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静安区2016年高三数学文科一模试卷


静安区 2015 学年高三年级第一学期期末教学质量检测 文科数学试卷
(试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟) 2016.1
考生注意: 本试卷共有 23 道题,答题前,请在答题纸上将学校、班级、姓名、检测编号等填涂清楚. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.抛物线 y 2 ? 16 x 的准线方程是 . . cm2.

2. 在等差数列 ?an ?( n ? N ? ) 中, 已知公差 d ? 2 ,a2007 ? 2007 , 则 a2016 ? 3. 已知圆锥的底面半径为 4cm,高为 2 5 cm,则这个圆锥的表面积是 4.方程 lg x ? lg( x ? 2) ? lg 3 ? lg( x ? 2) 的解为 . . . .

3 ? 5.已知 ? 为第二象限角,且 cos? ? ? ,则 tan(? ? ) ? 5
4
6.坐标原点 (0, 0) 关于直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 对称的点的坐标是 7.已知复数 z 满足 z ? z ? 2 ? 8i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 8. ( x ? y ? z) 的展开式中项 x yz 的系数等于
8 3 4

. (用数值作答)

9.在产品检验时,常采用抽样检查的方法.现在从 100 件产品(已知其中有 3 件不合格品)中任 意抽出 4 件检查,恰好有 2 件是不合格品的抽法有 种. (用数值作答) 10.经过直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的两个交点,且面积最小的圆的方程 是 .
?

11. 已知数列 ?an ? ( n ? N

)中, a1 ? 2, a2 ? 3 ,当 n ? 3 时, an ? 3an?1 ? 2an?2 ,则

an ?

.

12.在平面直角坐标系 xOy 中,坐标原点 O (0, 0) 、点 P(1, 2) ,将向量 OP 绕点 O 按逆时针 方向旋转

??? ?

???? 5? 后得向量 OQ ,则点 Q 的横坐标是 6

.

13. 在△ABC 中, ∠A、 ∠B、 ∠C 所对的边分别为 a、 b、 c, 若 a、 b、 c 成等差数列,sin B ? 且△ABC 的面积为

4 , 5

3 ,则 b = 2

. (用数值作答)

14.在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 l 沿 x 轴正方向平移 3 个单位, 沿 y 轴正方向平移 5

个单位, 得到直线 l1 .再将直线 l1 沿 x 轴正方向平移 1 个单位, 沿 y 轴负方向平移 2 个单位, 又与直线 l 重合.则直线 l 与直线 l1 的距离是 .

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, A ? {4,5}, B ? {3, 4} ,则 CU ? A ? B? = ( A. {1, 2, 6}
r

)

B. {1, 2,3, 6}

C. {3, 4,5} )

D. {1, 2, 4,6}

16.组合数 Cn (n ? r ? 1, n, r ? N ) 恒等于( A.

r ? 1 r ?1 Cn ?1 n ?1
2

B.

n ? 1 r ?1 Cn ?1 r ?1

C.

r r ?1 C n ?1 n
)

D.

n r ?1 C n ?1 r

17.函数 y ? 3x

?1

(?1 ? x ? 0) 的反函数是 (
1 3

A. y ? ? 1 ? log 3 x ( x ? ) C. y ? ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1)

B. y ? 1 ? log 3 x ( ? x ? 1) D. y ? 1 ? log 3 x ( x ? )

1 3

1 3

1 3

18.下列四个命题中,真命题是 ( ) A.和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线; B.和两条异面直线都相交于不同点的两条直线是异面直线; C.和两条异面直线都垂直的直线是异面直线的公垂线; D.若 a、b 是异面直线, b、c 是异面直线,则 a、c 是异面直线. 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分. 已知 O 为坐标原点,向量 OA ? (3cos x,3sin x) ,

??? ?

y
A

??? ? ? ?? OB ? (3cos x,sin x) , OC ? ( 3,0) , x ? ? 0, ? . ? 2? ??? ? ??? ? ???? (1)求证: OA ? OB ? OC ;

?

?

B

(2) 若△ABC 是等腰三角形,求 x 的值.

O

C

x

20.(本小题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E 为 AB 的中点. (1)求三棱锥 A-- A 1EC 的体积; (2)求异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值.

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 10 分,第 2 小题满分 4 分. 李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一 月初向银行贷款十万元做创业资金, 每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月底需要交 纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元,余款全部投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款?

22. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分. x2 y2 设 P1 和 P2 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的两点,线段 P1P2 的中点为 M,直线 P1P2 不经过坐 a b 标原点 O. (1)若直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在且分别为 k1 和 k2,求证:k1k2=

b2 ; a2

(2)若双曲线的焦点分别为 F 1 (? 3,0) 、 F 2 ( 3,0) ,点 P1 的坐标为(2,1) ,直线 OM 的斜率为

3 ,求由四点 P1、 F1、P2、F2 所围成四边形 P1 F1P2F2 的面积. 2

23. (本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 已知定义在实数集 R 上的偶函数 f ?x ? 和奇函数 g ?x ? 满足 f ? x ? ? g ? x ? ? 2 (1)求 f ? x ? 与 g ? x ? 的解析式; (2)求证: f ? x ? 在区间 [0, ??) 上单调递增;并求 f ? x ? 在区间 [0, ??) 的反函数;
2 (3) 设 h( x) ? x2 ? 2mx ? m2 ? m ? 1 (其中 m 为常数) ,若 h( g ( x))? m ? m? 1对于 x ? [1, 2]恒成立,求 m 的取值范围.

x?1

.

静安区 2015 学年第一学期期末高三年级教学检测 文科数学试卷参考答案及评分标准
说明:内容与理科相同 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. x ? ?4 4. x ? 6 7. z ? 17 2.2025 3. 40?; 6. ( ? 2016.01

5. ?

1 7

4 8 , ) 5 5

8. 280

9. 13968 11. an ? 2n?1 ? 1 ( n ? N ? )

10. 5x2 ? 5 y 2 ? 6x ? 18 y ? 1 ? 0 13.2 14.

12. ?

3 ?1 2

11 . 5

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. A; 16. D; 17.C; 18.B 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. 解:⑴ ∵ 0 ? x ?

?
2

, ∴ 3sin x ? sin x ,∴ OA ? OB ? 0

??? ? ??? ?

?



??? ? ??? ? OA ? OB ? ? 0, 2sin x ?


??? ? ??? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? (O A? O B )? O C ? 0 ? 3 ? 2 s i nx? 0 ? ∴0 OA ? OB ? OC 。

?

?

(2)若 ?ABC 是等腰三角形,则 AB=BC,? (2 sin x) 2 ? (3 cos x ? 3) 2 ? (sin x) 2

2 c o2sx ?

3 cx o? s ,所以 0 cos x ? 0或 cos x ?

? 3 ,? 0 ? x ? 2, 2

? cos x ?

3 ? ,? x ? 2 6

20.解(1)由三棱锥体积公式可得: V ?

1 1 1 1 1 AA1 ? S ?ACE ? ?1? ? ?1 ? 。 3 3 2 2 12

(2)延长 DC 至 G,使 CG= DC,连结 BG、 D1G

?CG/ /EB,∴四边形 EBGC 是平行四边形.

∴BG∥EC.



?D1BG就是异面直线BD1与CE所成的角

在 ?D BG中D B ? 3, 1 1

BG ?

5 13 ? D1 B ? BG ? D1G 4 4 ? 15 ? cos?D1 BG ? ? 2 D1 B ? BG 15 15 2? 2
2 2 2

即异面直线 BD1 与 CE 所成角的余弦值是

5 3 2 13 ,D1G ? 12 ? ( ) ? 2 2 2

3?

21 解法 1: (1)设 n 个月的余款为 an ,则

a1 ? 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 105000 ,
a2 ? 100000 ?1.22 ? 0.92 ? 3000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 110400 ,
。 。 。 。 。 。

a12 ? 100000 ?1.212 ? 0.912 ? 3000 ?1.211 ? 0.911 ??? 3000 ,
[1 ? (1.2 ? 0.9)12 ] ? 194890 (元) = 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? , 1 ? 1.2 ? 0.9
12 12

法 2: a1 ? 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 105000 , 一般的, an ? an?1 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 , 构造 an ? c ? 1.2 ? 0.9(an?1 ? c) , c ? ?37500

an ? 37500 ? (105000 ? 37500)(1.2 ? 0.9)n?1 an ? 37500 ? 67500 ?1.08n?1 ,

a12 ? 194890 。
方法 3:用 ak ?1 ? ak ? 1.2 ? 0.9(ak ? ak ?1 ) 通过等比数列求和解决. (2)194890-100000?1.05=89890(元) , 能还清银行贷款。

22(1)解法 1: 设不经过点 O 的直线 P1P2 方程为 y ? k1 x ? l ,代入双曲线

x2 y2 ? ? 1 方程得: a2 b2

(b2 ? a2 k12 ) x2 ? 2a2 k1lx ? a2b2 ? a2l 2 ? 0 .

设 P1 坐标为 ( x1 , y1 ) ,P2 坐标为 ( x2 , y2 ) ,中点坐标为 M (x,y),则 x ?

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 , 2 2

x1 ? x2 ?

2a 2 k1l , b2 ? a 2 k12

b2 y1 ? y2 b2 ? a 2 k12 2 2 2 2 2 2 ,所以, a k1k2 ? a k1 ? b ? a k1 ,k1k2= 2 。 k2 ? ? k1 ? a x1 ? x2 a 2 k1
另 解 : 设 P1(x1,y1) 、 P2(x2,y2) , 中 点 M (x,y), 则

x?

x1 ? x2 y ? y2 ,y? 1 且 2 2

? x12 y12 ? ? 1 (1) ? ? a 2 b2 ? 2 2 ? x2 ? y2 ? 1 (2) ? ? a 2 b2
(1)-(2)得:

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ?0。 a2 b2

因为,直线 P1P2 和直线 OM 的斜率都存在,所以(x1+x2)(x1-x2)?0, 等式两边同除以(x1+x2)(x1-x2),得:

1 y1 ? y2 y1 ? y2 1 ? ? ? ?0 a 2 x1 ? x2 x1 ? x2 b 2



k1k2=

b2 。 a2

? 22 1 x2 ? ? ? 1, ? y2 ? 1, (2)由已知得 ? a 2 b 2 ,求得双曲线方程为 2 ?a 2 ? b 2 ? 3 ?
直线 P1 P2 斜率为

b2 3 1 ? ? , a2 2 3

直线 P1 P2 方程为 y ? 1 ?

1 ( x ? 2) , 3

10 1 2 3 , ? ) (中点 M 坐标为 ( , ) . 7 7 7 7 1 8 8 3 面积 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 2 7 7 3 另解: 线段 P1 P2 中点 M 在直线 y ? x 上.所以由中点 M((x,y),可得点 P2 的坐标为 2
代入双曲线方程可解得 P2 (?

P 2 (2 x ? 2,3x ?1) , 代 入 双 曲 线 方 程 可 得

2 ( 2x ? 2 ) 2 ? ( 3x ? 1) ? 1, 即 7 x 2 ? 2 x ? 0 , 解 得 2

x?

2 3 10 1 1 8 8 3 (y? ) ,所以 P2 (? , ? ) 。面积 F1 F2 ? y1 ? y2 ? 3 ? ? . 7 7 7 7 2 7 7

23.解: (1)假设 f ( x) ? g ( x) ? 2 x ?1 ①,因为 f ?x ? 是偶函数, g ?x ? 是奇函数 所以有 f (? x) ? g (? x) ? 2? x?1 ,即 f ( x) ? g ( x) ? 2? x?1 ∵ f ( x ) , g ( x) 定义在实数集 R 上, 由①和②解得, ②

2 x ?1 ? 2? x ?1 1 ? 2x ? x , 2 2 x ?1 ? x ?1 2 ?2 1 g ( x) ? ? 2x ? x . 2 2 1 f ( x) ? 2 x ? x ? 2 , 当 且 仅 当 2 x ? 1 , 即 x ? 0 时 等 号 成 立 . 对 于 任 意 (2) 2 1 1 1 0 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 x1 ? x1 ? 2 x2 ? x2 ? (2 x1 ? x2 ? 1)(2 x2 ? x1 ) , 2 2 2 1 x x x ?x x ?x x ?x 因为 0 ? x1 ? x2 ,所以 2 1 2 ? 1, 2 1 2 ? 1 ? 0 , 2 2 ? 1 , 2 1 ? 1, 0 ? x ? 1 , 2 2 ? 2 1 ? 0 , 21 从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,所以当 x ? 0 时, f ? x ? 递增. f ( x) ?
x 设 y?2 ?

1 x 2x , 则 y ? 2x ? 2 , 令 2 ? s ? 1 , 则 s 2 ? ys ? 1 ? 0 . 再 由 ? 1 2x

f (x ) ?

x

y ? y2 ? 4 y ? y2 ? 4 1 x 2 ? x ? 解得 2 s? ,即 2 ? . 2 2 2

y ? y2 ? 4 y ? y2 ? 4 2 x ? ? 1( y ? 2 ) 因为 , 所以 2 ? ,因此 f ? x ? 的反 2 2 y ? y2 ? 4
?1 函数 f ( x) ? log 2 ( x ?

x 2 ? 4) ? 1, x ? 2

3 15 ?t ? . 2 4 ? 3 15 ? 2 2 2 ∴ h(t ) ? t ? 2mt ? m ? m ? 1 ? m ? m ? 1对于 t ? ? , ? 恒成立, ?2 4 ?
(3)∵ t ? g ( x) 在 x ? [1, 2] 单调递增,∴ ∴m ? ? 令 k (t ) ? ?

t2 ? 2 ? 3 15 ? 对于 t ? ? , ? 恒成立, 2t ?2 4 ?

t2 ? 2 t2 ? 2 t 1 3 ? ? ? 2, , 则 当且仅当 t ? 2 时, 等号成立, 且 2? 2 2t 2t 2 t 2 t ?2 ? 3 15 ? 所以在区间 t ? ? , ? 上 k (t ) ? ? 单调递减, 2t ?2 4 ? 3 17 17 ∴ k (t ) max ? k ( ) ? ? ,∴ m ? ? 为 m 的取值范围. 2 12 12


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