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【数学】福建省各地市2011年高考最新联考分类汇编(4)数列


2010福建省各地市 2010-2011 学年下学期高考数学最新试题分类大汇 编—第 4 部分 数列
一、选择题: 选择题: 1. ( 福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查理科 ) 已知数列 {an } 为等差数列,且 月高中毕业班质量检查理科)

a1 + a7 + a13 = π , 则 tan(a2 + a12 ) 的值为( B )
A. 3 B. ? 3 C. ± 3 D. ?

3 3

月高中毕业班质量检查文科等差数列 {a n } 的前 n 项和为 2. ( 福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查文科

S n , 若a1 + a 9 + a11 = 30 ,那么 S13 值的是( C )
A.65 B.70 C.130 D.260

3.(福建省厦门市 2011 年高三质量检查文科)已知等比数列 {an }的公比q = 2 ,其前 4 项和 ( 年高三质量检查文科)

S5 = 60, 则a2 等于
A.8

( B.6

A ) C.—8 D.—6
*

4.( 福建省莆田市 2011 年高中毕业班质量检查理科 ) “点 Pn ( n, an )( n ∈ N ) 都在直线 (

y = x + 1 上”是“数列 {an } 为等差数列”的
A.充分但不必要条件 C.充要条件



A )

B.必要但不充分条件 D.既不充分不必要条件

5. (福建省古田县 2011 年高中毕业班高考适应性测试理科)在数列 {a n } 中,a n +1 年高中毕业班高考适应性测试理科) 为非零常数) ,前 n 项和为 S n

= c a n( c

= 3 n + k ,则实数 k 为:( C )

A.0 B.1 C. ? 1 D.2 6. ( 福建省四地六校联考 2011 届高三第三次月考理科 ) 已知数列{an }的通项公式为

an =

2 n ? 4n + 5
2

则{an}的最大项是( B B.a2

) C.a3 D.a4

A.a1 填空题: 二、填空题:

7. (福建省福州市2011年3月高中毕业班质量检查理科) 在等比数列 {a n } 中,首项 a1 = 福建省福州市2011 2011年 月高中毕业班质量检查理科)

2 , 3

a4 = ∫

4 1

(1 + 2 x ) dx ,则公比 q 为

3

.

8. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查理科)将杨辉三角中的奇数换成 1,偶数换 2011 月高中毕业班质量检查理科) 成 0,得到如图 1 所示的 0—1 三角数表.从上往下数,第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行, 第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行, 第 n 次全行的数都为 1 的是第 …, 第1行 1 1
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行.2 n ? 1

第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… …………………………………… (福建省福州市 月高中毕业班质量检查文科将正整数按下表的规律排列,把行与 9 (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查文科 列交叉处的一个数称为某行某列的数,记作 a ij (i, j ∈ N ) ,如第 2 行第 4 列的数是 15,记作
*

a24 = 15 ,则有序数对 (a82 , a 28 ) 是

. (51,63)

1 4 5 16 …… 2 3 6 15 …… 9 8 7 14 …… 10 11 12 13 …… …… …… …… …… 10.(福建省厦门市 2011 年高三质量检查文科)把正整数 1,2,3,4,5,6,……按某种规律 年高三质量检查文科) ( 填入下表, 2 1 3 4 5 7 6 8 9 11 3 行第 1508 列。 10 12 13 15 14 ……

按照这种规律继续填写,2011 出现在第

11. 福建省厦门市 2011 年高三质量检查理科)若 f ( n)为n 2 + 1(n ∈ N * ) 的各位数字之和, ( 高三质量检查理科) 如:

62 + 1 = 37, f (6) = 3 + 7 = 10.
f1 (m) = f (n), f 2 (n) ? f ( f1 (n)),L f k +1 (n) = f ( f k (n)), k ∈ N * , 则f 2015 (4) = 8


12.(福建省四地六校联考 2011 届高三第三次月考理科)在数列{an}中,若 a1=1,an+1=2an+3 (n ( 届高三第三次月考理科)

≥1),则该数列的通项 an=_________. 2 n+1 ? 3
13. ( 福建省三明 市 2011 年高三三校联考理科 ) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 福建省三明市 年高三三校联考理科)

S10 = ∫ (1 + 2 x) dx , S 20 = 18 ,则 S30 =
0

3

21

.

三、解答题: 解答题: 月高中毕业班质量检查文科(本小题满分 12 分) 14. (福建省福州市 2011 年 3 月高中毕业班质量检查文科 等差数列 {an } 中,已知 a1 = 3, a 4 = 12 , (I)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a 4 分别为等比数列 {bn } 的第 1 项和第 2 项,试求数列 {bn } 的通项公式 及前 n 项和 Sn .

第 -2- 页 共 5 页

14.解: (I)设数列 {a n } 的公差为 d , 由已知有 ? 解得 d = 3

?a1 = 3 ?a1 + 3d = 12

…………2 分 …………4 分 …………6 分

∴ a n = 3 + (n ? 1)3 = 3n

(Ⅱ)由(I)得 a 2 = 6, a 4 = 12, 则 b1 = 6, b2 = 12 ,…………8 分 设 {bn } 的公比为 q, 则 q = 从而 bn = 6 ? 2
n ?1

b2 = 2, b1

…………9 分

= 3 ? 2n

…………11 分

所以数列 {bn } 的前 n 项和 s n =

6 1 ? 2n = 6 2 n ? 1 …………12 分 1? 2

(

) (

)

15.(福建省古田县 2011 年高中毕业班高考适应性测试文科)(本题满分 12 分) ( 年高中毕业班高考适应性测试文科) 某市投资甲、乙两个工厂,2008 年两工厂的产量均为 100 万吨,在今后的若干年内,甲 工厂的年产量每年比上一年增加 10 万吨, 乙工厂第 n 年比上一年增加 2n?1 万吨, 2008 年为 记 第一年,甲、乙两工厂第 n 年的年产量分别为 an 万吨和 bn 万吨. (Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)若某工厂年产量超过另一工厂年产量的 2 倍,则将另一工厂兼并,问到哪一年底, 其中哪一个工厂被另一个工厂兼并. 15. (Ⅰ) an = 10n + 90 , bn = 2 + 98
n

……………6 分

(Ⅱ)2015 年底甲工厂将被乙工厂兼并。 ……………12 分 16(福建省四地六校联考 2011 届高三第三次月考理科)(本题满分 13 分) 届高三第三次月考理科) ( 数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = ?1 ?

? ?

1 nπ ? 2 nπ cos 2 , n = 1,2,3 ? ? ? ?a n + 2 sin 3 2 ? 2

(1)求 a 3, a 4 及数列 {a n } 的通项公式;(2)设 S n = a1 + a 2 + ? ? ? + a n ,求 S 2 n ; 解: (1)

π? π ? 1 a3 = ?1 ? cos 2 ?a1 + 2 sin 2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3 2? 2 ? 3
2π ? 2 4 ? 1 ? 1? 2 2π a 4 = ?1 ? cos 2 = ?1 ? ? a 2 = × 2 = ?a 2 + 2 sin 2 ? 2 ? 3? 3 3 ? 3

----2 分

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一般地,即

a2 n+1 a2 n ?1
-

=2

2n ? 1 ? ? 1 2 2n ? 1 a2n+1 = ?1 ? cos2 π = a2n?1 + 2 即数列{ a2 n ?1 }是以 a1 = 1 ,公 ?a2n?1 + 2 sin 2 ? 2 ? 3 差为 2 的等差数列。∴ a 2 n ?1 = 2n ? 1
----4 分

2n ? 2n 2 ? 1 又 Q a 2 m + 2 = ?1 ? cos 2 π ?a 2 n + 2 sin 2 π = a 2 n 2 ? 2 3 ? 3
2 n ?1 n ?1 a 2n a 2 = 2 ,公比为 3 的等比数列∴ a = a ? 2 ? = 2? 2 ? 即数列{ }是首项为 ? ? 2n 2? ? ?3? ? 3 ? --6 分

?n, n = 2m ? 1, m ∈ N ? ? ? n?2 综上可得a n = ? 2 2 ? ? ?2? ? , n = 2m, m ∈ N ? ? ?3? ?

----8 分

(2) S 2 n = a1 + a 2 + ? ? ? ? + a 2 n ?1 + a 2 n = (a1 + a 3 + ? ? ? + a 2 n ?1 ) + (a 2 + a 4 + ? ? ? + a 2 n )
n ?1 n ? 4 ?2? ? 2 = [1 + 3 + ? ? ? + (2n ? 1)] + ?2 + + ? ? ? + 2 ? ? ? ? = n 2 + 6 ? 6 ? ? ? ? ? 3 ? 3? ? ? 3 ? ---13 分 ? ? ?

17、(福建省三明市 2011 年高三三校联考文科)(本小题满分 12 分)已知等差数列 {a n } 和正 ( 年高三三校联考文科) 项等比数列 {bn } , a1 = b1 = 1 , a 3 + a 7 = 10 , b3 = a 4 (1)求数列 {a n } 、 {bn } 的通项公式 (2)若 c n = a n ? bn ,求数列 {c n } 的前 n 项和 Tn

(2)∵ c n = a n ? bn = n ? 2

n ?1

第 -4- 页 共 5 页

∴ ∴

Tn =1 × 2 0 + 2 × 21 + 3 × 2 2 + L + n × 2 n ?1
2Tn


1 × 21 + 2 × 2 2 + 3 × 2 3 + L + (n ? 1) × 2 n ?1 + n × 2 n
0 1 2 n ?1

以上两式相减,得- Tn = 2 + 2 + 2 + L + 2 =

? n × 2 n ………………………9 分

1 × (1 ? 2 n ) ? n × 2 n = (1 ? n) × 2 n ? 1 1? 2



Tn = (n ? 1) × 2 n + 1 ………………………………………………………………12 分
已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 a1 = 1 , 公 差 d > 0 . 且 a2 ,a5 ,a14 分 别 是 等 比 数 列 {bn } 的

18.(福建省三明市 2011 年高三三校联考理科) (本题满分 13 分) ( 年高三三校联考理科)

b2 ,b3 ,b4 .

(1)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式;

(2)设数列 {cn } 对任意自然数 n 均有:

c1 c2 c + + L + n = an +1 成立.求 c1 + c2 + c3 + L + c2010 b1 b2 bn

的值。 18.解: (1)∵a2=1+d ,a5=1+4d ,a14=1+13d,且 a2、a5、a14 成等比数列 ∴

(1 + 4d ) 2 = (1 + d )(1 + 13d )

即d = 2

∴ an = 1 + ( n ? 1) ? 2 = 2n ? 1

…………3 分 又 ∵

b2 = a2 = 3,

b3 = a5 = 9

.



q = 3, b1 = 1, bn = 3n ?1

…………………6 分 (2)∵

C C1 C 2 + + L + n = an+1 b1 b2 bn C C1 C 2 + + L + n?1 = a n (n ≥ 2) b1 b2 bn?1
∴ C n = 2 ? bn = 2 ? 3
n ?1





C1 = a2 b1

即 C1 = b1a2 = 3





①-②:

Cn = an+1 ? a n = 2 bn
…………

( n ≥ 2)

∴ Cn = ?

?3 ?2 ? 3
n ?1

(n = 1) (n ≥ 2)

10 分 ∴

C1 + C 2 + C3 + L + C 2010 = 3 + 2 ? 31 + 2 ? 32 + L + 2 ? 32010 ?1
1 2 3 2009

= 3 + 2 ? (3 + 3 + 3 + L + 3

3(1 ? 32009 ) ) = 3+ 2? = 32010 1? 3
…………………13 分

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