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《三维设计》2014届高考数学理科一轮复习教师备选作业第二章 第十四节 定积分与微积分基本定理

第二章
一、选择题

第十四节

定积分与微积分基本定理

[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

1.∫1(ex+2x)dx 等于( 0 A.1 C.e

) B.e-1 D.e+1 )

2.自由落体的运动速度 v=gt(g 为常数),则当 t∈[1,2]时,物体下落的距离为( 1 A. g 2 3 C. g 2 B.g D.2g )

3.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若∫3f(x)dx= 3f(x0),则 x0=( 0 A.± 1 C.± 3 B. 2
[来源:学科网]

D.2 )
[来源:学,科,网]

4.设函数 f(x)=xm+ax 的导函数 f′(x)=2x+1,则∫2f(-x)dx 的值等于( 1 5 A. 6 2 C. 3 1 B. 2 1 D. 6

π π 5.由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( 3 3 1 A. 2 C. 3 2 B.1 D. 3 )

)

1 21 6.若(x2- )9(a∈R)展开式中 x9 的系数是- ,则∫asin xdx 等于( 0 ax 2 A.1-cos 2 C.cos 2-1 二、填空题 π 7.已知 a∈[0, ],则当∫a(cos x-sin x)dx 取最大值时,a=________. 0 2 B.2-cos 1 D.1+cos 2

?x ,x∈[0,1] ? 8.设 f(x)=?1 (e 为自然对数的底数),则∫e f(x)dx 的值为________. 0 ,x∈?1,e] ?x ?
9.如图,设 D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y=x2 图象下方的点构成的 区域,现在 D 内随机取一点,则该点在 E 中的概率为________. 三、解答题

2

10.计算以下定积分. 1 ( 1)∫2(2x2- )dx; 1 x (2) (sin x-sin 2x)dx;

[来源:学科网 ZXXK]

(3)∫2|3-2x|dx. 1

11.设 f(x)是二次函数 ,其图象过点(1,0),且 f′(1)=2, ∫1f(x)dx=0,求 f(x)的解析式. 0

12.如图,设点 P 从原点沿曲线 y=x2 向点 A(2,4)移动,直线 OP 与曲线 y=x2 围成图形 的面积为 S1,直线 OP 与曲线 y=x2 及直线 x=2 围成图形的面积为 S2,若 S1=S2,求点 P 的坐标.

详解答案
一、选择题 1.解析:∵被积函数 ex+2x 的原函数为 ex+x2,

∫1(ex+2x)dx=(ex+x2)|0 =(e1+1)-(e0+0)=e. 0 答案:C 1 2 3 2 2.解析:距离 S=∫1gtdt= gt2|1 = g. 2 2 答案:C a 3 3 3.解析:∫3f(x)dx=∫0(ax2+b)dx=( x3+bx)|0 =9a+3b=3f(x0). 0 3
2 ∴f(x0)=3a+b=ax0+b,∴x2=3,∴x0=± 3. 0

1

答 案:C 4.解析:由于 f(x)=xm+ax 的导函数为 f′(x)=2x+1,所以 f(x)=x2+x,于是∫2f(- 1 1 1 2 5 x)dx=∫2(x2-x)dx=( x3- x2)|1 = . 1 3 2 6 答案:A

5.解析:结合函数图象可得所求的面积是定积分 sin x = 3 3 -(- )= 3. 2 2

cos xdx=

答案:D 1 - 6.解析:由题意得 Tr+1=Cr (x2)9 r(-1)r( )r 9 ax =(-1)rCr x18 9
-3r

1 ,令 18-3r=9 得 r=3, ar

1 21 所以-C3 3=- ,解得 a=2, 9 a 2 所以∫2sin xdx=(-cos x) |2=-cos 2+cos 0=1-cos 2. 0 0 答案:A 二、填空题 7.解析:∫a(cos x-sin x)dx=(sin x+cos x)|0 = 0 sin a+cos a-1
[来源:Zxxk.Com]

a

π = 2sin(a+ )-1, 4 π π π ∵a∈[0, ],∴当 a= 时, 2cos(a+ )-1 取最大值. 2 4 4 π 答案: 4 1 1 8.解析:∫e f(x)dx=∫0x2dx+∫e dx 0 1 x 1 1 1 4 e = x3|0 +lnx|1 = +ln e= . 3 3 3

4 答案: 3
2 9. 解析:由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为 S 阴=2∫0x2dx

2 2 16 = x3|0 = , 3 3 16 S阴 3 1 又 S 正=42=16,所以由几何概型可得该点在 E 中的概率为 P= = = . S正 16 3 1 答案: 3 三、解答题 1 2 10.解:(1)∵y=2x2- 的一个原函数是 y= x3-lnx, x 3 1 2 2 2 16 2 14 2 ∴∫2(2x2- )dx=( x3-lnx)|1=( ×23-ln2)-( ×13-ln1)= -ln2- = -ln2. 1 x 3 3 3 3 3 3 1 (2)∵函数 y=sin x-sin 2x 的一个原函数是 y=-cos x+ cos 2x, 2 ∴ 1 (sin x-sin 2x)dx=( cos 2x-cos x) 2

1 2π π 1 =( cos -cos )-( cos 0-cos 0) 2 3 3 2 1 1 1 1 =[ ×(- )- ]-( -1) 2 2 2 2 1 1 1 1 =- - + =- . 4 2 2 4

?3-2x?1≤x<2?, (3)∵y=|3-2x| =? 3 ?2x-3?2≤x<2?,
3 ∴∫ 2|3-2x|dx= 1 = (3-2x)dx+ |3-2x|dx+ (2x-3)dx =[3× |3-2x|dx

=(3x-x2)

+(x2-3x)

3 3 2 - ( ) ]-(3× 2 2

3 3 9 9 9 9 1 1-12)+(22-3×2)-[( )2-3× ]= - -2+(-2)- + = . 2 2 2 4 4 2 2 11. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 其图象过点(1,0), ∴a+b+c=0,① f′(x)=2ax+b 而 f′(1)=2,

∴2a+b=2.② 由∫1f(x)dx=0, 0 ∴∫1(ax2+bx+c)dx 0 a b = x3+ x2+cx|1 0 3 2 a b = + +c=0.③ 3 2

?a=3, ? 由①、②、③联立方程组,解得?b=-4, ?c=1. ?
∴f(x)=3x2-4x+1. 12.解:设直线 OP 的方程为 y=kx,点 P 的坐标为(x,y), 则∫x (kx-x2)dx=∫2(x2-kx)dx, 0 x 1 1 1 1 2 即( kx2- x3) |x =( x3- kx2) |x . 0 2 3 3 2 1 1 8 1 1 解得 kx2- x3= -2k-( x3- kx2), 2 3 3 3 2 4 4 4 16 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为( , ). 3 3 3 9


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