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2013高考考前冲刺集训之数列


2013 高考考前冲刺集训
之数列篇
一.热身训练,查漏补缺:

1.【2012 高考安徽文 5】公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16, 则 a5 = (A) 1 (B)2 (C) 4 (D)8

2.【2012 高考全国文 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ?
3 2 1 (B) ( ) n ?1 (C) ( ) n ?1 (D) n ?1 2 3 2 3. (2012·辽宁)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=(

(A) 2 n ?1

).

A.58 C.143 A.7 C.-5

B.88 D.176 ). B.5 D.-7

4. (2012·新课标全国)已知{an}为等比数列, 4+a7=2, 5a6=-8, a1+a10=( a a 则

5. (2010 全国卷 1 文数)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10, 则 a4 a5a6 = (A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

6. (2011·广东改编)等差数列{an}前 9 项的和等于前 4 项的和.若 a1=1,ak+a4=0, 则 k=( ). A.10 B.12 C.15 D.20
? ? ? 1 ? 7. (2012·全国)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列?a a ?的 ? ? ? n n+1? 前 100 项和为( ).

100 A. 101

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

8. (2012· 浙江)设公比为 q(q>0)的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 S2=3a2+2, 4=3a4 S 3 +2,则 q=________2. 9. 【2012 高考辽宁文 4】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10=
1

(A) 12

(B) 16

(C) 20

(D)24

10. 【2012 高考新课标文 14】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比

q=_______-2
二.专项突破 决胜高考 等差?比?数列的基本运算 等差数列和等比数列在公式和性质上有许多相似性,是高考必考内容,着重考查等差、等比数 列的基本运算、基本技能和基本思想方法,题型不仅有选择题、填空题、还有解答题,题目难度中 等. 1.【2012 高考重庆文 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;2n (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。6

2. 【2012 高考山东文 20】 (本小题满分 12 分)
已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和 Sm .

等差、等比数列的判断与证明 高考对该内容的考查主要是等差、等比数列的定义,常与递推数列相结合考查.常作为数列解 答题的第一问,为求数列的通项公式做准备,属于中档题。

2

【3】? 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明:数列{bn}是等比数列; {bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列 (2)求数列{an}的通项公式.an=(3n-1)·n 2. 2 判断一个数列是等差数列或等比数列的首选方法是根据定义去判断,其次是由等差 中项或等比中项的性质去判断. 【突破训练 2】 在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n. an (1)设 bn= n-1.证明:数列{bn}是等差数列; 2 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. Sn=n×2n-20-21-22-?-2n 1=n×2n-2n+1=(n-1)2n+1.
- -

4. 【2012 高考广东文 19】 (本小题满分 14 分)
设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N .
*

(1)求 a1 的值;1 (2)求数列 ?an ? 的通项公式.

5.(2009· 山东曲阜测试)(本小题满分 10 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a4=10,S4=22. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解:(1)设{an}的首项为 a,公差为 d,由 a4=10,S4=22 得

?a1+3d=10, ? 解得 a1=1,d=3, ? 4×3 ?4a1+ 2 d=22, ?
∴an=1+3(n-1)=3n-2. - - (2)bn=2an=23n 2=2×8n 1,则数列{bn}是以 2 为首项,8 为公比的等比数列,它的前 n 项和 n 2(8 -1) 2 n Tn= = (8 -1). 7 8-1 6.(2009· 辽宁,17)(本小题满分 12 分)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S1,S3,S2 成等差数列. 1 (1)求{an}的公比 q;q=- . 2 1 4[1-(- )n] 2 8 1 (2)若 a1-a3=3,求 Sn. Sn= = [1-(- )n] 1 3 2 1-(- ) 2 1 7.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sn= (an-1)(n∈N*). 3 1 1 (1)求 a1,a2;a1=- . a2= 2 4 (2)求证:数列{an}是等比数列.

3

?1an+n,n为奇数 ? 8.(本小题满分 12 分)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=?2 ,记 bn=a2n,n∈N*. ?an-2n,n为偶数 ?
(1)求 a2,a3; (2)求数列{bn}的通项公式; (3)求证 S2n+1=a1+a2+?+a2n+a2n+1. 3 5 解析:(1)a2= ,a3=- . 2 2 1 (2)当 n≥2 时,bn=a2n=a(2n-1)+1= a2n-1+(2n-1) 2 1 1 1 = [a2n-2-2(2n-2)]+(2n-1)= a2(n-1)+1= bn-1+1 2 2 2 1 1 ∴bn-2= (bn-1-2),又 b1-2=a2-2=- , 2 2 1 1 n-1 1n 1n ∴bn-2=- · ) =-( ) ,即 bn=2-( ) . ( 2 2 2 2 (3)∵a2n+1=a2n-4n=bn-4n ∴S2n+1=a1+a2+?+a2n+a2n+1 =(a2+a4+?+a2n)+(a1+a3+a5+?+a2n+1) =(b1+b2+?+bn)+[a1+(b1-4×1)+(b2-4×2)+?+(bn-4×n)] =a1+2(b1+b2+?+bn)-4×(1+2+?+n) 1 1 [1-(- )n] 2 2 n(n+1) =1+2(2n- )-4× 1 2 1- 2 1 n-1 2 =( ) -2n +2n-1. 2 7 1 1 9.已知数列{an}满足 a1= ,Sn 是 {an}的前 n 项和,点(2Sn+an,Sn+1)在 f(x)= x+ 的图象上. 6 2 3 (1)求数列{an}的通项公式; 2 (2)若 cn=(an- )n,Tn 为 cn 的前 n 项和,n∈N*,求 Tn. 3 1 1 解析:(1)∵点(2Sn+an,Sn+1)在 f(x)= x+ 的图象上, 2 3 1 1 ∴Sn+1= ×(2Sn+an)+ . 2 3 1 1 2 1 2 ∴an+1= an+ ,∵an+1- = (an- ), 2 3 3 2 3 2 2 7 2 1 1 ∴数列{an- }是以 a1- = - = 为首项,以 为公比的等比数列, 3 3 6 3 2 2 2 1 1 n-1 2 1 ∴an- = · ) ,即 an= + n. ( 3 2 2 3 2 2 n (2)∵cn=(an- )n= n, 3 2 1 1 1 n ∴Tn= +2× 2+3× 3+?+ n,① 2 2 2 2 1 1 1 1 n ∴ Tn= 2+2× 3+3× 4+?+ n+1,② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 n ①-②得 Tn= + 2+ 3+ 4+?+ n- n+1, 2 2 2 2 2 2 2 1 n ∴Tn=2- n-1- n. 2 2

4

等差数列与等比数列的综合应用 从近几年的考题看,对于等差与等比数列的综合考查也频频出现.考查的目的在于测试考生灵 活运用知识的能力,这个“灵活”就集中在“转化”的水平上. 【例 3】? (2012· 石家庄二模)已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=2,S1、2S2、3S3 成等差 数列.

?1 - (1)求数列{an}的通项公式;an=2·3?n 1. ? ?
(2)数列{bn-an}是首项为-6,公差为 2 的等差数列,求数列{bn}的前 n 项和. 1 21-?3?n n?-6+2n-8? ? ? Tn= + 1 2 1- 3 1 =3?1-3n?+n(n-7) ? ? =- 1 2 - +n -7n+3. 3n 1 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中, 特别要注意它们的区别, 避免用错公式. (2) 方程思想的应用往往是破题的关键. 【突破训练 3】 【2012 高考江西文 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。

5

课后巩固练习: 1. 【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , a2 、

a 4 是方程 x2 ? x ? 2 ? 0 的两个根, S5 ?
A.

5 2

B.5

C. ?

5 2

D.-5

2.【云南省昆明一中 2013 届高三第二次高中新课程双基检测数学文】在等比数列 {an } 中,若 a3 , a7 是方程 x2 ? 4x ? 2 ? 0 的两根,则 a5 的值是 A. ?2 B. ? 2 C. ? 2 D. 2

3.【贵州省六校联盟 2013 届高三第一次联考 文】等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知

a5 ? 8, S3 ? 6 ,则 a9 ? ( c )
A .8 B . 12

C . 16

D . 24

4.【北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考文】等差数列 ?an ? 的前 n 项和是 Sn ,若

a1 ? a2 ? 5 , a3 ? a4 ? 9 ,则 S10 的值为(
A. 55 B. 65

) C. 60 D. 70

5. 【北京市东城区 2013 届高三上学期期末统一练习数学文】 已知 {an } 为等差数列, 其前 n 项和为 Sn , 若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 (A) 1 (B)

5 3

(C) 2

(D) 3
6


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