 z ?| x | ?2 y 的最大值是( ) ?x ? y ?1 ? 0 ?
B. 11 C. 13 D. 14 1 8.抛物线 x 2 ? y 在第一象限内图象上一点 (a i ,2a i2 ) 处的切线与 x 轴交点的横坐标记 2 为 a i ?1 ,其中 i ? N ? ,若 a 2 ? 32 ,则 a 2 ? a 4 ? a 6 ? ( ) A. 64 B. 42 C. 32 D. 21 A. 10 9.定义行列式运算:

a1 a2 a3 a4

? a1a4 ? a2 a3 .若将函数 f ( x) ?

-sinx cos x 1 - 3

的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位后,

所得图象对应的函数为奇函数,则 m 的最小值是( ) A.

?
6

B.

?
3
k

C.

2? 3

D.

5? 6 1 2 ,记函数 y ? x 与 16
x ? [0,4], y ? [0,16] ,则

? x? 10.设 k 是一个正整数, ? 1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? k?
y ? kx 的图像所围成的阴影部分为 S ,任取
点 ( x, y ) 恰好落在阴影区域内的概率为( )

17 96 1 C. 6
A.

5 32 7 D. 48
B.

11.已知 F2 、 F1 是双曲线

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的上、下焦点,点 F2 关于渐近线的对称点恰好落在以 F1 为圆 a 2 b2

心, OF1 为半径的圆上,则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. 3 C. 2 D. 2

12.已知实数 a, b, c, d 满足
2 2

a ? 2e a 1 ? c ? ? 1 其中 e 是自然对数的底数, b d ?1

则 (a ? c) ? (b ? d ) 的最小值为( ) B. 8 C. 12 D. 18 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 个小题, 每小题 5 分,共 20 分, A. 4

请把正确的答案填写在各小

题的横线上.) 13.定义某种运算 ? , S ? a ? b 的运算原理如右图: 则式子 5 ? 3 ? 2 ? 4 ? _________.

14.正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点在同一球面上,若正四棱锥的底面边长是 4 ,侧棱长为 2 6 ,则此球的表面 积___________. 15.从某校数学竞赛小组的 10 名成员中选 3 人参加省级数学竞赛,则甲、乙 2 人至少有人入选,而丙没有入选的 不同选法的种数为 (用数字作答).
2 2

16.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 15 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以 该点为圆心,半径为的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最小值是____. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明或演算步骤.) 17.(本题满 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B (1)求 cos B 的值; (2)若 BA ? BC ? 2 ,且 b ? 2 2 ,求 a和c 的值.

18.(本小题满分 12 分) 甲乙两人进行围棋比赛, 约定每局胜者得 1 分, 负者得 0 分, 比赛进行到有一人比对方多 2 分或打满 6 局时停止. 设 1 5 甲在每局中获胜的概率 p ( p ? ) ,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 . 2 9 (1)求 p 的值;
(2)设 ? 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 ? 的分布列和数学期望 E? .

19.(本题满分 12 分)

己知斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角 形,侧面 A1 ACC1 为菱形, ?A1 AC ? 60 ,平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC , N 是 CC1 的中点. (1)求证: A1C ? BN ; (2)求二面角 B ? A1 N ? C 的余弦值.

20. (本题满分 12 分) 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O , 焦点在 x 轴上, 左右焦点分别为 F1 和 F2 , 且 | F1 F2 |? 2 , 点 (1, ) 在该椭圆上. (1)求椭圆 C 的方程; (2) 过 F1 的直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 若 ?AF2 B 的面积为

3 2

12 2 , 求以 F2 为圆心且与直线相切圆的方程. 7

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? (1)当 a ?
a x?2

25 时,求 f ( x) 的单调递减区间; 4 1 1 1 ? ? ? 3 5 7 1 (n ? N ? ) 2n ? 1

(2)若当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证: ln(n ? 1) ?
?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅笔在答题卡 上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切

PA ? 20 ,PB ? 10, ?BAC 的角平分线 点, PO交圆O于B, C两点,

与 BC 和圆

O 分别交于点 D 和 E . (1)求证 AB ? PC ? PA ? AC (2)求 AD ? AE 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线的极坐标方程是 2 ? sin(? ? 求线段 PQ 的长.

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极 (? 为参数) ? y ? sin ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为 O、P ,与直线的交点为 Q ,

24.(本小题满分 l0 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 |, g ( x) ?| x | ? a (1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)若存在 x ? R ,使得, f ( x) ? g ( x) 成立,求实数 a 的取值范围.

2015 年 2 月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考 数学试题答案(理科)
一、选择题:1.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6.A 7.D 16. ? 8.B 9.A 10.C 11.C 12.B 二、填空题:13. 14 三、解答题 17【解析】: (I)由正弦定理得 a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C , 14. 36? 15. 49

4 3

则2 R sin B cos C ? 6 R sin A cos B ? 2 R sin C cos B, 故 sin B cos C ? 3 sin A cos B ? sin C cos B, 可得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3 sin A cos B, 即 sin( B ? C ) ? 3 sin A cos B, 可得 sin A ? 3 sin A cos B.又 sin A ? 0, 1 因此 cos B ? . 3
(II)解:由 BA ? BC ? 2 ,可得 ac cos B ? 2 ,

????6 分

1 又 cos B ? , 故ac ? 6, 3 2 2 由b ? a ? c 2 ? 2ac cos B, 可得a 2 ? c 2 ? 12, 所以(a ? c) 2 ? 0, 即a ? c,
所以 a=c= 6 ----------12 分 18. 解: (Ⅰ)依题意,当甲连胜 2 局或乙连胜 2 局时,第二局比赛结束时比赛结束. 5 2 1 解得 p ? 或 p ? . ? 有 p 2 ? (1 ? p ) 2 ? . 9 3 3 1 2 p? , ? p ? . ????????????5 分 2 3 (Ⅱ)依题意知,依题意知, ? 的所有可能值为 2,4,6.??????6 分 5 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为 .若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是 9 各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响. 5 5 5 20 5 5 16 从而有 P(? ? 2) ? , P(? ? 4) ? (1 ? )( ) ? , P(? ? 6) ? (1 ? )(1 ? ) ? 1 ? . 10 分 9 9 9 81 9 9 81 ? 随机变量 ? 的分布列为: ? 2 4 6 P 则 E? ? 2 ?
5 9 20 81 16 81

5 20 16 266 ? 4? ? 6? ? . 9 81 81 81

????????12 分
z A1 C1 B1 O C y x B

19 【解析】: (Ⅰ)证明:方法一 取 AC 的中点 O ,连结 BO , ON ,由题意知 BO ? AC . 又 因 为 平 面 A1 ACC1 ? 平 面 ABC , 所 以

BO ? 平 面

A1 ACC1 .??????2 分 因为 A1C ? 平面 A1 ACC1 所以 BO ? A1C
因为 四边形 A1 ACC1 为菱形,所以 A1C ? AC1 又因为 ON ∥ AC1 , 所以 A1C ? ON

N

A

所以 A1C ? 平面 BON ??????4 分 又 BN ? 平面 BON , 所以 A1C ? BN .?6 分 方法二 取 AC 的中点 O ,连结 BO , A1O , 由题意知 BO ? AC , A1O ? AC . 又因为 平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC ,所以 A1O ? 平面 ABC 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ????????2 分 则 O ? 0, 0, 0 ? , B

? ?

? 3 3? , C ? 0,1, 0 ? , 3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 , N ? 0, , ? 2 2 ? ? ? ?

? ?

?

A1C ? 0,1, ? 3 .

?

? 3 3? BN ? ? ? 3, , ? ? 2 2 ? ? ?
3 ? ? 3 2

????????4 分

因为 A1C BN ? 0 ?

?

?

3 ? 0 ,所以 A1C ? BN ????????6 分 2

(Ⅱ)取 AC 的中点 O ,连结 BO , A1O , 由题意知 BO ? AC , A1O ? AC . 又因为 平面 A1 ACC1 ? 平面 ABC ,所以 A1O ? 平面 ABC 以 O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz . ????????7 分 则 O ? 0, 0, 0 ? , B

?

? 3 ? 3 3? 3? , A1 N ? ? 0, , ? , 3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 , N ? 0, , ? ? ? 2 ? ? 2 2 ? 2 ? ? ? ?

? ?

?

A1 B ?

?

3, 0, ? 3 .

?

? ? A1 N ? n1 ? 0, 设平面 A1 BN 的法向量为 n1 ? ( x, y , z ) ,则 ? ? ? A1 B ? n1 ? 0.
令 x ? 1 .所以 n1 ? (1,

?3 3 z ? 0, ? y? 即 ?2 2 ? 3 x ? 3 z ? 0. ?

3 , 1) . 3

????????????????9 分

又平面 A1 NC 的法向量 n2 ? (1, 0, 0)

?????????????10 分

设二面角 B ? A1 N ? C 的平面角为 ? ,则 cos ? ?

n1 ? n2 21 ? .?????12 分 n1 ? n2 7

20. (12 分) 【解析】 (1)椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

?????. . (4 分)

(2)①当直线⊥x 轴时,可得 A(-1,意.

3 3 ) ,B(-1, ) , ? A F2 B 的面积为 3,不符合题 2 2
????(6 分)

②当直线与 x 轴不垂直时,设直线的方程为 y=k(x+1) .代入椭圆方程得:

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,显然 ? >0 成立,设 A ( x1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则

x1 ? x 2 ? ?

8k 2 8k 2 ? 12 12(k 2 ? 1) , ,可得 |AB|= ?????. . (10 分) x ? x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

又圆 F2 的半径 r=

2|k | 1? k 2

,∴ ? A F2 B 的面积=

1 12 | k | k 2 ? 1 = 12 2 ,化简得:17 4 + 2 -18=0, |AB| r= k k 2 7 3 ? 4k 2

得 k=±1,∴r = 2 ,圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 2 ?????. . (12 分) 21. (Ⅰ) 当 a ?

4x 2 ? 9x ? 9 (4 x ? 3)( x ? 3) 25 ' 时 f ( x) ? ? 2 4 4( x ? 1)( x ? 2) 4( x ? 1)( x ? 2) 2

3 ? f ( x) 的单调递减区间为 (? ,3) ????????????? 4 分 4 a (Ⅱ) 由 ln( x ? 1) ? ? 1 得 a ? ( x ? 2) ? ( x ? 2) ln( x ? 1) x?2
记 g ( x) ? ( x ? 2)?1 ? ln( x ? 1)?

g ' ( x) ? 1 ? ln( x ? 1) ?
当 x ? 0 时 g ( x) ? 0
'

x?2 1 ? ? ln( x ? 1) ? x ?1 x ?1
? g ( x) 在 (0,??) 递减 ? g ( x) ? 2 ( x ? 0)

又 g (0) ? 2 ? ?1 ? ln 1? ? 2

?a?2

?????????????????????? 8 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 ln( x ? 1) ?

2 x ? 1 ( x ? 0) ? ln( x ? 1) ? x?2 x?2 1 1 1 k ?1 1 k 取 x ? 得 ln( ? 1) ? 即 ln( )? 1 k k k 2k ? 1 ?2 k 2 3 4 n ?1 1 1 1 1 ?? 12 分 ? ln ? ln ? ln ? ? ? ln ? ? ? ??? 1 2 3 n 3 5 7 2n ? 1

22.(1)∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角,

?PAB ∽ ?PCA ?

AB PA . ? AC PC

????????4 分
2

(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA ? PB ? PC ,

? PC ? 40, BC ? 30 又∵ ?CAB ? 900 , ? AC 2 ? AB 2 ? BC 2 ? 900
又由(1)知

AB PA 1 ? ? ? AC ? 12 5 AC PC 2

AB ? 6 5 ,

连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB,

?ACE ∽ ?ADB ,则

AB AD , ? AE AC
------10 分

∴ AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ? 12 5 ? 360 .
2 2

23.解:圆 C 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? sin ? 所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? 设 P ( ?1 , ?1 ) ,则有 ? (5 分)

? ? 2 cos ? ? ? ? ? 解得 ?1 ? 1,?1 ? ?? 3 ? 3 ?

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? ? 设 Q ( ? 2 , ? 2 ) ,则有 ? 解得 ? 2 ? 3, ? 2 ? ? ?? 3 ? 3 ?
所以 | PQ |? 2 (10 分)

24 故 h( x) min ? h( ? ) ? ?

1 2

1 1 ,从而所求实数 a 的范围为 a ? ? 2 2

--------10 分


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