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江苏省12市高三数学 分类汇编 数列

江苏省 12 市 高三上学期期末考试数学试题分类汇编 数列
一、填空题 1、 (常州市 高三)设等比数列 ?an ? 的公比为 q ( 0 ? q ? 1 ) ,前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? 4a3a4 ,

3 且 a 6 与 a4 的等差中项为 a5 ,则 S6 ? 4



2、 (连云港、 徐州、 淮安、 宿迁四市 高三) 在等差数列 ?a n ? 中, 已知 a2 ? a8 ? 11 , 则 3a3 ? a11 的值为 ▲ 3、 (南京市、 盐城市 高三) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? ?1 ,a2 ? a1 , | an?1 ? an |? 2n (n ? N * ) , 若 数 列 ?a2n?1? 单 调 递 减 , 数 列 ?a2 n ? 单 调 递 增 , 则 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 为 an ? ▲ . 高 三 ) 在 等 差 数 列 {an } 中 , 已 知 首 项 a1 ? 0 , 公 差 d ? 0 . 若

4、 (南通市

a1 ? a2 ? 60, a2 ? a3 ? 100 ,则 5a1 ? a5 的最大值为
5、 (苏州市 高三上期末)已知等差数列 {an } 中, a4 ? a6 ? 10 ,若前 5 项的和 S5 ? 5 ,则 其公差为 6、 (泰州市 高三上期末)等比数列 {an } 中, a1 ? 32a6 ? 0 , a3a4 a5 ? 1 ,则数列的前 6 项 和为 ▲

7、 ( 无锡 市 高 三上 期末 ) 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 = 1 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足

2an + 1 + Sn = 2 (n ? ? * ) ,则满足

1001 S2n 11 的 n 的最大值为 < < 1000 Sn 10
1 2
n ?1

8、 (扬州市 高三上期末)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn,且 an ? 4 ? ( ? )

,若对任意

n ? N * ,都有 1 ? p(Sn ? 4n) ? 3 ,则实数 p 的取值范围是____

二、解答题 1 、( 常 州 市 高 三 ) 已 知 数 列 {an } ( n ? N* , 1 ≤ n ≤ 46 ) 满 足 a1 ? a ,

? ? d , 1 ≤ n ≤ 15, ? an ?1 ? an ? ? 1 , 16 ≤ n ≤ 30, 其中 d ? 0 , n ? N*学科网 . ?1 ? , 31 ≤ n ≤ 45, ?d

(1)当 a ? 1 时,求 a46 关于 d 的表达式,并求 a46 的取值范围; (2)设集合 M ? {b | b ? ai ? a j ? ak , i, j, k ? N? ,1≤ i ? j ? k ≤16}.

1 1 ①若 a ? , d ? ,求证: 2?M ; 3 4 53 1 ②是否存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M ?若存在,请求出实数 a , d ;若不 40 8 存在,请说明理由.
2、 (连云港、徐州、淮安、宿迁四市 高三)在数列 ?an ? 中,已知 a1 ? a2 ? 1 ,且满足

an ? an?2 ? ? ? 2an?1 , n ? N* , ? 为常数.
(1)证明: a1 , a4 , a5 成等差数列; (2)设 cn ? 2an?2 ?an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ; (3)当 ? ? 0 时,数列 ?an ? 1? 中是否存在三项 as ?1 ? 1 , at ?1 ? 1 , a p ?1 ? 1 成等比数列, 且 s , t , p 也成等比数列?若存在,求出 s , t , p 的值;若不存在,说明理由. 3、 (南京市、盐城市 高三)设数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,其前 n 项和为 Sn , 若 a1a5 ? 64 , S5 ? S3 ? 48 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对于正整数 k , m, l ( k ? m ? l ) ,求证: “ m ? k ? 1 且 l ? k ? 3 ”是“ 5ak , am, al 这三 项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设 数 列 ?bn ? 满 足 : 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ?

? anb1

? b ? ? 3 ? 2n?1 ? 4n ? 6 ,且集合 M ? ?n | n ? ? , n ? N * ? 中有且仅有 3 ? an ? 个元素,试求 ? 的取值范围.
1 an ?1 则称 {an } 是“紧 ? ? 2?n ? N* ? , 2 an

4、 (南通市 高三) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 密数列”.

?1? 若数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 4 ? n2 ? 3n ?? n ? N * ? ,证明: {an } 是“紧密数列”;

1

? 2 ? 设数列 {an } 是公比为 q 的等比数列.若数列 {an } 与 {Sn } 都是“紧密数列”,求. q 的取
值范围.

?1 ? an ? n (n为奇数) 5、 (苏州市 高三上期末)已知数列 {an } 中 a1 ? 1, an ?1 ? ? 3 . ( n 为偶数) ? ?an ? 3n
(1)是否存在实数 ? ,使数列 {a2n -?} 是等比数列?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说 明理由; (2)若 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,求满足 Sn ? 0 的所有正整数 n .

6、 (泰州市 高三上期末) 数列 an ? , bn ? , cn ? 满足: bn ? an ? 2an?1 ,cn ? an?1 ? 2an?2 ? 2 ,

?

?

?

n? N * .
(1)若数列 an ? 是等差数列,求证:数列 bn ? 是等差数列; (2)若数列 bn ? , cn ? 都是等差数列,求证:数列 an ? 从第二项起为等差数列; (3)若数列 bn ? 是等差数列,试判断当 b1 ? a3 ? 0 时,数列 an ? 是否成等差数列?证明你的 结论.

?

?

?

?

?

?

?

7、 (无锡市 高三上期末) 在数列 {an }、 已知 a1 = 0 ,a2 = 1,b ,b2 = {bn }中, 1 = 1

1 , 2

数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn + Sn + 1 = n 2 ,

2Tn + 2 = 3Tn + 1 - Tn ,其中 n 为正整数.
(1)求数列 {an }、 {bn } 的通项公式; (2)问是否存在正整数 m , n ,使

Tn + 1 - m > 1 + bm + 2 成立?若存在,求出所有符合条 Tn - m

件的有序实数对 (m, n ) ,若不存在,请说明理由. 8、 (扬州市 高三上期末)已知数列{ an }中, a1 ? 1, a2 ? a ,且 an?1 ? k (an ? an?2 ) 对任意 正整数都成立,数列{ an }的前 n 项和为 Sn。

1 ,且 S2015 ? 2015a ,求 a; 2 (2) 是否存在实数 k, 使数列{ an }是公比不为 1 的等比数列, 且任意相邻三项 am , am?1 , am? 2
(1)若 k ?

按某顺序排列后成等差数列,若存在,求出所有 k 值,若不存在,请说明理由; (3)若 k ? ?

1 , 求Sn 。 2

参考答案
一、填空题

1、

63 4

? ?2n ? 1 , n为奇数 ? ( ?2) ? 1 ? 3 2、22 3、 ( 说明:本答案也可以写成 ? n 3 ? 2 ? 1 , n为偶数 ? ? 3
n

4、200 5、2 6、 ?

21 4

7、9 8、 [2,3]

二、解答题 1、解: (1)当 a ? 1 时,

1 a16 ? 1 ? 15d , a31 ? 16 ? 15d , a46 ? 16 ? 15(d ? ) . d
因为 d ? 0 , d ?

………………………2 分

1 1 ≥ 2 ,或 d ? ≤ ?2 , d d
………………………4 分 ……………6 分

所以 a46 ? (??, ?14] [46, ??) .

1 n ?1 i ? j ?k ?3 (2)①由题意 an ? ? , 1 ≤ n ≤ 16 , b ? 1 ? . 3 4 4
令1?

i ? j ?k ?3 ? 2 ,得 i ? j ? k ? 7 . 4

因为 i, j , k ? N? , 1 ≤ i ? j ? k ≤ 16 , 所以令 i ? 1, j ? 2, k ? 4 ,则 2?M . ………………………8 分 ………………………9 分

53 1 ②不存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 40 8 53 1 假设存在实数 a , d ,使 , 1 , 同时属于 M . 40 8
an ? a ? (n ? 1)d ,∴ b ? 3a ? (i ? j ? k ? 3)d ,

从而 M ? {b | b ? 3a ? md ,3 ≤ m ≤ 42, m ? Z } .

………………………11 分

53 1 因为 , 1 , 同时属于 M ,所以存在三个不同的整数 x, y, z ( x, y, z ? ?3, 42? ) , 40 8

1 ? ?3a ? xd ? 8 , ? 使得 ?3a ? yd ? 1, ? 53 ?3a ? zd ? , 40 ?

7 ? ( y ? x )d ? , ? ? 8 从而 ? 6 ?( z ? x )d ? , ? 5 ?



y ? x 35 . ? z ? x 48

………………………13 分

因为 35 与 48 互质,且 y ? x 与 z ? x 为整数, 所以 | y ? x |≥ 35,| z ? x |≥ 48 ,但 | z ? x |≤ 39 ,矛盾.

53 1 所以不存在实数 a , d ,使 , 1 , 都属于 M . 40 8

………………………16 分

2、 (1)因为 an ? an?2 ? ? ? 2an?1,a1 ? a2 ? 1,所以 a3 ? 2a2 -a1 +? ? ? ? 1 , 同理, a4 ? 2a3 -a2 +? ? 3? ? 1 , a5 ? 2a4 -a3 +? ? 6? ? 1 , ……………………2 分 又因为 a4 ? a1 ? 3? , a5 ? a4 ? 3? ,…………………………………………………3 分 所以 a4 ? a1 ? a5 ? a4 ,故 a1 , a4 , a5 成等差数列.………………………………4 分 (2) 由 an ? an?2 ? ? ? 2an?1 ,得 an?2 ? an?1 ? an?1 ? an +? ,…………………………5 分 令 bn ? an?1 ? an ,则 bn?1 ? bn ? ? , b1 ? a2 ? a1 ? 0 , 所以 ?bn ? 是以 0 为首项公差为 ? 的等差数列,故 bn ? b1 ? (n ?1)? ? (n ?1)? ,…6 分 即 an?1 ? an ? (n ?1)? ,所以 an?2 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? ? ? (2n ?1)? , 所以 cn ? 2an?2 ?an ? 2(2n?1) ? . ………………………………………………………8 分

Sn ? c1 ? c2 ? L ? cn ? 2? ? 23? ? 25? ? L ? 2(2n?1)? ,
当 ? ? 0时,Sn ? n , 当 ? ? 0 时,Sn ? 2 ? 2
?

……………………………………………………………9 分
3?

? 25? ? L ? 2(2 n ?1) ? ?

2? (1 ? 22 n? ) .………………10 分 1 ? 22 ?

? ? 0, ?n, ? ? 所以数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn ? ? 2 (1 ? 22 n? ) 学科网 , ? ? 0. ? ? 1 ? 22 ?
(3)由(2)知 an?1 ? an ? (n ?1)? ,用累加法可求得 an ? 1+

(n ? 1)( n ? 2) ? ? n ≥ 2? , 2
……………………12 分

当 n ? 1 时也适合,所以 an ? 1+

(n ? 1)(n ? 2) ? ? n ? N? ? 2

假设存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列,

则 (at ?1 ?1) ? (as?1 ?1)(ap?1 ?1) ,即
2

t 2 (t ? 1)2 s(s ? 1) p( p ? 1) ? , ………14 分 4 4

因为 s , t , p 成等比数列,所以 t 2 ? sp ,所以 (t ? 1)2 ? (s ?1)( p ?1) , 化简得 s ? p ? 2t ,联立 t 2 ? sp ,得 s ? t ? p .这与题设矛盾. 故不存在三项 as ?1 ?1, at ?1 ?1, ap?1 ?1 成等比数列,且 s , t , p 也成等比数列.…16 分 3、解: (1) 又
2 数列 ?an ? 是各项均为正数的等比数列,? a1a5 ? a3 ? 64 ,? a3 ? 8 ,

S5 ? S3 ? 48



?a4 ? a5 ? 8q2 ? 8q ? 48



?q ? 2



? an ? 8 ? 2

n?3

?2 ;
n

………… 4 分
k

(2) (ⅰ)必要性:设 5ak , am , al 这三项经适当排序后能构成等差数列, ① 若 2 ? 5ak ? am ? al , 则 1 ? 0

2?

m

l 2? , 2 ?10 ? 2m?k ? 2l ?k ,

?5 ? 2m?k ?1 ? 2l ?k ?1 , m ? k ?1 ? ?1 ?2 ? ? l ? k ?1 , ?4 ? ?2 ?m ? k ? 1 ?? . ………… 6 分 ?l ? k ? 3 ②若 2am ? 5ak ? al ,则 2 ? 2m ? 5 ? 2k ? 2l ,? 2m?1?k ? 2l ?k ? 5 ,左边为偶数,
等式不成立, ③若 2al ? 5ak ? am ,同理也不成立, 综合①②③,得 m ? k ? 1, l ? k ? 3 ,所以必要性成立. (ⅱ)充分性:设 m ? k ? 1 , l ? k ? 3 , …………8 分

ak , 调 整 顺 序 后 易 知 则 5ak , am , al 这 三 项 为 5ak , ak ?1, ak ?3 , 即 5ak , 2ak , 8 2ak ,5ak ,8ak 成等差数列,
所以充分性也成立. 综合(ⅰ) (ⅱ) ,原命题成立. (3)因为 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ?
1 2 3

…………10 分
n?1

? anb1 ? 3 ? 2
n

? 4n ? 6 , ? 2n?1b1 ? 3 ? 2n ? 4n ? 2 , (**)

1

即 2 bn ? 2 bn?1 ? 2 bn?2 ? 则
2 3

? 2 b1 ? 3? 2n?1 ? 4n ? 6 , (*)

n?

? 当 n ? 2 时, 21bn?1 ? 22 bn?2 ? 23 bn?3 ?
( **
4


n









2





2 bn?1 ? bn2 2?1 n ? , 3 2 8 (***) ? ? 2 bn? ?2 ? 3 b ? ? ? (*)-(***) ,得 2bn ? 4n ? 2 ,即 bn ? 2n ?1(n ? 2) ,
?bn ? 2n ? 1 .………14 分 b b b 2n ? 1 2n ? 1 2 n ? 3 5 ? 2 n ? n ? n ,? n ? n?1 ? n ? n ?1 ? , an 2 an an?1 2 2 2n bn bn?1 b b ? 0 ,即 2 ? 1 ; ? n ? 2 时, ? a2 a1 an an?1

4

2 又 当 n ? 1 时 , 2b1 ? 3 ? 2 ? 1 0 ? 2 , 即 b1 ? 1 , 适 合 bn ? 2n ?1(n ? 2) ,

? n ? 3 时,


bn bn?1 ?b ? ? ? 0 ,此时 ? n ? 单调递减, an an?1 ? an ?


b1 1 ? a1 2

b2 3 ? a2 4



b3 5 ? a3 8



b4 7 ? a4 16



?

7 1 ??? . 16 2

……………16 分

4、

5、解: (1)设 bn ? a2n ? ? ,

因为 bn ?1

bn 1 ?3

?

a2 n ? 2 ? ? a2 n ? ?

1 ?3

a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ? ? a2 n ? ? 1 ?3 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ? 1 a2 n ? 1 ? ? a2 n ? ?

? a2 n ? 6n ? ? ? 2n ? 1? ? ?
a2 n ? ?



…………………………………2 分

若数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列,则必须有 3

, ? q (常数)

1 ? q? ? 1 ? ? q ? 0 ? ? 3 ? ?? 即 ? ? q ? a2 n ? ? q ? 1? ? ? 1 ? 0 ,即 ? 3 , 3 ?3 ? ? ? q ? 1 ? ? 1 ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 2

?1

…………………5 分

此时 b1 ? a2 ?

3 1 3 1 ? a1 ? 1 ? ? ? ? 0 , 2 3 2 6

3 ,使数列 ?a2 n ? ?? 是等比数列………………………………………6 分 2 (注:利用前几项,求出 ? 的值,并证明不扣分)
所以存在实数 ? ? (2)由(1)得 ?bn ? 是以 ?

1 1 为首项, 为公比的等比数列, 6 3

3 1 ?1? 故 bn ? a2 n ? ? ? ? ? ? 2 6 ? 3?
由 a2 n ?

n ?1

1 ?1? 1 ?1? 3 ? ? ? ? ? ,即 a2 n ? ? ? ? ? ? ,…………………8 分 2 ? 3? 2 ? 3? 2
n ?1

n

n

1 1 1? a2 n ?1 ? ? 2n ? 1? ,得 a2n?1 ? 3a2n ? 3 ? 2n ? 1? ? ? ? ? ? ? 3 2 ? 3?

? 6n ?

15 ,……10 分 2

n ?1 n n 1 ?? 1 ? ?1? ? ?1? 所以 a2 n ?1 ? a2 n ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 6n ? 9 ? ?2 ? ? ? ? 6n ? 9 , 2 ? ?3? ? ?3? ?? 3 ? ?

S2n ? ? a1 ? a2 ? ? ? a3 ? a4 ? ? L ? ? a2n?1 ? a2n ?
n ? 1 ? 1 ?2 ?1? ? ? ?2 ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ? 6 ?1 ? 2 ? L ? n ? ? 9n ?3? ? ? ?3 ? 3 ? ?

1? ?1? ?1 ? ? ? 3? ?3? ? ?2 ? ? 1 1? 3

n

? n n ? 1? 2 ?1? 2 ? ? ? 6 ? n(n ? 1) ? 9n ? ? ? 1 ? 3 n ? 6 n ? ? ? ? ? ? 3 ? n ? 1? ? 2 , … … ? 3? ? 3? 2

…………………………………………………………12 分 显然当 n ? N * 时, ?S2 n ? 单调递减, 又当 n ? 1 时, S 2 ?

7 8 ? 0 ,当 n ? 2 时, S 4 ? ? ? 0 ,所以当 n≥ 2 时, S2 n ? 0 ; 3 9
n

3 ?1? 5 S2n?1 ? S2n ? a2n ? ? ? ? ? ? 3n2 ? 6n , 2 ? 3? 2
同理,当且仅当 n ? 1 时, S2 n?1 ? 0 . 综上,满足 Sn ? 0 的所有正整数 n 为 1 和 2.…………………………………………… 16 分 6、证明: (1)设数列 an ? 的公差为 d , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ bn?1 ? bn ? (an?1 ? 2an?2 ) ? (an ? 2an?1 ) ? (an?1 ? an ) ? 2(an?2 ? an?1 ) ? d ? 2d ? ?d , ∴数列 bn ? 是公差为 ? d 的等差数列.

?

?

………………4分

(2)当 n ? 2 时, cn?1 ? an ? 2an?1 ? 2 ,

bn ? cn ?1 b ?c ? 1,∴ an ?1 ? n ?1 n ? 1 , 2 2 b ? cn bn ? cn ?1 bn ?1 ? bn cn ? cn ?1 ? ? ? ∴ an ?1 ? an ? n ?1 , 2 2 2 2 b ? bn cn ? cn ?1 ? ∵数列 ?bn ? , ?cn ? 都是等差数列,∴ n ?1 为常数, 2 2
∵ bn ? an ? 2an?1 ,∴ an ? ∴数列 an ? 从第二项起为等差数列. (3)数列 an ? 成等差数列. 解法1 设数列 bn ? 的公差为 d ? , ∵ bn ? an ? 2an?1 , ∴ 2n bn ? 2n an ? 2n?1 an?1 ,∴ 2n?1 bn?1 ? 2n?1 an?1 ? 2n an ,…, 2b1 ? 2a1 ? 22 a2 , ∴ 2n bn ? 2n?1 bn?1 ? 设 Tn ? 2b1 ? 22 b2

?

………………10分

?

?

? 2b1 ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ? 2n?1bn?1 ? 2n bn ,∴ 2Tn ? 22 b1 ? ? 2n bn?1 ? 2n?1bn ,

两式相减得: ?Tn ? 2b1 ? (22 ?

? 2n?1 ? 2n )d ? ? 2n?1bn ,

即 Tn ? ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ,∴ ?2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2n?1 an?1 , ∴ 2n?1 an?1 ? 2a1 ? 2b1 ? 4(2n?1 ?1)d ? ? 2n?1bn ? 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 2n?1 (bn ? d ?) ,

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? (bn ? d ?) , ………………12分 2n ?1 2a ? 2b1 ? 4d ? 2a ? 2b1 ? 4d ? ? (b2 ? d ?) ? 1 ? b1 , 令 n ? 2 ,得 a3 ? 1 3 2 23
∴ an ?1 ?

∵ b1 ? a3 ? 0 ,∴

2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? b1 ? a3 ? 0 ,∴ 2a1 ? 2b1 ? 4d ? ? 0 , 23

∴ an?1 ? ?(bn ? d ?) ,∴ an?2 ? an?1 ? ?(bn?1 ? d ?) ? (bn ? d ?) ? ?d ? , ∴数列 an ? ( n ? 2 )是公差为 ? d ? 的等差数列,

? ?

………………14分

∵ bn ? an ? 2an?1 ,令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴数列 an ? 是公差为 ? d ? 的等差数列. ………………16分

解法 2

∵ bn ? an ? 2an?1 , b1 ? a3 ? 0 , ………………12分

令 n ? 1 , a1 ? 2a2 ? ?a3 ,即 a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 , ∴ bn?1 ? an?1 ? 2an?2 , bn?2 ? an?2 ? 2an?3 , ∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? (2an?1 ? an ? an?2 ) ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵数列 bn ? 是等差数列,∴ 2bn?1 ? bn ? bn?2 ? 0 , ∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 2(2an?2 ? an?1 ? an?3 ) , ∵ a1 ? 2a2 ? a3 ? 0 ,∴ 2an?1 ? an ? an?2 ? 0 , ∴数列 an ? 是等差数列. 7、

?

………………14分

?

………………16分

8 、⑴ k ? 列,

1 1 时, an ?1 ? (an ? an ? 2 ) , an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ,所以数列 {an } 是等差数 2 2
……1 分

此 时 首 项 a1 ? 1 , 公 差 d ? a2 ? a1 ? a ? 1 , 数 列 {an } 的 前 n 项 和 是

1 Sn ? n ? n(n ? 1)(a ? 1) , ……3 分 2
故 2015a ? 2015 ? 4分 (没有过程,直接写 a ? 1 不给分) ⑵ 设数 列 {an } 是 等比 数列 ,则 它的 公比 q ?

1 1 ? 2015 ? 2014(a ? 1) , 0 1 4 ( 即 a ? 1 ? ?2 2 2

1 a )?

, 得 a ? 1; ……

a2 ? a , 所 以 am ? am?1 , am?1 ? am , a1

am?2 ? a m?1 , ……6 分
①若 am?1 为等差中项,则 2am?1 ? am ? am?2 ,即 2a ? a
m m?1

? a m?1 ,解得: a ? 1 ,不

合题意; ② 若 am 为 等 差 中 项 , 则 2am ? am?1 ? am?2 , 即 2a
m?1

? a m ? a m?1 , 化 简 得 :

a2 ? a ? 2 ? 0 ,
解得 a ? ?2 (舍 1) ;k ?

am?1 am a 2 ? m?1 m1? ? 2 ? ? ; am ? am?2 a ? a 1? a 5

③ 若 am?2 为 等 差 中 项 , 则 2am?2 ? am?1 ? am , 即 2a

m?1

? a m ? a m?1 , 化 简 得 :

2a 2 ? a ? 1? 0 ,
1 am?1 am a 2 解得 a ? ? ;k ? ? m?1 m?1 ? ?? ; 2 2 am ? am?2 a ? a 1? a 5
综上可得,满足要求的实数 k 有且仅有一个, k ? ? ⑶k ? ? ……9 分

2 ; 5

……10 分

1 1 则 an ?1 ? ? (an ? an ? 2 ) , 2 2
……

an?2 ? an?1 ? ?(an?1 ? an ) , an?3 ? an?2 ? ?(an?2 ? an?1 ) ? an?1 ? an ,
12 分 当 n 是偶数时,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
?

? an?1 ? an ? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a4 ) ?

? (an?1 ? an )

n n (a1 ? a2 ) ? (a ? 1) , 2 2

当 n 是奇数时,

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ?
? a1 ?
式,

? an?1 ? an ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ?

? (an?1 ? an )

n ?1 n ?1 n ?1 ( a2 ? a3 ) ? a1 ? [?(a1 ? a2 )] ? 1 ? ( a ? 1) , n ? 1 也 适 合 上 2 2 2
……15 分

? 1 ? 2 (a ? 1), n是奇数 综上可得, Sn ? ? . n是偶数 ? n (a ? 1),
2

n ?1

……16 分


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