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浙江省海宁市2013届高三数学下学期期初考试试题 文(含解析)新人教A版

浙江省海宁市 2013 届高三下学期期初考试数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 分)已知 i 为虚数单位,则复数 z 满足 z(1﹣i)=2﹣i,则 z=( (5 ) A.3+i B. C. D. 1﹣3i

考点: 复数代数形式的乘除运算.. 专题: 计算题. 分析: 把给出的等式两边同时乘以 解答: 解:由 z(1﹣i)=2﹣i, 得:

,然后利用复数的除法运算进行化简.

=



故选 C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算, 复数的除法采用分子分母同时乘以分母的共轭 复数,此题是基础题. 2. 分)已知全集 U=R,集合 A={﹣1,0,1,2,3},B={x|0≤x<2},则 A∩(CUB)=( (5 A.{﹣1,3} B.{0,1} C.{﹣1,2,3} D.{﹣1,0,3} 考点: 交、并、补集的混合运算.. 专题: 计算题. 分析: 先求出集合 B 的补集,再进行交集运算即可. 解答: 解:∵B={0≤x<2},∴CUB={x<0 或 x≥2} ∴A∩(CUB)={﹣1,2,3} 故选 C. 点评: 本题考查集合的交、补混合运算. )

3. 分)已知 f(x)=sin(x+φ ) ∈R) (5 (φ ,则“φ = A.充分不必要条件 C.充分必要条件

”是“f(x)是偶函数”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.. 专题: 阅读型. 分析: 根据诱导公式 sin(x+ )=cosx,与函数的周期性判断即可. 解答: 解:∵φ = ,f(x)=sin(x+ )=cosx,f(x)是偶函数;

1

∵若 f(x)是偶函数,φ 不一定等于



∴是充分不必要条件, 故选 A 点评: 本题考查充分不必要条件的判定. ①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的充分不必要条件; ②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件; ③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件; ④若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件. 4. 分)同时抛掷两枚质地均匀的骰子,则出现向上的点数之和不小于 8 的概率是( (5 A. B. C. D. )

考点: 等可能事件的概率.. 专题: 概率与统计. 分析: 列出如下表格即可得到基本事件的总数和要求的事件包括的基本事件的个数, 利用古 典概型的概率计算公式即可得到. 解答: 解:设同时抛掷两枚质地均匀的骰子,出现向上面的点数分别为 a,b, 记 ξ =a+b 如下表格: 由表格可以得到:基本事件的总数是 6×6=36;其中满足 ξ ≥8 共有 15 个. 因此出现向上面的点数之和不小于 8 的概率 P= 故选 B. .

点评: 正确列出满足题意的表格和古典概型的概率计算公式理解是解题的关键. 5. 分)已知直线 l 和平面 α ,β ,则( (5 ) A.若 l∥α ,α ⊥β , 若 l∥α ,α ∥β , 若 l∥α ,l? β , D.若 l⊥α ,l? β , B. C. 则 l⊥β 则 l∥β 则 α ∥β 则 α ⊥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系.. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由线面平行及面面垂直的几何特征,可得 A 中 l 与 β 可能平行,可能相交(包括垂 直) ,也可能线在面内,进而判断 A;由线面平行及面面平行的几何特征,可得 l∥β
2

或 l? β , 进而判断 B; 由线面平行的性质定理,可得 α ,β 可能相交 (此时 l 与 α , β 的交线平行) ,进而判断 C;由面面垂直的判定定理可判断 D. 解答: 解:若 l∥α ,α ⊥β ,则 l 与 β 可能平行,可能相交(包括垂直) ,也可能线在面 内,故 A 不正确; 若 l∥α ,α ∥β ,则 l∥β 或 l? β ,故 B 不正确; 若 l∥α ,l? β ,则 α ∥β 或 α ,β 相交(此时 l 与 α ,β 的交线平行) ,故 C 不正确; 若 l⊥α ,l? β ,由面面垂直的判定定理可得 α ⊥β ,故 D 正确 故选 D 点评: 本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系, 熟练掌握空间中直线与平面 位置关系的定义,判断,性质及几何特征是解答的关键.

6. 分)若实数 x,y 满足不等式组 (5

,则 3x﹣2y 的最小值是(



A.﹣12

B.﹣10

C.﹣2

D.0

考点: 简单线性规划.. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的四边形 OABC 及其内部,再将目标函数 z=3x﹣2y 对应的直线进行平移,可得当 x=﹣4,y=0 时,z=3x﹣2y 取得最小值. 解答: 解:作出不等式组 表示的平面区域,

得到如图的四边形 OABC 及其内部, 其中 A(0,1) ,B(﹣2,2) ,C(﹣4,0) 是坐标原点 ,O 设 z=F(x,y)=3x﹣2y,将直线 l:z=3x﹣2y 进行平移, 当 l 经过点 C 时,目标函数 z 达到最小值 ∴z 最小值=F(﹣4,0)=﹣12 故选:A

点评: 本题给出二元一次不等式组,求目标函数 z=3x﹣2y 的最小值,着重考查了二元一次 不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.

3

7. 分) (5 已知某几何体的三视图 (单位: dm) 如图所示, 则该几何体的体积 (dm ) ( 是

3



A. 64

B.64+16π

C.64+4π

D.32+4π

考点: 由三视图求面积、体积.. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体,下部是一个棱长为 4 的正方体,上部 是一个高为 4,底面直径为 2 的圆柱,分别代入棱柱和圆柱的体积公式,相加可得答 案. 解答: 解:由已知中的三视图可得该几何体是一个组合体 下部是一个棱长为 4 的正方体,上部是一个高为 4,底面直径为 2 的圆柱 则 V 正方体=4×4×4=64 V 圆柱=4×π ×( ) =4π 故几何体的体积 V=64+4π 故选 C 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积, 其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状 及棱长,高,底面直径的关键几何量是解答的关键. 8. 分)已知函数 f(x)=asinx﹣x(a∈R) (5 ,则下列命题中错误的是( ) A.若﹣1≤a≤1,则 f(x)在 R 上单调递减 B.若 f(x)在 R 上单调递减,则﹣1≤a≤1 C.若 a=1,则 f(x)在 R 上只有 1 个零点 D.若 f(x)在 R 上只有 1 个零点,则 a=1 考点: 命题的真假判断与应用;函数的单调性与导数的关系.. 专题: 阅读型. ′ 分析: 根据 f(x)在 R 上单调递减?f (x)<0,求 a 的取值范围,来判断 A、B 的正确性; 利用 sinx≤x,来判断 f(x)有一个零点的条件,判断 C 是否正确; 利用函数图象有交点的条件,判定 D 是否正确. ′ ′ 解答: 解:∵f (x)=acosx﹣1,当﹣1≤a≤1,f (x)<0?f(x)在 R 上单调递减,∴A 正确; ′ 若 f(x)在 R 上单调递减:f (x)=acosx﹣1≤0 恒成立,∴﹣1≤a≤1,∴B 正确; 对 C,∵sinx≤x 当且仅当 x=0 取“=”,∴a=1,则 f(x)在 R 上只有 1 个零点,C 正确; ∵当 0<a<1 时 f(x)在 R 上也只有 1 个零点 0,∴D 错误. 故选 D 点评: 本题借助考查命题的真假判断及应用,考查函数的零点判定与导数的应用.
2

4

9. 分)设函数 f(x)=| (5 |,若 0≤a<b,且 f(a)=f(b) ,则 a+b 的取值范围是 ( ) A.(1,4] B.(2,4] C.(1,+∞) D.(2,+∞) 考点: 带绝对值的函数.. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由题意可得 0<a<1,且 b>1, =2.利用基本不等式可得+b>2,利用三角 代换求得 a+b≤4,由此求得 a+b 的取值范围. 解答: 解:∵函数 f(x)=| |,若 0≤a<b,且 f(a)=f(b) ,∴0<a<1,且 b >1, ∴1﹣ = ﹣1,故 =2. 平方可得 a+b+2 =4,利用基本不等式可得 2( a+b)>4,a+b>2. 2 2 令 =2cos θ , =2sin θ , 4 4 2 2 2 2 2 2 则 a+b=4(cos θ +sin θ )=4[(cos θ +sin θ ) ﹣2sin θ ?cos θ ]=4﹣2sin 2θ ≤4, 则 a+b 的取值范围是 (2,4], 故选 B. 点评: 本题主要考查带有绝对值的函数,二倍角公式以及用三角代换法求函数的最值,属于 中档题.

10. 分) (5 (2013?婺城区模拟)已知点 P 是双曲线 C:

左支

上一点,F1,F2 是双曲线的左、右两个焦点,且 PF1⊥PF2,PF2 与两条渐近线相交于 M,N 两 点(如图) ,点 N 恰好平分线段 PF2,则双曲线的离心率是( )

A.

B.2

C.

D.

考点: 双曲线的简单性质.. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 在三角形 F1F2P 中,点 N 恰好平分线段 PF2,点 O 恰好平分线段 F1F2,根据三角形的中 位线定理得出 ON∥PF1,从而得到∠PF1F2 正切值,可设 PF2=bt.PF1=at,再根据双曲 线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a,进而根据勾股定理建立等式求得 a 和 b 的关系,则离 心率可得. 解答: 解:在三角形 F1F2P 中,点 N 恰好平分线段 PF2,点 O 恰好平分线段 F1F2, ∴ON∥PF1,又 ON 的斜率为 , ∴tan∠PF1F2= , 在三角形 F1F2P 中,设 PF2=bt.PF1=at,
5

根据双曲线的定义可知|PF2|﹣|PF1|=2a,∴bt﹣at=2a,① 2 2 2 2 2 2 2 2 在直角三角形 F1F2P 中,|PF2| +|PF1| =4c ,∴b t +a t =4c ,② 由①②消去 t,得 又 c =a +b , 2 2 ∴a =(b﹣a) ,即 b=2a, ∴双曲线的离心率是 = ,
2 2 2



故选 A. 点评: 本题主要考查了双曲线的简单性质,考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握,属 于基础题. 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 分)已知函数 f(x)= (4 ,则 f(f( ) )的值是 .

考点: 函数的值.. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据分段函数先求 f( ) ,再求 f(f( ) )即可. 解答: 解:∵f( )= 故答案为: . 点评: 考查分段函数的函数求值,考查学生的运算能力,属基础题. 12. 分)已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则 (4 图中的 m+n= 9 . =﹣1,∴f(f ) )=f(﹣1)=3 +1= ,
﹣1

考点: 茎叶图.. 专题: 图表型. 分析: 求平均数只要求出数据之和再除以总个数即可; 找中位数要把数据按从小到大的顺序 排列,位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数,据此求出它们的中位数 和平均数,即可求出答案. 解答: 解:甲平均数是:

6

(10+m+20+22+28) , 乙平均数是: (19+n+20+26) , 甲数据从小到大排列,位于中间的两个数的平均数是 21,所以中位数 21. 乙数据从小到大排列,位于中间的数是 20+n,所以中位数 20+n. 根据题意得:

∴ 故答案为:9. 点评: 考查茎叶图、中位数与平均数的意义.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后 再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求, 如果是偶数个则找中间两位数的平均数. 13. 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a7=﹣2,S9=18,则 S11= 0 . (4 考点: 等差数列的前 n 项和.. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由 S9=18,可得 a5=2,进而可得 a6=0,而 S11= 解答: 解:由题意可得 S9= = =18,

,代入可得答案.

解得 a5=2,所以 a6=

=0,

故 S11=

=

=0

故答案为:0 点评: 本题考查等差数列的求和公式及等差数列的性质,属基础题. 14. 分)若某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 7 . (4

7

考点: 程序框图.. 专题: 图表型. 分析: 本题循环结构是当型循环结构,根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执 行循环语句,一旦不满足条件就退出循环,从而到结论. 解答: 解:如图,这个循环结构是当型循环结构, 第一次循环:S=0+1sin 第二次循环:S=1+3sin 第三次循环:S=﹣2+5sin ∵S=7>2,退出循环, ∴输出 k=7. 故答案为:7. =1,k=3; =﹣2,k=5; =3,k=7;

点评: 本题考查当型循环结构的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.

15.4 分) ( 已知 sin α + (

) , = 且满足 α ∈[

], cos2α 的值是 则



考点: 二倍角的余弦;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数.. 专题: 三角函数的求值.
8

分析: 由 α 的范围求出 α +

的范围, 利用同角三角牌函数间的基本关系求出 cos (α + )﹣



的值,由 cosα =cos[(α +

],利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的

三角函数值化简后,将各自的值代入求出 cosα 的值,所求式子利用二倍角的余弦函 数公式化简后,计算即可求出 cos2α 的值. 解答: 解:∵α ∈[﹣ , ], ∴α + ∈[0, ],

∵sin(α + ∴cos(α +

)= , )= )﹣ = = , )cos +sin(α + )

∴cosα =cos[(α + sin = × + ×
2

]=cos(α + ,

则 cos2α =2cos α ﹣1=2×( 故答案为:

) ﹣1=

2



点评: 此题考查了两角和与差的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,以及二倍角的 余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.

16. 分)已知 F 是椭圆 C: (4 若|PF|?|QF|=9,则|PQ|= 2 .

的左焦点,过原点 O 的直线交椭圆 C 于 P,Q 两点,

考点: 椭圆的简单性质.. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: P 点的坐标为 n)利用椭圆的第二定义可表示出|PF|, 设 (m, , |QF|, 再利用|PF|?|QF|=9, 可求得 m,继而可求得 n,从而可求得|PQ|. 解答: 解:∵F 是椭圆 C: + =1 的左焦点,

∴F(﹣3,0) ,离心率 e= = ; ∵过原点 O 的直线交椭圆 C 于 P,Q 两点,设 P 点的坐标为(m,n) , 则 Q(﹣m,﹣n) . 设 P 点在该椭圆的左准线 x=﹣ =﹣ 上的射影为 P′,Q 点在该椭圆的左准线 x=

9



上的射影为 Q′, = =e= , ) ,

由椭圆的第二定义得: ∴|PF|= |PP′|= [m﹣(﹣ 同理可得,|QF|= ( ∵|PF|?|QF|=9, ∴ (m+ ∴m =
2

)]= (m+

﹣m) ,

)? ( .

﹣m)=9,

∵P(m,n)为椭圆 C:

+

=1 的点,

∴ ∴n =
2

+ ,
2

=1,

∴|PQ| =4m +4n =4×

2

2

=56,

∴|PQ|=2 . 故答案为:2 . 点评: 本题考查椭圆的第二定义,考查转化思想与方程思想,考查运算能力,求得 P 点的坐 标是关键,也是难点,属于难题. 17. 分)在△ABC 中,AB=3,AC=4,∠BAC=60°,若 P 是△ABC 所在平面内一点,且 AP=2, (4 则 的最大值为 10 .

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算.. 专题: 计算题;压轴题;平面向量及应用. 分析: A 为原点,以 AB 所在的直线为 y 轴,以过点 A 且与 AB 垂直的直线为 x 轴建立直角 以 坐标系,求出 B,A,C,设 P(x,y)然后表示 , ,代入 之后结合圆的性质可求

解答: 解:以 A 为原点,以 AB 所在的直线为 y 轴,以过点 A 且与 AB 垂直的直线为 x 轴建立 直角坐标系 则由题意可得 B(0,3) ,A(0,0) ,C(2 ,2) ,设 P(x,y) ∴ =(﹣x,3﹣y) , =(2 ,2﹣y)

10

∴ = 而

=﹣2

表示动点 P 到定点 M(

)的距离的平方

根据圆的性质可知,M 到圆心 A 的距离的最大值 MA= PM=MA+2= ∴ ∴ 的最大值 最大值 =10+2

故答案为:

点评: 本题主要考查了向量的数量积的 坐标表示的应用,圆的性质的应用,点的距离公式 的应用,属于中档试题 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (14 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 (Ⅰ)求角 A,B 的大小; (Ⅱ)设函数 f(x)=sin(x+A)+cosx,求 f(x)在[﹣ ]上的最大值. ,且 .

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性.. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ)由已知 ,利用正弦定理求得 sin2A=sin2B,故 A=B,再由 C=

,可

11

得 A 和 B 的值. (Ⅱ)化简函数 f(x)为 ≤x+ ≤ sin(x+ ) ,根据 x∈[﹣ ],可得

,由此求得 f(x)的最大值. ,由正弦定理得 ,即 sin2A=sin2B. ?(3

解答: 解: (Ⅰ)∵已知 分) ∴A=B,或 A+B=

(舍去) ,∴C=

,则 A=B=



?(6 分) sin(x+ ) ,?(10

(Ⅱ)∵函数 f(x)=sin(x+A)+cosx=sin(x+ 分) ∵x∈[﹣ 故当 x+ = ],则 ≤x+ ≤

)+cosx=

. ?(12 分) )取得最大值为 . ?(14 分)

时,函数 f(x)=

sin(x+

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角运算等基础知识,两角和差的正弦公式,同 时考查运算求解能力,属于中档题. 19. (14 分)已知各项均为正数的等比数列{an}满足 a2?a4=a6, .

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式 an; * (Ⅱ) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn, n 项积为 Tn, 前 求所有的正整数 k, 使得对任意的 n∈N , 不等式 Sn+K+ 恒成立.

考点: 数列与不等式的综合;等比数列的通项公式.. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用等比数列的通项公式及已知条件即可得出; (Ⅱ)利用等比数列、等差数列的前 n 项和公式、指数幂的运算性质、二次函数的单 调性即可得出. 解答: (Ⅰ) 设等比数列{an}的首项为 a1>0,公比为 q>0, 解: ∵a2?a4=a6, ,





解得 ∴ .



12

(Ⅱ)∵





=

=



=


*

若存在正整数 k,使得不等式

对任意的 n∈N 都成立,



+

<1,即

, 取得最小值 2,满足题意.

∵只有当 n=1 时,

∴k<2,正整数 k 只有取 k=1. 点评: 本题主要考查等比数列的通项公式及等差、等比数列的求和公式、不等式及其恒成立 问题等基础知识,同时考查运算求解能力. 20. (15 分)如图,已知 ABCD 是边长为 1 的正方形,AF⊥平面 ABCD,CE∥AF,CE=λ AF(λ >1) . (Ⅰ)证明:BD⊥EF; (Ⅱ)若 AF=1,且直线 BE 与平面 ACE 所成角的正弦值为 ,求 λ 的值.

考点: 用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面垂直的性质.. 专题: 空间角. 分析: (I)方法 1(几何法) :连接 BD、AC,交点为 O,由正方形的性质得 BD⊥AC,由线面 垂直的性质,可得 AF⊥BD,进而由线面垂直的判定定理得到 BD⊥平面 ACEF,进而 BD⊥EF; (I)方法 2(向量法) :建立空间直角坐标系 A﹣xyz,分别求出 BD 和 EF 的方向向量, 进而根据两个向量的数量积为 0,可得 BD⊥EF; (Ⅱ)方法 1:连接 OE,由(Ⅰ)方法 1 知,BD⊥平面 ACEF,所以∠BEO 即为直线 BE 与平面 ACE 所成的角,解 Rt△BEO 可得 λ 值.

13

(Ⅱ)方法 2:由

=(0,1,λ ) ,

=(﹣1,1,0)是平面 ACE 的法向量.则直 ,代入可得 λ 值.

线 BE 与面 ACE 所成角为 θ 满足 sinθ =

解答: 证明: (Ⅰ)方法 1(几何法) : 连接 BD、AC,交点为 O. ∵ABCD 是正方形 ∴BD⊥AC ?(2 分) ∵AF⊥平面 ABCD ∴AF⊥BD ?(4 分) 又∵AC∩AF=A,AC,AF? 平面 ACEF ∴BD⊥平面 ACEF ?(6 分) 又∵EF? 平面 ACEF ∴BD⊥EF ?(7 分) 方法 2:如图建立空间直角坐标系 A﹣xyz, ∵B(1,0,0) ,D(0,1,0) ∴ =(﹣1,1,0)?(2 分)

设 F(0,0,h) ,那么 E(1,1,λ h) ,?(4 分) 则 ∴ =(﹣1,﹣1, (1﹣λ )h) ? =0 ?(5 分)

∴BD⊥EF ?(7 分) (Ⅱ)方法 1:连接 OE,由(Ⅰ)方法 1 知,BD⊥平面 ACEF, 所以∠BEO 即为直线 BE 与平面 ACE 所成的角. ?(10 分) ∵AF⊥平面 ABCD,CE∥AF, ∴CE⊥平面 ABCD,CE⊥BC, ∵BC=1,AF=1,则 CE=λ ,BE= ,BO= ,

∴Rt△BEO 中,sin∠BEO=

=

=

,?(13 分)

因为 λ >1,解得 λ = . 方法 2:∵ 故

?(15 分)

=(0,1,λ ) ,由(Ⅰ)法 1 知,BD⊥平面 ACEF, ?(10 分)

=(﹣1,1,0)是平面 ACE 的法向量.

记直线 BE 与面 ACE 所成角为 θ , 则 sinθ = = = ?(13 分) ;

14

因为 λ >1,解得 λ = ?(15 分)

点评: 本题主要考查空间点、线、面位置关系,线面所成角等基础知识,同时考查空间想象 能力和推理论证能力.建立空间坐标系,将空间直线与平面夹角问题转化为向量夹角 问题,是解答的关键.
3

21. (15 分)已知函数 f(x)=x ﹣

,a∈R.

(Ⅰ)当 a=2 时,求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)是否存在实数 a∈(0,2],使得对任意的 x∈[0,a],不等式 0≤f(x)≤a 恒成立? 若存在,求出所有 a 的值;若不存在,请说明理由. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)将 a=2 代入,求出函数的导函数,根据二次函数的图象和性质求出 f′(x)>0 时和 f′(x)<0 时的 x 的取值范围,进而得到 f(x)的单调区间; (Ⅱ) 求出函数的导函数, 根据二次函数的图象和性质求出 f′ (x) >0 时和 f′(x) <0 时的 x 的取值范围,进而得到 f(x)的单调区间;若对任意的 x∈[0,a],不等 式 0≤f(x)≤a 恒成立,则 f(x)的最小值大于等于 0,最大值小于等于 a,分类讨 论后综合讨论结果可得答案. 解答: 3 解: (Ⅰ)当 a=2 时,f(x)=x ﹣ , ∴f′(x)=3x ﹣9x+6.?(2 分) 令 f′(x)=0,则 x=1 或 x=2, 当 f′(x)>0 时,x<1,或 x>2; 当 f′(x)<0 时,1<x<2, 所以 f x) ( 的单调递增区间是 (﹣∞, , +∞) 单调递减区间是 1) (2, , (1, . 2) (6 分) (Ⅱ)∵f(x)=x ﹣ ∴f′(x)=3x ﹣ f′(x)=0,则 x=1 或 x=
2 3 2

?

, . (a∈(0,2]) ,

当 f′(x)>0 时,x<1,或 x> +1;当 f′(x)<0 时,1<x< +1,

15

所以 f (x) 的单调递增区间是 (﹣∞, , +1, 1) ( +∞) 单调递减区间是 , (1, +1) ? . (9 分) 因为 f(0)=0,下面分类讨论研究当 x∈[0,a]时,f(x)最大值与最小值: (1)当 0<a≤1 时,f(x)在[0,a]上单调递增, 即 f(x)的最小值为 f(0)=0,最大值为 f(a) , 只要 f(a)≤a 成立即可,解得 2≤a≤4,所以 a 不存在. ?(12 分) (2)当 1<a≤2 时,即 1<a< +1,f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,a) 单调 递减, 即 f(x)的最小值为 f(0)=0 或 f(a) ,最大值为 f(1) , 只要 ,解得 a≥4,所以 a 也不存在.

综上所述,满足条件的实数 a 不存在. ?(15 分) 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质及导数应用等基础知识, 同时考查推 理论证能力.熟练掌握导数在研究函数单调性和极值时的方法和步骤是解答的关键. 22. (14 分)如图,O 为坐标原点,点 F 为抛物线 C1:x =2py(p>0)的焦点,且抛物线 C1 2 2 上点 P 处的切线与圆 C2:x +y =1 相切于点 Q. (Ⅰ)当直线 PQ 的方程为 x﹣y﹣ =0 时,求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)当正数 p 变化时,记 S1,S2 分别为△FPQ,△FOQ 的面积,求 的最小值.
2

考 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程.. 点: 专 综合题;压轴题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 题: 分 析: (Ⅰ)设点 P(x0, ) ,代入直线 PQ 的方程得一方程,再根据抛物线在 P 处切线斜 率为 1 列一方程,解方程组即可求得 p 值; (Ⅱ)易表示出点 p 处切线方程,据线圆相切得一方程,再与圆联立方程组可表示出 Q 坐标,据弦长公式可表示出|PQ|,利用点到直线的距离公式可表示出点 F 到切线 PQ 的

16

距离 d,则 S1 可表示,又

=

,所以

可表示为关于 x0 的函数,

据函数结构特点利用基本不等式即可求得其最小值. 解 答: (Ⅰ)设点 P(x0, 解: ) ,由 x =2py(p>0)得,y=
2

,求导 y′= ,

因为直线 PQ 的斜率为 1,所以 所以抛物线 C1 的方程为

=1 且 x0﹣ .



=0,解得 p=2



(Ⅱ)因为点 P 处的切线方程为:y﹣

=

(x﹣x0) ,即 2x0x﹣2py﹣

=0,

根据切线与圆切,得 d=r,即

=1,化简得



由方程组

,解得 Q(



) ,

所以|PQ|=

|xP﹣xQ|=

=



点 F(0, )到切线 PQ 的距离是 d=

=



所以 = 而由 所以 =

= × , 知,4p =
2

×

=



,得|x0|>2,

=

=

17

=

=

+3≥2

+3,当且仅当

时取

“=”号,即

,此时,p=



所以

的最小值为 2

+3.

点 本题主要考查抛物线几何性质、直线与抛物线的位置关系,同时考查解析几何的基本思 评: 想方法和运算求解能力,综合性强,难度大.

18


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