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]四川省绵阳南山中学高2014级高二上期10月月考数学(li科)试题

保密 ★ 启用前(2012 年 10 月 12 日)

绵阳南山中学高 2014 级高二上期 10 月月考 数学试题(理科)
命题人:杨翮 审题人:蔡晓军

第Ⅰ卷(选择题,共 48 分)
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上.

一、选择题(本大题共 12 小题 , 每小题 4 分 , 共 48 分在每小题给出的四个选项 中 , 只有一项是符合题目要求的) 1.不等式 x 2 ? 9 ? 0 的解集为( A. (?3,3) B. (3,??) )
C. (??,?3) ? (3,??) D. (??,?3)

2.方程 x 2 ? (a ? 2) y 2 ? 2ax ? a ? 0 表示一个圆 , 则( ) A. a ? ?1 B. a ? 2 C . a ? ?2 D. a ? 1 3.空间直角坐标系中 , A(3,3,1), B(1,0,5),C (0,1,0), 则 ?ABC 的形状是( ) A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 其他类型 4.如果 a 、 b 、 c 、 d 是任意实数 , 则( ) a b A. a ? b且c ? d ? ac ? bd B. ? ? a ? b c c 1 1 1 1 C. a 3 ? b 3且ab ? 0 ? ? D. a 2 ? b 2 且ab ? 0 ? ? a b a b 2 2 5.直线 l 把圆 x ? y ? 4 y ? 0 的面积平分 , 则它被这个圆截得的弦长为(
A. 8 B. 2 2 C. 2 D. 4 D. (2a,6a)

)

6.不等式 x 2 ? ax ? 12a 2 ? 0(a ? 0) 的解集为( ) A. (?3a,4a) B. (4a,?3a) C. (?3,4) 7.下列函数中 , y 的最小值等于 4 的是( )
A. y ?

2( x 2 ? 5) x ?4
2

( x ? R)

B. y ? 2 x ?
D. y ?

2 ( x ? R且x ? 0) x

4 ? sin x(0 ? x ? ? ) sin x 8.直线 y ? kx ? 2 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点 , 则斜率 k 的取值范围是( )

C. y ? 2 x ? 4 ? 2 ? x ( x ? R)
A. ? 2 , 2

? C. ??

3,

? 3?

? ? ? 2,??? D. ?? ?,? 3?? ? 3,???
B. ? ?,? 2 ?

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9.点 P 在直线 2 x ? y ? 10 ? 0 上 , PA 、 PB 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 分别相切于 A 、 B 两点 , 则四边形 PAOB 的面积的最小值为( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 ?3 x ? y ? 6 ? 0, ? 10.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 的最 ? x ? 0, y ? 0, ?
2 3 ? 的最小值为( ) a b 25 8 11 A. B. C. D. 4 6 3 3 11.对于实数 x, y , 若 x ? 1 ? 1, y ? 2 ? 1, 则 x ? 2 y ? 1 的最大值为( )

大值为 12, 则

A. 5 B. 2 C. 4 D. 3 2 2 12.若圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ? by ? 0 的

距离为 2 2 , 则直线 l 的倾斜角的取值范围是( ) ?? ? ? ? ? 5? ? ?? ? ? A. ? , ? B. ? , ? C. ? , ? ?12 4 ? ?12 12 ? ?6 3?

? ?? D. ?0, ? ? 2?

第Ⅱ卷(非选择题,共 52 分)
注意事项: 1.用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题卷上. 2.答卷前将答题卷的密封线内项目填写清楚.

二、填空题(本大题共 4 小题 , 每小题 3 分 , 共 12 分把答案直接填在答题卷中的 横线上) 13.若关于 x 的不等式 kx 2 ? 2kx ? 1 ? 0 的解集为 R, 则实数 k 的取值范围是 _____________ ; 14.两圆相交于两点 (1,3) 和 (m,?1), 两圆圆心都在直线 x ? y ? c ? 0 上 , 则 m ? c 的 值为_____________ ; 12 15.函数 f ( x) ? 3 x ? 2 ( x ? 0) 的最小值为_____________ ; x

16.已知圆 M : ( x ? cos? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 1, 直线 l : y ? kx, 下面四个命题 : ①对任意实数 k 和 ? , 直线 l 和圆 M 相切 ; ②对任意实数 k 和 ? , 直线 l 和圆 M 有公共点 ; ③对任意实数 ? , 必存在实数 k , 使得直线 l 和圆 M 相切 ; ④对任意实数 k , 必存在实数 ? , 使得直线 l 和圆 M 相切 其中正确的命题有_____________ 三、解答题(本大题共 4 小题 , 每小题 10 分 , 共 40 分解答应写出文字说明、证明
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过程或演算步骤) 17.求与直线 y ? x 相切 , 圆心在直线 y ? 3x 上且被 y 轴截得的弦长为 2 2 的圆的 方程 18.某车间小组共 12 人 , 需配置两种型号的机器 , A 型机器需 2 人操作 , 每天耗 电 30KW ? h, 能生产出价值 4 万元的产品 ; B 型机器需 3 人操作 , 每天耗电
20KW ? h, 能生产出价值 3 万元的产品现每天供应车间的电能不多于 130 KW ? h, 问该车间小组应如何配置两种型号的机器 , 才能使每天的产值最

大 ? 最大值是多少 ? 19.已知函数 f ( x) ? x ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x ? 1 ? x ? 5?, 求实数 a 的值 ; (2)在(1)的条件下 , 若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立 , 求实数 m 的 取值范围 20.设 G 、 R 分别为不等边 ?ABC 的重心与外心 , B(?1,0) 、 C (1,0), 且 GR 平行于 x 轴 (1)求 A 点的轨迹 Q 的方程 ; (2)是否存在直线 l 过点 (0,1) 并与曲线 Q 交于 M 、 N 两点 , 且以 MN 为直径的 圆过坐标原点 O ? 若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 请说明理由

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绵阳南山中学高 2014 级第三学期 10 月月考

数学(理科)(第Ⅱ卷)答题卷
=============================密======================封===================线=======================================

题号 得分



17 题

18 题

19 题

20 题

第Ⅱ卷 总分

班级________________姓名___________________考号____________________

二、填空题(本大题共 4 小题 , 每小题 3 分 , 共 12 分) 13.____________________ 15.____________________ 14.___________________ 16.___________________

三、解答题(本大题共 4 小题 , 每小题 10 分 , 共 40 分) 17.(本小题满分 10 分)求与直线 y ? x 相切 , 圆心在直线 y ? 3x 上且被 y 轴截得 的弦长为 2 2 的圆的方程

18.(本小题满分 10 分)某车间小组共 12 人 , 需配置两种型号的机器 , A 型机器

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需 2 人操作 , 每天耗电 30KW ? h, 能生产出价值 4 万元的产品 ; B 型机器需 3 人操作 , 每天耗电 20KW ? h, 能生产出价值 3 万元的产品现每天供应车间的 电能不多于 130KW ? h, 问该车间小组应如何配置两种型号的机器 , 才能使 每天的产值最大 ? 最大值是多少 ?

19.(本小题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? a . (1)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ?x ? 1 ? x ? 5?, 求实数 a 的值 ; (2)在(1)的条件下 , 若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立 , 求实数 m 的取值范围
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20.(本小题满分 10 分)设 G 、 R 分别为不等边 ?ABC 的重心与外心 ,
B(?1,0) 、 C (1,0), 且 GR 平行于 x 轴

(1)求 A 点的轨迹 Q 的方程 ; (2)是否存在直线 l 过点 (0,1) 并与曲线 Q 交于 M 、 N 两点 , 且以 MN 为直径 的圆过坐标原点 O ? 若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 请说明理由

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绵阳南山中学高 2014 级高二上期 10 月月考 数学(理科)试题(答案)
一、选择题:(每小题 4 分,共 48 分) 1-5:CADCD 6-10:BCDBA 11-12:AB 二、填空题:(每小题 3 分,共 12 分) 13. 0 ? k ? 1 14. 3 15. 9 三、解答题:(每小题 10 分,共 40 分) 17.解:? 圆心在直线 y ? 3x 上 ,

16.②④

? 设圆心的坐标为 (a,3a), ……………………………………………………………………2 分
圆心到直线 y ? x 的距离为

a ? 3a 12 ? (?1) 2

? 2 a , …………………………………………4 分

? 圆与直线相切 , ? 圆的半径 r ? 2 a . …………………………………………………………………………6 分 ? 圆被 y 轴截得的弦长为 2 2 , ? 由弦心距、弦长、半径之间的关系得 ( 2a) 2 ? a 2 ? ( 2 ) 2 , …………………………8 分
? a 2 ? 2, a ? ? 2.

? 所求圆的方程为 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3 2 ) 2 ? 4 或 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 3 2 ) 2 ? 4. ………10
分 18.解:设需分配给车间小组 A 型、 B 型两种机器分别为 x 台、 y 台 , 则

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? x ? 0, y ? 0, x, y ? N , ? ?2 x ? 3 y ? 12, ?30x ? 20 y ? 130, ? ? x ? 0, y ? 0, x, y ? N , ? ……………………………………………4 分 ?2 x ? 3 y ? 12, ?3 x ? 2 y ? 13, ?
每天产值 z ? 4 x ? 3 y, 作出可行域(如图所示)………………………………………7 分



由?

?2 x ? 3 y ? 12, 得 A(3,2).? z max ? 4 ? 3 ? 3 ? 2 ? 18. ………………………………9 分 ?3x ? 2 y ? 13,

因 此 , 当 配 给 车 间 小 组 A 型 机 器 3 台 , B 型 机 器 2 台 时 , 每 天 能 得 到 最 大 产 值 18 万 元………10 分 19.解法一:(1)由 f ( x) ? 3 得 x ? a ? 3, 解得 a ? 3 ? x ? a ? 3. ………………………1 分 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ? 1 ? x ? 5? , 所以 ?

?

?a ? 3 ? ?1, 解得 a ? 2. …………………………………………………………4 分 ?a ? 3 ? 5,

(2)当 a ? 2 时 , f ( x) ? x ? 2 , 设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5), …………………………5 分

?? 2 x ? 1, x ? ?3, ? 于是 g ( x) ? x ? 2 ? x ? 3 ? ?5,?3 ? x ? 2, ………………………………………7 分 ?2 x ? 1, x ? 2. ?
所以当 x ? ?3 时 , g ( x) ? 5; 当 ? 3 ? x ? 2 时 , g ( x) ? 5; 当 x ? 2 时 , g ( x) ? 5. 综上可得 , g ( x) 的最小值为 5 . ……………………………………………………………9 分 从而 , 若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m, 即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立 , 则 m 的取值范围为 ?? ?,5?. ………………………………10 分

解法二:(1)同解法一………………………………………………………………………4 分
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(2)当 a ? 2 时 , f ( x) ? x ? 2 .设 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5). ………………………………5 分 由 x ? 2 ? x ? 3 ? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 (当且仅当 ? 3 ? x ? 2 时等号成立) , 得 g (x) 的最小值为 5 . …………………………………………9 分

从而 , 若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m, 即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立 , 则 m 的取值范围为 ?? ?,5?. 20.解:(1)设 A( x, y), 则 G ( , ), 显然 xy ? 0. 又设外心 R(0, m), 由 RA ? RC , 得 x 2 ? (m ? y) 2 ? 1 ? m 2 , 解得 …………………………………………10 分

x y 3 3

m?

x2 ? y 2 ?1 ( y ? 0). .......................2 分 2y x2 ? y 2 ?1 y ? , 2y 3

? GR 平行于 x 轴 ,?

整理 , 得 3x 2 ? y 2 ? 3( xy ? 0),即 A 点的轨迹 Q 的方程.........................4 分
2 2 (2)假设存在直线 l 满足题设条件 , l 的方程为 y ? kx ? 1, 代入 3x ? y ? 3, 得

(k 2 ? 3) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0.



易验证 ? ? 0. 设 M ( x1 , kx1 ? 1) 、 N ( x2 , kx2 ? 1), 则 x1 、 x2 是方程①的两个实根 ,

? x1 ? x 2 ?

? 2k ?2 , x1 x 2 ? 2 . 2 k ?3 k ?3

②....................................6 分

由题设得 OM ? ON , 即 (

kx1 ? 1 kx2 ? 1 )?( ) ? ?1. x1 x2


整理得 (k ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0.
2

将②代入③ , 得 (k ? 1)(
2

?2 ? 2k ) ? k( 2 ) ? 1 ? 0, 2 k ?3 k ?3

解得 k ? ?

3 . ...........................................................9 分 3 3 x, 使得以 MN 为直径的圆过原点......................10 分 3

故存在直线 l : y ? ?

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