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数学:3.1.1-3.1.2《空间向量及其加减与数乘运算》修改版


复习回顾: 平面向量

这是什么?

向量

既有大小又有方向的量。 1、定义:
几何表示法:用有向线段表示 字母表示法: 用小写字母表示,或者用表示向量的 有向线段的起点和终点字母表示。 相等向量:长度相等且方向相同的向量
B A D C

2、平面向量的加法、减法与数乘运算

b

b

a
向量加法的三角形法则

a
向量加法的平行四边形法则

a
b a
向量减法的三角形法则

ka

(k>0) (k<0)

向量的数乘

ka

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律

加法交换律: a ? b

?b?a ? a ? (b ? c)

加法结合律: ( a ? b) ? c 数乘分配律: k ( a ? b)

? k a+k b

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

问题 1:

C
向上

B
正北

如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=

O

正东

A
F2

?

问题 2:

已知F1=10N, F2=15N,F3=15N F3 F1

这三个力两两之间 的夹角都为90度, 它们的合力的大小 为多少N?

这需要进一步来认识空间中的向量

空间向量的有关概念: 空间向量:在空间中 ,具有大小和方向的量. ? ? ? 常用 a 、 c ……等小写字母来表示. ? ?b 、 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a . ??? ? ??? ? 2. 可用一条有向线段 AB 来表示向量 , 向量 AB ??? ? ? 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度. c

B

终点

? a

起点

A

? b

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a

空间向量
具有大小和方向的量

加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零

空间向量
具有大小和方向的量

加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

C

a b
O

+
A

b

B

OB ? OA ? AB

a
ka

CA ? OA ? OC
空间向量的加减法

(k>0)
空间向量的数乘

ka

(k<0)

思考:空间任意两个向量是否可能异面?
B

b

O

A

思考:它们确定的平面是否唯一?

a
结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们。

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗? 加法结合律 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

k (a ? b) ? k a+k b

向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
O a A b B c a O

C A

b b

+

c

C

B

c

(平面向量)

空间中

向量加法结合律:
( a + b )+ c = a +( b + c )
O

O

a
A

a b
C A
+

c
B

C

b

B

c

b

c

(空间向量)

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An ?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算, 其运算律是否也与平面向量完全相同呢?

定义: 数乘空间向量的运算法则
? ? a 仍然是一个向量.
⑴当 ? ⑵当 ?

? 与平面向量一样 , 实数 ? 与空间向量 a 的乘积

例如:

⑶当 ?

? ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ? ? 0 时, ? a 是零向量.

? 3a

? a

? ?3a

显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律 ? ? ? ?

即:? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) a ? ?a ? ?a ? ? ? ( ? a) ? (?? )a 其中?、?是实数。

类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念。 (你认为应该怎样规定?)

定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)

? ? ? ? 思考 ⑴ : 对空间任意两个向量 a 与 b , 如果 a ? ? b , 那 ? ? 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?
类似于平面,对于空间任意两个 ? ? ? ? 向量 a , b ( b ? 0 ), ? ? ? ? ? b a // b ? 存在 ? ? R , a ? ? b .

? c

? a

? 思考:如图, l 为经过已知点 A 且平行非零向量 a 的直线,
如何表示直线 l 上的任一点 P ?
? ?

A?

l 的方向向量. O ??? ? ? ??? ? ? ⑴∵ AP // a ,∴存在唯一实数 t ? R ,使 AP ? t a . ??? ? ? ∴ 点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 AP ? t a ① ??? ? ??? ? ??? ? ⑵对于任意一点 O,有 AP ? OP ? OA ??? ? ??? ? ? 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t a ② ??? ? ? ⑶点 B 在直线 l 上,且 AB ? a ??? ? ??? ? ??? ? 则点 P 在直线 l 上 ? ? 唯一实数 t ? R, 使 OP ? OA ? t AB ③ 注:①、②、③式都称为空间直线的向量表示式, 即空间直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定 .

? a

BP

l

注 : 我 们把 非零 ? 向量 a 叫做直线

3.A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

??? ? ??? ? AP ? t AB
??? ? ???? ??? ? OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

中点公式:

??? ? 1 ??? ? ??? ? 若P为AB中点, 则 OP ? OA ? OB 2

?

?

B
P A O

六、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢?

? ? a e2 ? e1

? ? e2 由平面向量基本定理知,如果 e1,

是平面内的两个不共线的向量,那么 ? 对于这一平面内的任意向量 ?a ,有且 ? a ? ?1e1 ? ?2e2 ?1 ?, 只有一对实数 2 使

如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p ? x? ? yb

? p 与两不共线向量 a , b

? a , 反过来,对空间任意两个不共线的向量 ,如 b ? 果 p ? x? ? yb,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系?

?C b? A aB

?? p

P

? xa, yb分别与a, b共线,

?xa, yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在 a, b确定的平面内,

?p ? xa ? yb在a, b确定的平面内 ,即p与a, b共面

? b 不共线, 2.共面向量定理:如果两个向量 a , ?? ? 则向量 p 与向量 a , 共面的充要条件是 b ? ? ? ?
存在实数对x,y使

p ? xa ? yb

?C b ? A a B

?? p

P

3.空间四点P、A、B、C共面

???? ???? ???? ? 存在唯一实数对(x , y) , 使得AP ? x AB ? y AC ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

?C b? A a B

?? p

P

O

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
A A1 D1 B1 C1

D B

C

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量 a 到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做ABCD-A1B1C1D1

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量。(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
D A B A1 G C D1 B1 C1

M

解: (1) AB ? BC =AC;

(2) AB ? AD ? AA 1 ? AC ? AA 1 ? AC ? CC1 ? AC 1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

F2

F1=10N
F2=15N F3 F1 F3=15N

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A A1

D1 B1

C1

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A A1 D1 B1 C1

D B

C

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1

? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD)
D1 C1 B1

? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2 AC1

A1

? x ? 2.
A

D B

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

B

M

C

练习1 在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2
D G

(1)原式=AB ? BM ? MG ? AG
(2)原式
1 =AB ? BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 1 =BM ? MG ? ( AB ? AC ) 2 =BM ? MG ? MB ? MG

B

M

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' ' '

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD

A

D

B

C

练习2 在立方体AC1中,点E是面AC’ 的中心,求下列各式中的x,y.
A E B C D

(2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D

B

C

作业
空间四边形 ABCD中, AB ? a , BC =b , AD ? c ,
??? ? ? ??? ? ? 如图,已知空间四边形 ABCD 中,向量 AB ? a , AC ? b , ??? ? ? AD ? c ,若 M 为 BC 的中点, G 为 △BCD 的重心, ? ? ? A 试用 a 、 b 、 c 表示下列向量: ???? ? ???? ⑴ DM ⑵ AG

试用a, b, c来表示CD, AC, BD.

1 ? ? ? ( a ? b) ? c 2 1 ? ? ? ( a ? b ? c) 3

D

B
M

G C


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